2. Лекция 1.2. Пространство R3 (1 с.) +
.pdf11
|
|
|
|
|
x, a |
y, a , |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то эти векторы равны: x |
y . |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о. Добавляя к обеим частям указанного в условии ра- |
||||
|
|
|
|
|
венства число y, a и используя аддитивность функции скалярного произве- |
||||
|
|
|
|
|
дения, получаем |
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
x |
y, a |
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда с учётом аксиомы невырожденности следует, что x y 0 .
Теорема 1.3. Для любых векторов x, y, z R3 и для любого действительного числа имеют место следующие свойства векторного произведения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
x, y |
|
y, x |
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
(1.27) |
||||||||
x, |
y |
|
|
x, |
y |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) |
x |
y, z |
|
x, z |
|
y, z |
|
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x, x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство этой теоремы проводится с использованием утверждения 1.1 и предлагается в качестве упражнения.
Из теоремы 1.3 вытекают такие следствия.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следствие 1 из теоремы 1.3. Ориентированный объём V x, y, z па- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
раллелепипеда, построенного на векторах |
x, y, z , линеен по каждому из своих |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аргументов. То есть для любых векторов, например, |
x', x'' R3 , |
и для любых |
||||||||||||
, R имеет место равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
V x' x'', y, z |
|
V x', y, z V x'', y, z |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
Следствие 2 из теоремы 1.3. Если система векторов x, y, z линейно за-
|
|
|
0. |
|
|||
висима, то V x, y, z |
|
||
|
|
|
|
Следствие 3 из теоремы 1.3. Ориентированный объём параллелепипеда, построенного на векторах любой ортонормированной системы, равен единице.
Формулы для вычисления векторного и смешанного произведений.
Используя свойства векторного и смешанного произведений, нетрудно получить формулы, выражающие их через координаты перемножаемых векторов.
Теорема 1.4. Если в некоторой декартовой системе координат векторы
x и y заданы, соответственно, разложениями
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x1 e 1 x2 e 2 x3 e 3 , y |
y1 e 1 y 2 |
e 2 y3 e 3 , |
|||||||
то справедлива формула |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 y1 x1 y3 |
e 2 x1 y 2 x2 y1 e 3 . |
||||
x, y |
x2 y3 x3 y 2 e 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.28) |
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как имеют место разложения |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x1 |
e 1 x2 |
e 2 x3 |
e 3 , |
y y1 e 1 y 2 |
e 2 y3 |
e 3 , |
|||
то, проводя несложные выкладки с учётом свойств векторного произведения и
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, e 2 |
, e |
|
(1.24) для канонического (ортонормированного) базиса векторов e |
1 |
3 , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем доказательство теоремы. |
|
|
|
|
||||||
Следствие из теоремы 1.4. Пусть в некоторой декартовой системе коор- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
динат векторы x , y и z определены своими разложениями |
|
|
|
|
||||||
|
x1 |
|
x2 |
|
x3 |
|
|
|
|
|
x |
e 1 |
e 2 |
e 3 , |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y1 |
e 1 |
y 2 |
e 2 |
y3 e 3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
z1 |
e 1 |
z 2 |
e 2 z3 |
e 3 . |
|
|
|
|
|
Тогда в той же системе координат справедлива следующая формула для смешанного произведения:
|
|
|
|
|
|
|
|
x, y , z |
x1 y2 z3 x2 y3 z1 x3 y1 z 2 x1 y3 z 2 x2 y1z3 x3 y 2 z1 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(1.29) |
13
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рекомендуется доказать формулу (1.29) самостоятельно, проводя выкладки непосредственно.