Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский государственный горный университет

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

ЛЕКЦИЯ 1. Примеры математических моделей ... ++

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

368.13 Кб

Скачать

☆

ЛЕКЦИЯ 1.

Примеры математических моделей, описываемых обыкновенными

дифференциальными уравнениями

Распад радия. Экспериментальным путём установлено, что скорость распада радиоактивного радия в текущий момент времени пропорциональна его массе в тот же момент времени. Требуется найти закон распада радия, если известно, что в момент времени имелось радия.

Скорость распада радия обозначим как обычно . По условию она пропорциональна наличной массе радия . В процессе распада радия его масса строго монотонно убывает (производная отрицательна), и для скорости распада имеем дифференциальное уравнение с обыкновенной производной – обыкновенное дифференциальное уравнение:

. (1.1)

В уравнении (1.1) постоянный коэффициент определяется эмпирически.

По условию задачи в момент имелось единиц массы радия. Это условие можно записать в виде

. (1.2)

Формула (1.2) выражает так называемое начальное условие.

Умножая обе части уравнения (1.1) на величину, обратную , получаем

откуда получаем цепочку очевидных преобразований

где – произвольная постоянная величина. Последнее равенство перепишем следующим образом

, (1.3)

где – произвольная, но строго положительная постоянная. Таким образом, мы представили произвольную постоянную в логарифмическом виде, действительно:

1) если постоянная изменяется в пределах , то принимает все отрицательные значения из множества действительных чисел;

2) если , то ;

3) если принимает любые значения , то принимает все положительные значения из множества всех действительных чисел.

Таким образом, произвольная постоянная действительно представлена в логарифмическом виде .

Потенцирование равенства (1.3) с учётом того, что масса не может быть отрицательной, даёт:

. (1.4)

Формула (1.4) даёт, вообще говоря, бесконечное множество решений уравнения (1.1) – так называемое общее решение дифференциального уравнения (1.1).

Чтобы из общего решения (1.4) выделить единственное решение, удовлетворяющее начальному условию (1.2), используем это условие, что приводит к следующему значению произвольной (положительной) постоянной :

Теперь вместо общего решения (1.4) имеем частное решение следующего вида:

. (1.5)

Если начальное условие (1.2) записано для момента времени , то есть

, (1.6)

то решение (1.5) принимает более простой вид

. (1.7)

Движение материальной точки в однородном поле сил тяжести. Пусть тело малых размеров (материальная точка) с массой брошено вблизи поверхности Земли (на высоте ) под углом к горизонту с некоторой начальной скоростью . Требуется определить закон движения материальной точки.

Описанная ситуация изображена на рисунке 1.1. Ось декартовой системы координат перпендикулярна плоскости рисунка и направлена за плоскость . Проекции силы тяжести на оси системы координат

, . (1.8)

Уравнение движения второго закона Ньютона

(1.9)

в проекциях на оси системы координат записывается в виде системы уравнений

(1.10)

Учитывая (1.8), перепишем (1.10) в виде:

(1.11)

Из уравнений системы (1.11) исчезла масса материальной точки, что является характерным свойством задач, связанных с движением в поле сил тяжести.

Выпишем начальные условия:

, , ,

, , . (1.12)

Интегрируя уравнения (1.11), получаем:

, ;

, ; (1.13)

, .

Полагая в решении (1.13) и используя начальные условия (1.12), получаем для произвольных постоянных следующие значения:

, , , , .

Подставляя полученные значения произвольных постоянных в (1.13), получаем закон движения материальной точки в следующем виде:

(1.14)

Формулы (1.14) дают решение задачи о движении материальной точки в однородном поле сил тяжести.

Барометрическая формула. Найдём формулу изменения атмосферного давления с высотой.

Вес столбика воздуха (рисунок 1.2) выражается формулой:

, (1.15)

где – площадь основания цилиндра, – плотность воздуха, – высота цилиндра. Воздух предполагаем идеальным, поэтому сила давления на цилиндрик равна разности сил давления на нижнее и верхнее основания:

. (1.16)

Условие равновесия цилиндрика воздуха следует из (1.15), (1.16) и имеет вид:

. (1.17)

Из условия (1.17) получаем:

, (1.18)

где учтено, что плотность воздуха с высотой изменяется и, следовательно, в (1.18) имеем функциональную зависимость плотности от высоты: .

Для идеального газа связь давления и плотности даётся уравнением Клапейрона-Клаузиуса:

Где , – универсальная газовая постоянная, – абсолютная температура. Учитывая эти обозначения, имеем

. (1.19)

Подставляя (1.19) в (1.18), получаем следующее дифференциальное уравнение

. (1.20)

Уравнение (1.20) называется основным уравнением гидростатики.

Это уравнение решаем аналогично предыдущим примерам:

Учитывая зависимость температуры от высоты , получаем

или

Откуда получаем, что

Используем начальные условия: при , , что даёт для постоянной значение . Окончательно получаем барометрическую формулу в виде:

Эта формула называется также манометрическим уравнением.

Непрерывное начисление процентов. Пусть сумма, в размере 1000 рублей, помещена в банк под 12% годовых. Считая, что начисление процентов производится непрерывно, определить, через сколько лет нарощенный капитал составит 100000 рублей.

Пусть капитал через лет равен . За малый промежуток времени приращение величины определится формулой

. (1.21)

Из (1.21) имеем

откуда

. (1.22)

При имеем из условия задачи, что . Поэтому . Теперь из (1.22) получаем

или

. (1.23)

Подставляя в (1.23) , получаем:

Модель освоения введённых производственных мощностей. Пусть – расчётная мощность некоторого предприятия, а – фактическое производство предприятия на базе этой мощности в момент (фактически используемая мощность ). Пусть прирост производства пропорционален недоиспользованной мощности, тогда

или

Переходя к непрерывному описанию при , получаем

или

. (1.24)

Очевидное начальное условие имеет вид:

, . (1.25)

Иногда вместо коэффициента пропорциональности вводят постоянную времени , что приводит уравнение (1.24) к виду

. (1.26)

Ищем общее решение уравнения (1.24) следующим методом.

Сначала находим общее решение однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному уравнению:

, .

Отсюда получаем

. (1.27)

Общее решение неоднородного уравнения (1.24) ищем в виде (1.27), полагая

. (1.28)

Имеем:

. (1.29)

Подставляя (1.28) и (1.29) в неоднородное уравнение (1.24), получаем:

После приведения подобных и умножения обеих частей на имеем простейшее дифференциальное уравнение

интегрируя которое получаем

. (1.30)

Подставляя (1.30) в (1.28), получаем общее решение неоднородного уравнения (1.24) в виде

. (1.31)

Используя в (1.31) начальное условие (1.25), получаем окончательно:

или

Модель экономики Кейнса. В модели экономики Кейнса предполагается, что ВВП в следующем году равен совокупному спросу предыдущего, то есть текущего года, а совокупный спрос, представляется суммой