Metodichka_quot_Matematika_quot
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ЗДРАВООХРАНЕНИЮ И СОЦИАЛЬНОМУ РАЗВИТИЮ УРАЛЬСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ
КАФЕДРА МЕДИЦИНСКОЙ ФИЗИКИ, ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИКИ
БОГИНИЧ А.В., ДВИНИНА М.А., ТЕЛЕШЕВ В.А.
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
г. Екатеринбург
2007
1
УДК 510 (07)
Богинич А.В., Двинина М.А., Телешев В.А.
Учебное пособие по высшей математике, - Екатеринбург: Изд. УГМА, 2007. – 82 с.
Пособие разработано в помощь изучающим курс высшей математики.
В пособии даны основные понятия по разделам: дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения и практические задания по выше перечисленным разделам и элементам теории вероятности.
Пособие рассчитано на студентов медицинской академии и всех, желающих освоить основы высшей математики.
Рецензент – зав. кафедрой информатики и математики Уральской академии государственной службы, доктор физ. Мат. Наук, проф. С.Ю. Шашкин.
Утверждено на заседании ЦМС УГМА от 16.05.07.
Уральская государственная медицинская академия, 2007
2
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Предисловие........................................................................................................................................ |
4 |
|
Глава Ι. Основы дифференциального исчисления........................................................................... |
5 |
|
1. |
Производная функции................................................................................................................ |
5 |
|
§ 1. Приращение аргумента и функции.................................................................................... |
5 |
|
§ 2. Производная функции и ее физический смысл ................................................................ |
6 |
|
§ 3. Геометрический смысл производной................................................................................. |
7 |
|
§ 4. Общее правило дифференцирования................................................................................. |
8 |
|
§ 5. Таблица производных функций ....................................................................................... |
10 |
|
§ 6. Нахождение производных по основным формулам дифференцирования................... |
11 |
|
§ 7. Производная сложной функции....................................................................................... |
12 |
|
§ 8. Производные второго и высших порядков...................................................................... |
15 |
2. |
Дифференциал функции........................................................................................................... |
16 |
|
§ 1. Дифференциал функции и его геометрический смысл.................................................. |
16 |
|
§ 2. Правила вычисления дифференциала.............................................................................. |
18 |
|
§ 3. Частные производные. Полный дифференциал.............................................................. |
19 |
3. |
Применение полного дифференциала для оценки погрешностей измерений.................... |
21 |
|
§ 1. Классификация погрешностей. Прямые и косвенные измерения................................. |
21 |
|
§ 2. Абсолютная и относительная погрешности измерения................................................. |
23 |
|
§ 3. Оценка погрешностей прямых измерений...................................................................... |
24 |
|
§ 4. Вычисление погрешностей косвенных измерений......................................................... |
25 |
Глава ΙΙ. Основы интегрального исчисления................................................................................. |
29 |
|
1. |
Неопределенный интеграл....................................................................................................... |
29 |
|
§ 1. Первообразная функции и неопределенный интеграл................................................... |
29 |
|
§ 2. Основные свойства неопределенного интеграла............................................................ |
30 |
|
§ 3. Таблица основных интегралов ......................................................................................... |
30 |
|
§ 4. Способы интегрирования.................................................................................................. |
31 |
2. |
Определенный интеграл........................................................................................................... |
36 |
|
§1. Интегральная сумма. Определенный интеграл................................................................ |
36 |
|
§ 2. Основные свойства определенного интеграла................................................................ |
39 |
|
§ 4. Вычисление площадей ...................................................................................................... |
43 |
|
§ 5. Среднее значение функции............................................................................................... |
45 |
Глава ΙΙΙ. Простейшие дифференциальные уравнения................................................................. |
47 |
|
1. |
Общие понятия и определения................................................................................................ |
47 |
2. |
Дифференциальные уравнения первого порядка, решаемые непосредственным |
|
интегрированием........................................................................................................................... |
49 |
|
3. |
Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными........ |
49 |
4. |
Примеры решения задач........................................................................................................... |
50 |
5. |
Примеры решения задач на составление дифференциального уравнения ......................... |
53 |
Расчет погрешностей с использованием элементов математической статистики................. |
68 |
|
Вычисление погрешности косвенных измерений ..................................................................... |
70 |
|
Порядок обработки результатов измерений............................................................................... |
71 |
|
Ответы................................................................................................................................................ |
72 |
|
ПРИЛОЖЕНИЕ................................................................................................................................. |
79 |
3
Предисловие
Знание основных идей и методов высшей математики, умение практически применять эти методы для решения задач своей специальности в настоящее время является обязательным для специалиста любого профиля, в том числе и для врача.
Ввек информационных технологий развитие естественных наук: физики, химии, биологии, математики и информатики привело к стремительному росту современной научной и прикладной медицины. Специалисты, профессиональная деятельность которых связана с изучением и коррекцией органов, сталкиваются в своей работе с необходимостью прогнозировать поведение структур человеческого организма при различных внешних воздействиях. Поэтому исследователи, разрабатывая новые методы лечения и диагностики, используют математическое моделирование, которое представляет собой аналитическое описание идеализированных процессов и систем, адекватных реальным.
Вмедицине и биологии применяются также методы статистической обработки медико-биологической информации, позволяющие извлечь из наблюдений необходимую информацию и оценить надежность полученных данных. Студент – будущий врач – должен освоить эти методы.
Пособие предназначено для первокурсников и соответствует программе курса высшей математики для студентов медицинских вузов. Кроме теоретических сведений и формул, необходимых для решения задач, в каждом разделе пособия приводится значительное число подробно решенных примеров
изадач. Часть заданий рекомендована для самостоятельного решения. Для всех заданий даны ответы.
Вданной работе некоторые задачи заимствованы из книг:
Н.Л. Лобоцкая. Основы высшей математики, Минск, 1973;
Е.В.Кортуков, Ю.К.Павлов. Пособие по элементам высшей математики, ММСИ, 1973;
Е.В.Кортуков, Г.Я.Корогодина, Ю.А.Карагодин. Методические указания по разделу элементы теории вероятностей, ММСИ, 1980.
4
Глава Ι. Основы дифференциального исчисления
1. Производная функции
В 70-х и 80-х годах 17 века известные ученые Ньютон и Лейбниц ввели общие понятия производной и дифференциала, очень облегчавшие вычисления. К вычислению производной функции мы приходим всякий раз, когда требуется определить скорость изменения одной величины (функции), в зависимости от изменения другой величины (независимой переменной).
§ 1. Приращение аргумента и функции ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Величина y называется функцией переменной
величины x , если каждому из тех значений, которые может принимать x , соответствует одно или несколько определенных значений y . При этом переменная величина x называется аргументом.
Разность между двумя значениями аргумента называется приращением аргумента и обозначается символом ∆х. Приращение может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Если первое значение аргумента обозначить через х1, а второе через х2, то
∆х = х2 – х1 Разность между двумя значениями функции называется приращением функции: ∆у = у2 – у1 = f (х2) – f (х1).
Вычисление приращения любой функции у= f (х) удобно проводить в следующем порядке:
1.Даем аргументу х функции у= f (х) приращение ∆х, получаем точку х+∆х.
2.Находим значение функции в точке х+∆х
у+∆у= f (х+∆х)
3.Из значения функции у+∆у вычитаем ее значение в точке х и находим приращение фунции:
∆у= f (х+∆х) – f (х)
5
ПРИМЕР. |
Начальное |
значение |
аргумента x = 3, |
приращение аргумента |
∆x = −2. Найти соответствующее приращение ∆y функции y = x 2 . |
||||
РЕШЕНИЕ: |
Так как |
x1 = 3 и |
x2 − x1 = −2 , то |
x2 =1. Функция y = x 2 |
принимает сначала значение y1 = 32 = 9 , а затем y2 =12 =1.
Приращение функции есть ∆y = y2 − y1 =1 − 9 = −8.
§ 2. Производная функции и ее физический смысл
Cоставим отношение приращения функции к приращению аргумента:
∆y = f (x + ∆х) − f (x)
∆x ∆х
Это отношение показывает, во сколько раз в данном интервале (х, х+∆х) приращение функции больше приращения аргумента, т.е. это отношение есть средняя скорость изменения функции у относительно аргумента х в интервале
(х, х+∆х).
Переходя к пределу ∆∆ух при ∆х→0, получим величину, равную скорости
∆y
изменения функции относительно аргумента в точке х. Этот предел ∆limx→0 ∆x и
называется производной от функции у (или просто производной функции) по аргументу х.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Производной функции у= f (х) при данном значении аргумента х называется предел отношения приращения функции ∆y к
приращению аргумента ∆х, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Производная обозначается одним из символов: yx' (читается «игрек штрих по икс»), y′, dydx («де игрек по де икс»), f ′(x) («эф штрих от икс»). Пользуясь обозначением производной, можно написать:
∆y y′= lim ∆
∆x→0 x
6
Таким образом, производная от функции у по аргументу х есть мгновенная скорость изменения функции относительно аргумента.
Следует иметь в виду, что функции и аргументы могут быть самыми различными. В школьном курса объяснялось, что если аргументом является
время, а функцией перемещение тела s=s(t), то производная dsdt = v есть скорость,
если аргумент – время, а функция скоростьv = v(t) , то производная dvdt = a есть
ускорение, т.е. величина, которая показывает, насколько быстро изменяется скорость с изменением времени. Но это лишь частные случаи использования производных.
В медицинской кибернетике, например, определяется так называемый коэффициент чувствительности Ru к лечебному воздействию, который есть
производная от параметра Р по лечебному воздействию U: Ru = dUdP , т.е. этот
коэффициент показывает, насколько быстро меняется параметр организма при увеличении лечебного воздействия и т. д.
§ 3. Геометрический смысл производной
Пусть функция у= f (х) задана графически (рис. 1). Возьмем на кривой точку А(х, у) и дадим аргументу х приращение ∆х.
Y |
|
|
|
y+∆y |
|
В |
|
|
|
∆y |
|
y |
А |
∆x |
|
α φ |
|||
|
|||
|
x |
x+∆x X |
Рис. 1. Геометрический смысл производной.
7
В результате функция будет иметь значение у+∆у= f (х+∆х) и получит приращение ∆у= f (х+∆х)– f (х). Проведем секущую АВ и обозначим угол наклона секущей к оси Ох через φ. Из рисунка 1:
∆у |
= tg φ |
(1) |
∆х |
При ∆х→0 точка В перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке А. Секущая поворачивается вокруг точки А и превращается в касательную к графику функции в точке А, имеющей угол наклона α к оси Ох.
lim ϕ =α |
, а поэтому |
lim tgϕ = tgα . |
|||
∆x→0 |
|
|
|
∆x→0 |
|
Учитывая равенство (1), получим: |
|
|
|
||
lim |
|
∆у |
= tg α и |
′ |
= tg α. |
|
|
||||
∆х→ 0 ∆х |
y |
Итак, производная функции равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке, в которой находят производную.
§ 4. Общее правило дифференцирования
Нахождение производной от функции называется ее дифференцированием. Общее правило дифференцирования функции вытекает из определения производной. Чтобы найти производную функции необходимо:
1. Придать аргументу х функции у= f (х) приращение ∆х и найти новое,
наращенное значение функции
у+∆у= f (х+∆х). 2. Найти приращение функции:
(у+∆у) – y = f (х+∆х) – f (х)
∆у= f (х+∆х) – f (х).
3. Найти отношение приращения функции к приращению аргумента
∆y = f (x + ∆х) − f (x) .
∆x ∆х
4. Найти предел этого отношения при ∆х→0
8
lim ∆у =У′
∆х→ 0 ∆х
ПРИМЕР. Пользуясь данной схемой, найти производную функции у=х2. РЕШЕНИЕ: 1. Наращенное значение функции:
у+∆у = (х+∆х)2
2. Приращение функции: ∆у=(х+∆х)2 – х 2
∆у= х2 +2х∆х +(∆х)2 – х2 = 2х∆х +(∆х)2
3.Отношение приращения функции к приращению аргумента:
∆у |
= |
|
2х∆х+ (∆х)2 |
|||
|
|
|
|
|
= 2х + ∆х |
|
∆х |
|
|
∆х |
|
||
|
|
|
|
|
||
4. Производная функции: y′= |
lim |
∆y |
= lim [2x + ∆x]= 2x |
|||
|
|
∆x→0 |
∆x |
∆x→0 |
Однако применение общего правила дифференцирования к функциям различного вида – процесс трудоемкий и сложный. Достаточно знать производные от основных функций, полученные по общему правилу.
9
§ 5. Таблица производных функций
№ |
ФУНКЦИИ |
ПРОИЗВОДНЫЕ |
|
|
|
1 |
Постоянная |
y = С С = const |
|
|
у′ = 0 |
||||||||||||||||||||
величина |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
Степенная функция |
y = xn |
|
у′ = nxn−1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
Показательная |
y = a x |
y′ = a x ln a |
||||||||||||||||||||||
4 |
функция |
y = e x |
|
у′ = ex |
|||||||||||||||||||||
5 |
Логарифмическая |
y = loga x |
|
у′ = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x ln a |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6 |
y = ln |
|
x |
|
|
|
|
у′ = |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7 |
|
y = sin x |
|
у′ = cos x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8 |
Тригонометрические |
y = cos x |
у′ = −sin x |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y =tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
9 |
функции |
|
у′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
cos2 x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
10 |
|
y = ctgx |
у′ = − |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
sin 2 x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
arcsinx |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1− x2 |
||||||||||||||||||||
|
Обратные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
arcosx |
|
− |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
тригонометрические |
|
|
|
|
|
1− x2 |
||||||||||||||||||
|
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctgx |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
arcctgx |
|
− |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1+ x2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
ЧАСТНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11 |
Алгебраическая |
y = u ± v , где |
yx' = ux' ±vx' |
||||||||||||||||||||||
u = f (x) , v =ϕ(x) |
|||||||||||||||||||||||||
|
сумма функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12 |
Произведение двух |
y = uv |
yx' |
= ux' |
v +uvx' |
||||||||||||||||||||
|
функций |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
13 |
y = cu, где c = const |
|
yx' = сux' |
||||||||||||||||||||||
|
Частное двух |
y = |
u |
' |
|
|
ux' |
v −uvx' |
|||||||||||||||||
14 |
функций |
v |
yx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10