3

Практическое занятие 3

ТЕМА ЗАНЯТИЯ: градиент скалярного поля и производная по направлению; экстремум функции двух переменных; касательная плоскость и нормаль поверхности

Градиент скалярного поля и производная по направлению

Пример 3.1. Найти и для функции, определённой формулой в точке .

Р е ш е н и е. Находим частные производные и их значение в указанной точке:

Теперь имеем:

.

Пример 3.2. Найти производную функции, заданной формулой

в точке по направлению вектора , где .

Р е ш е н и е. Находим вектор :

.

Далее, находим градиент функции в произвольной точке и в точке :

Находим производную по направлению вектора :

Касательная плоскость и нормаль поверхности

Пример 3.3. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности параболоида вращения в точке .

Р е ш е н и е. Имеем . Частные производные

.

Уравнение нормали и касательной плоскости принимают, соответственно, вид

.

Пример 3.4. Написать уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности в точке .

Р е ш е н и е. Полагая , получаем:

Уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности в указанной точке принимают соответственно вид:

.

Пример 3.5. Написать уравнения семейства касательных плоскостей к поверхности параллельных плоскости .

Р е ш е н и е. Плоскость имеет нормальный

вектор . Касательная плоскость к указанной поверхности имеет уравнение

Откуда имеем нормальный вектор касательных плоскостей , где переменные не определены и являются параметрами. Плоскости параллельны, если , то есть

.

Теперь семейство касательных плоскостей определяется уравнением

Задания для самостоятельного решения

1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности с уравнением в точке .

Ответ: .

2. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности с уравнением в точке .

Ответ: .

3. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности с уравнением в точке .

Ответ: .

3. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности с уравнением в точке .

Ответ: .