3. Операторы и матрицы

1) x

e 1

3 e 2 , y

e 1

e 3 , z

e 1 2 e 2 e 3 ;

2) x

3 e 1

2 e 2

e 3 , y

5 e 1

5 e 2

5 e 3 , z

e 2

2 e 3 ;

3) x

6 e 2

e 3 , y

2 e 2 , z e 1 e 2 e 3 .

2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

x и

y , если

дано:

1) x

a

3 b , y

2 a

b ,

a

2,

b

1, a, b

;

6

2,

2

2) x

2 a b , y

a

3 b ,

a

b

, a, b

;

4

1,

2

3) x

a

2 b , y

a

3 b ,

a

b

, a, b

.

2

R3 ,

3. Пусть

a

0

– некоторый фиксированный вектор

из

а операторы

A : R3 R3 и B : R3

x R

3

R3 , действуют по правилам

1) A x

a, x a

, 2) A x

a, x .

Показать, что эти операторы линейные и найти их матрицы.

4. Показать, что операторы

A : R3

R3, B : R3

R3 , C : R3 R3 ,

действие которых задано координатными соотношениями

x

2x 3x

2x

1

1

2

3

1) A x2

2x1 3x3

,

2x2 3x3

x3

x

2x 3x

2x

1

1

2

3

2) B x2

2x1 2x2 3x3

,

2x2 3

x3

x

x 2x

x

1

1

2

3

3) C x2

3x1 2x2

,

3x2 x3

x3

A : R3 R3 и

B : R3

R3 на произвольный вектор x

R3 заданы соотно-

шениями:

x

2x 3x

2x

x

3x x

x

1

1

2

3

1

1

2

3

A x2

2x1 3x3

; B x2

2x1

.

2x2

3x3

x3

x3

x3

Найти координаты вектора:

2

2

2

1) A

2 B

x ; 2)

2 A

3 B

x ; 3) A B B A x .

6. Найти матрицы, обратные данным матрицам:

1 2

3

1

1 2

1

3 0

2 3

1

0 2 3

1

2 0

а)

; б)

; в)

.

3 1

2

0 1 2

2

1 1

7. Решить СЛАУ матричным методом и по формулам Крамера:

x 3x

2

x

3

2,

x 3x

2

x

3

5,

1

1

1

2x1 3x2

2x3

0,

2

3x1

4x2

3x3

11,

3x 2x

2

x

3

4;

2x 4x

2

x

3

9.

1

1

8. Найти решение СЛАУ по формулам Крамера:

x1 2x2 x3 8,

3x1 2x2 x3 5,

3x2 3x3 5,

2x1 3x2 x3 1,

1) 2x1

2)

3x 4x

2

5x

10;

2x

x

3x

11;

1

3

1

2

3

9. Разложить вектор x

, a

, a

по системе векторов a

1

2

3 :

1)

a1

e 2

2 e 3 , a 2

e 1

e 3 , a 3 e 1 2 e 2

4 e 3 ,

x

2 e 1 9 e 3 .

2)

a1

e 1

3 e 2 , a 2 e 1 e 2 e 3 , a 3 e 2 2 e 3 ,

x

5 e 1 12 e 2 e 3 .

3)

a1

3 e 1 e 2 e 3 , a 2

3 e 2 e 3 , a 3

e 1 e 2

e 3 ,

x

2 e 2 4 e 3 .

x1

2 e 1 2 e 2 ,

x 2

2 e 2

2 e 3 ,

x 3

2 e 1 2 e 3

и матрица

2

1

3

A

1

2

3

.

1

3

2

Будет ли линейно независимой система векторов A x1 , 2 A x 2 , 3 A x 3 ?

11. Проверить, что AB C A BC , если

5

8

4

3 2

5

1

1

0

5

1 3

A

6

9

, B

4

, C

0 1

1 .

4 7

3

9

6

5

1

1

1

от матрицы

2

1

1

X

1

2

1

.

1

1

2

5

18. Решить матричные уравнения:

1 1

1

1

1

3

а) X

2 1

0

4

3 2

;

1

1

1

1

2

5

2

1

3

2

2

4

б)

X

.

3

2

5 3

3

1

19. Решить методом Гаусса СЛАУ:

2x1 x2 x3 4,

а)

3x1

4x2

2x3

11,

3x1

2x2

4x3

11;

2x1 x2 4x3 0,

б)

3x1

5x2

7x3 0,

1

5x

2

6x

3

0;

4x

x

1

2x

2

3x

3

2x

4

6,

2x1 x2

2x3 3x4 8,

в)

3x1 2x2 x3 2x4 4,

2x

1

3x

2

2x

3

x

4

8.

1

2

3

A

2

3

1

.

3

1

2

Найти объём треугольной пирамиды с вершинами

A 0; 0; 0 ; B 3; 3; 0 ; C 0; 3; 3 ; D 3; 0; 3

до и после деформации пространства.

, a

2 , a 3

, a

– некоторый базис, а

21. Пусть a1

4 X 4

6

1

2

0

1

3

0

1

2

T

2

5

3

1

1

2

1

3

4 X

4 . Найти матрицу оператора в бази-

– матрица линейного оператора T : X

1 , g 2 , g 3 ,

g 4

X 4 , если:

се g

а) g1

2 a1

a 2 a 3 a 4 , g 2

3 a1 2 a 2 3 a 3 a 4 ,

g 3

4 a1

3 a 2

2 a 3 a 4 , g 4

5 a1

4 a 2

3 a 3

2 a 4 ;

б) g1

2 a1

a 2 2 a 3 3 a 4 , g 2

3 a1

a 2

2 a 3

2 a 4 ,

g 3

2 a1

2 a 3

2 a 4 ,

g 4 2 a1 a 2

a 3

2 a 4 .

2x

1

x

2

4 x

3

0,

а)

3x1 5x2 7 x3 0,

1