1. Множества, операции, отношения
.pdf
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Практическое занятие 1. |
|
|
|||
|
|
Множества, операции, отношения |
|
||||
Задача 1.8.1. Найти все подмножества множества M 2, 7, 9 . |
|
||||||
Р е ш е н и е. |
Подмножествами данного множества являются: пустое мно- |
||||||
жество ; само множество |
M |
; одноэлементные множества 2 , 7 , |
9 ; двух- |
||||
элементные множества 2, 7 , 2, 9 , 7, 9 . |
|
|
|
||||
Задача |
1.8.2. |
Найти |
пересечение, объединение |
и разность |
множеств |
||
A a, b, c, d, e, f , B |
b, e, f , k . |
|
|
|
|||
Р е ш е н и е. Пересечение множеств A B содержит три элемента |
|||||||
A B b, e, f , |
|
|
|
|
|
||
объединение множеств содержит семь элементов |
|
|
|||||
A B a, b, c, d, e, f , k , |
|
|
|
||||
разность |
|
|
|
|
|
|
|
A B a, c, d . |
|
|
|
|
|
||
Задача |
1.8.3. |
Найти |
пересечение |
множеств |
решений неравенств |
||
2x 3 x 1 и 3x |
8 2x 1, полагая, что |
x R . |
|
|
|||
|
0 |
|
4 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1. |
|
Р е ш е н и е. |
Решением первого неравенства является множество действи- |
||||
тельных чисел x |
4, решением второго неравенства является множество дей- |
||||
ствительных чисел x 9. Их |
пересечением (рисунок 1.8.1) является множество |
||||
M x R: 4 x 9 . |
|
|
|
|
|
Задача 1.8.4. Найти произведение A B множеств |
|
||||
A m, p , B e, f , k . |
|
|
|||
Р е ш е н и е. |
Составляем, согласно определению, всевозможные упорядо- |
||||
ченные пары, первой компонентой которых является элемент множества A , а |
|||||
второй – элемент множества B : |
m, k , p, e , p, f , p, k . |
|
|||
A B m, e , m, f |
, |
|
|||
Задача 1.8.5. Изобразить на координатной плоскости произведение |
A B |
||||
множеств A 1, 2, 3, 4 , B |
x R : 2 x 4 . |
|
|||
Р е ш е н и е. |
Множество A конечно, а множество B – бесконечно, |
поэто- |
|||
му произведение множеств состоит из бесконечного множества упорядоченных пар, первым компонентом которых являются числа 1, 2 , 3 любое действительное число из замкнутого промежутка пар координат ной плоскости изобразится
2
Y
4
3
2
1
O 1 2 |
3 4 |
X |
|
Рис. 2.
в виде четырёх отрезков, параллельных оси ординат (рисунок 1.8.2). Задача 1.8.6. Доказать транзитивность отношения равенства для произ-
вольных множеств.
Р е ш е н и е. Пусть X , Y и Z – произвольные множества. Покажем, что из
X Y и Y Z X Z .
Пусть x X . Тогда, так как X Y , имеем x Y . Но так как Y Z , получаем x Z . Обратно, из x Z следует, что x X . По закону тождества получаем X Z .
Задача 1.8.7. Доказать, что для произвольных множеств A , B и C справедливо равенство: A \ B C A \ B A \ C .
Р е ш е н и е. Покажем, что
A \ B C A \ B A \ C .
Пусть x A \ B C . Откуда следует, что x A и x B C . То есть, x A
и x B , или x C . Поэтому
x A \ B , или x A \ C ,
то есть
x A \ B A \ C .
Следовательно, в соответствие с определением части множества включение
A \ B C A \ B A \ C
доказано.
Включение A \ B A \ C A \ B C доказывается аналогично.
Из доказанных включений с учётом закона тождества получаем требуемое равенство A \ B C A \ B A \ C .
Задача 1.8.8. Проверить непосредственно, что для множеств
X 3, 5, 7 , Y 7, 9 , Z 0, 1
выполняется следующее равенство: X Y Z X Z Y Z .
Р е ш е н и е. Для левой части равенства непосредственно получаем X Y 3, 5, 7, 9 и далее имеем:
X Y Z 3, 5, 7, 9 0, 1
3, 0 , 5, 0 , 7, 0 , 9, 0 , 3, 1 , 5, 1 , 7, 1 , 9, 1 .
Для правой части получаем аналогично:
3
X Z Y Z 3, 5, 7 0, 1 7, 9 0, 1
3, 0 , 5, 0 , 7, 0 , 3, 1 , 5, 1 , 7, 1 7, 0 , 7, 1 , 9, 0 , 9, 1
3, 0 , 5, 0 , 3, 1 , 5, 1 , 7, 0 , 7, 1 , 9, 0 , 9, 1 .
Сравнивая полученные равенства, видим, что оба множества состоят из одних и тех же элементов, то есть, равны друг другу.
Задача 1.8.9. Выяснить, является ли на подмножестве
R x R : x 0
множества действительных чисел R алгебраической операция x y x2 и указать, обладает ли эта операция свойствами коммутативности и ассоциативности.
Р е ш е н и е. Пусть x, y, z – любые элементы из R . Тогда, очевидно,
x R x2 R , то есть операция является бинарной алгебраической операцией. Так как по определению операции имеем
x y x y x2 y x y2 ,
то операция не является коммутативной. Далее, так как
x y z R x y z x2 x y z x y 2 x4 ,
то операция не является ассоциативной.
Задача 1.8.10. Ассоциативна ли на множестве действительных чисел R операция x y sin x sin y .
Р е ш е н и е. Для определённой операции имеем:
x, y, z R x y z sin sin x sin y sin z , x y z sin x sin sin y sin z .
Очевидно, что x y z x y z выполняется не для всех x, y, z , следовательно, операция свойством ассоциативности не обладает.
Задача 1.8.11. На множестве M 2, 4, 6, 8 задано отношение «мень-
ше». Изобразить это отношение: 1) выписав все упорядоченные пары; 2) построив граф отношения.
2 |
4 |
|
6
8
Рис. 1.8.3.
Р е ш е н и е. Отношение имеет вид:
2 4, 2 6, 2 8, 4 6, 4 8, 6 8.
Запишем отношение в виде подмножества M M произведения множества M на себя, то есть в виде множества упорядоченных пар:
4
2, 4 , 2, 6 , 2, 8 , 4, 6 , 4, 8 , 6, 8 .
Граф отношения приведён на рисунке 1.8.3.
Задача 1.8.12. Пусть M f , p, q и задано подмножество множества
MM
f , p , f , q , f , f , p, f , q, f , p, q , p, p , q, p , q, q .
Обладает ли определяемое этим подмножеством отношение свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности?
Р е ш е н и е. Очевидно, что для элементов множества истинны следую-
щие высказывания:
1 f , f , p, p , q, q ;
2 f , p p, f , f , q q, f ,
p, q q, p ;
3 f , p p, q f , q ,f , q q, p f , p ,p, f f , q p, q .
Поэтому отношение на множестве M , заданное множеством упорядоченных |
|||||||||
пар элементов M , рефлексивно, симметрично и транзитивно. |
|
|
|||||||
Задача 1.8.13. Показать, что отношение включения |
является отношени- |
||||||||
ем порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е. |
1) |
Пусть X – произвольное множество. Так как всегда |
|||||||
X X , то отношение |
рефлексивно. 2) Пусть |
X , Y , Z |
– |
произвольные |
|||||
множества, для |
которых |
|
выполняются включения |
X Y |
и |
Y Z . Если |
|||
x X , то в силу |
X Y имеем x Y , а так как Y Z , то и x Z . Поэтому |
||||||||
X Y Y Z X Z , то есть отношение транзитивно. 3) Так как по |
|||||||||
закону тождества имеем |
|
|
|
|
|
|
|
||
X Y Y X X Y , |
|
|
|
|
|||||
то отношение антисимметрично. |
|
|
|
|
|||||
Отношение |
|
рефлексивно, транзитивно и антисимметрично и, следова- |
|||||||
тельно, является отношением порядка. |
|
|
|
|
|||||
Задача 1.8.14. Пусть функция f : M1 M 2 , |
где |
M1 R и M 2 R , |
|||||||
|
|
|
|
||||||
задана формулой y |
1 x2 . Требуется: найти множество определения M |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
и множество значений M 2 этой функции; выяснить, является ли данная функция |
|||||||||
отображением или преобразованием; выяснить, является ли |
f |
инъективной, |
|||||||
сюръективной или биективной. |
|
|
|
|
|||||
Р е ш е н и е. |
Множеством определения функции |
f является множество |
|||||||
M1 x R : 1 x 1 , а множеством значений – |
множество M 2 M1 , |
||||||||
следовательно f |
осуществляет отображение M1 на M1 , то есть является преоб- |
||||||||
5
разованием. Так как x M1 : f x f x , то преобразование f не является инъективным, но очевидно, что f – сюръективно. Следовательно, отображение f не является биективным.
Задача 1.8.15. Доказать, что множество натуральных чисел N с операцией: x y min x, y является полугруппой.
Р е ш е н и е. Исходя из определения полугруппы, нужно проверить, что операция является алгебраической и ассоциативной. Так как
x, y N x y min x, y N ,
то операция является алгебраической. Проверим её на ассоциативность, име-
ем:
x, y, z N x y z min min x, y , z min x, min y, z .
Операция ассоциативна. Поэтому N, – полугруппа.
Задача 1.8.16. Доказать, что множество положительных действительных
чисел R x R : x 0 , в котором операции «сложения» и «умножения на число» введены по правилам
def def
x, y R R x y x y x x ,
является векторным пространством.
Р е ш е н и е. Согласно определению векторного пространства, в множестве
R должны выполняться две группы аксиом.
Аксиомы сложения:
1)x, y A x y y x (коммутативность);
2)x, y, z A x y z x y z (ассоциативность);
3)0 A : x A x 0 x (существование нулевого элемента);
4)x A x A : x x 0 (существование противополож-
ного элемента).
Аксиомы умножения на число:
5)x A , R x x x;
6)x, y A R x y x y ;
7)x A 1 x x ;
8)x A , R x x .
Во множестве R операция «сложения» является бинарной алгебраической операцией, а операция «умножения на число» является внешней бинарной операцией, так как
x, y R R x y R x R .
Проверим выполнение аксиом.
1) Коммутативность операции «сложения» выполняется, так как
6
x, y R x y y x .
2) Ассоциативность операции «сложения» выполняется, так как
x, y, z R x y z x y z .
3) В качестве нулевого элемента выбираем единицу, так как
x R 1 x x 1 x .
4) Противоположный элемент
x 1x ,
так как x R x 1x 1.
5) Так как x x x , то
x x x.
6) Так как x y x y , то
x y x y .
7) Так как x1 x , то
1 x x .
8) Так как x x , то
x x .
Все аксиомы векторного пространства выполняются, следовательно, мно-
жество R с введёнными операциями является векторным пространством над полем действительных чисел R .