11

Практическое занятие 2

ТЕМА ЗАНЯТИЯ: дифференциальные уравнения, интегрируемые в квадратурах

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Пример 2.1. Найти интегральные кривые дифференциального уравнения

.

Р е ш е н и е. 1) Перепишем данное уравнение в виде

.

2) Замечаем, что Поэтому можно разделить переменные, деля обе части уравнения на :

.

3) Используем формулу для нахождения решения:

;

;

.

4) Преобразуем полученный интеграл:

;

.

О т в е т: Интегральные кривые определяются уравнением

при всевозможных значениях параметра .

Пример 2.2. Найти частное решение уравнения , если при .

Р е ш е н и е. 1) Разделяем переменные:

.

2) Интегрируем полученное уравнение:

;

;

.

3) Используем начальные условия:

4) Частный интеграл: .

Ответ: .

Примеры для самостоятельной работы

1) Решить уравнение .

Ответ: .

2) Решить уравнение .

Ответ: .

3) Решить уравнение .

Ответ: .

Дифференциальные уравнения с однородной правой частью

Пример 2.3. Найти интегральные кривые дифференциального уравнения

.

Р е ш е н и е. Это уравнение с однородной правой частью.

1) Разделим числитель и знаменатель на :

.

2) Совершаем подстановку , где новая искомая функция. Так как , получаем новый вид уравнения:

.

После простых преобразований получаем

.

3) Разделяем переменные, предполагая, что :

.

4) Интегрируем:

.

Заменяя , получаем:

.

Ответ: Интегральные кривые определяются уравнением

.

Примеры для самостоятельной работы

1) Найти интегральные кривые уравнения .

2) Интегральные кривые определяются уравнением .

3) Найти интегральные кривые уравнения .

Ответ: Интегральные кривые определяются уравнением .

4) Найти интегральные кривые уравнения

.

Ответ: Интегральные кривые определяются уравнением

.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Пример 2.4. Найти общее решение уравнения .

Р е ш е н и е. Здесь .

1)Сначала решаем однородное уравнение :

.

2) Ищем решение исходного уравнения в виде . Подстановка в исходное уравнение даёт:

.

3) Подставляем в решение: .

Ответ: общее решение имеет вид .

Пример 2.5. Найти решение задачи Коши для уравнения

с начальным условием .

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой .

1) Находим общее решение:

.

2) Используем начальное условие , откуда .

Решение задачи Коши принимает вид: .

Ответ: .

Примеры для самостоятельной работы

Найти общее решение дифференциального уравнения. Если указаны начальные условия, то найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию.

1) .

2) , .

3) , .

4) , .

5) , .

6) , .

7) , .

8) .

9) .

10) .

11) .

Неполные обыкновенные дифференциальные уравнения

второго порядка

Пример 2.6. С аэростата, падающего с высоты со скоростью , сбросили балласт, после чего его падение замедлилось и через некоторое время сменилось подъёмом, так что через время аэростат поднялся на высоту, с которой сбросили балласт. Считая, что масса аэростата без балласта равна , а сила сопротивления воздуха и подъёмная сила аэростата постоянны, определить, сколько времени после сброса балласта аэростат опускался.

Р е ш е н и е. Начало системы координат поместим в нижнюю точку траектории аэростата, ось направим вертикально вверх (рисунок 1). По условию задачи силы, действующие на аэростат в течение всего времени движения остаются постоянными.

Уравнение второго закона динамики для опускающегося аэростата имеет вид:

, (1)

где – сила тяжести. В начальный момент времени аэростат находился на высоте , поэтому начальные условия запишутся в виде

, . (2)

Уравнение (1) – это простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение, не содержащее в правой части искомой функции и независимой переменной. Интегрируя два раза, получаем:

, (3)

. (4)

Используя начальные условия (2), получаем для постоянных: , . Теперь уравнения движения принимают вид:

, (5)

. (6)

Для поднимающегося аэростата уравнение второго закона динамики и начальные условия имеют вид:

, (7)

, . (8)

Интегрируя (7), получаем:

, (9)

. (10)

Из начальных условий (8) для постоянных получаем , , откуда получаем уравнение движения:

. (11)

Обозначим время падения аэростата , а время подъёма . Из условия задачи . Подставляя , , в (5) и (6) и , в (11), получаем систему уравнений

(12)

Исключая из уравнений системы (12) неизвестные и с учётом того, что , получаем:

.

Пример 2.7. Грузовик массой имеет максимальную скорость и разгоняется с места до скорости за время . Сила сопротивления пропорциональна скорости. Чему равняется средняя сила тяги двигателя грузовика?

Р е ш е н и е. Силы, действующие на грузовик, изображены на рисунке 2. При решении задачи предполагаем, что средняя сила тяги двигателя постоянна.

После проектирования на оси системы координат дифференциальное уравнение движения имеет вид:

.

Здесь сила трения , где коэффициент динамического трения неизвестен; – сила реакции опоры (дороги); – сила тяжести.

Обозначая , получаем:

.

Начальные условия и . Из условия на скорость получаем, что . Подстановка даёт

.

(1)

Так как задана максимальная скорость , то из необходимого условия экстремума получаем:

. (2)

Подставляя (2) в (1), при и , получаем:

.

Пример 2.8. Найти частное решение ОДУ

,

удовлетворяющее начальным условиям

, .

Р е ш е н и е. Интегрируем уравнение последовательно:

1)

;

2)

.

Так как в силу первого начального условия , получаем:

, .

Так как в силу второго начальног8о условия , получаем:

, .

Теперь частное решение, удовлетворяющее заданным условиям, принимает вид

.

Пример 2.9. Найти общее решение ОДУ

.

Р е ш е н и е. Решаем уравнение относительно :

, .

Интегрируем получившиеся ОДУ последовательно:

1) , , ;

2) , , .

Совокупность этих решений образует общий интеграл ОДУ.

Так как квадратный трёхчлен имеет разложение

,

то общий интеграл ОДУ имеет вид:

.

Пример 2.10. Найти общее решение ОДУ

.

Р е ш е н и е. Положим , тогда из уравнения получаем

.

Интегрируя получившееся уравнение, получаем

, , , .

Заменяя , получаем уравнение

.

Уравнение содержит только и . Разрешая его относительно , получаем

.

Это уравнение интегрируем последовательно:

.

.

Линейные однородные дифференциальные уравнения

второго порядка

Пример 2.11. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения

.

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение

.

Корни характеристического уравнения

, .

Фундаментальная система решений

.

Общее решение имеет вид:

.

Пример 2.12. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения

.

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение

.

Корни характеристического уравнения

.

Фундаментальная система решений

.

Общее решение имеет вид:

.

Пример 2.13. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения

.

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение

.

Корни характеристического уравнения

, .

Фундаментальная система решений

.

Общее решение имеет вид:

.

Пример 2.14. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения

.

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение

.

Преобразуем характеристическое уравнение:

.

Корни характеристического уравнения

, , .

Фундаментальная система решений

.

Общее решение имеет вид:

.

Пример 2.15. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения

.

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение

.

Корень ищем среди множителей свободного члена, это 2 и 4. Проверяем 2, для чего делим уголком:

.

Уравнение принимает вид:

.

Находим оставшиеся корни характеристического уравнения

, , .