5. Связь плоской гидродинамической задачи с теорией функций комплексного переменного.

Каждый определенный выбор аналитической функции дает определенную систему линий токаи изопотенциальных линий, устанавливает определенную кинематическую картину поля скоростей. Гидродинамическое истолкование некоторых свойств аналитических функций.

6. Примеры комплексного потенциала.

Пример1 Построить линии тока и линии равного потенциала скорости.

( ‎1.0 )

а- вещ.

( 1. 0)

Линии тока:

Линии равного потенциала:

Скорость во всем потоке постоянна, и при а>0

Рис. ‎1.2 Картина течения при

Поток однородный поступательный. При комплексном а , характер потока сохранится, изменится лишь направление скорости.

Пример2 Построить линии тока и линии равного потенциала скорости.

( ‎1.0 )

а- вещ.

( ‎1.0 )

Линии тока:

Линии равного потенциала:

Рис.‎1.3

Y

Картина течения при

Комплексная скорость

Пример2 Построить линии тока и линии равного потенциала скорости.

	( ‎1.0 )

Линии тока – система окружностей, касательных оси X__________:

( ‎1.0 )

Изопотенциальные линии, касательных оси Y_ _ _ _ _ _ _ _ _::

( ‎1.0 )

Рис. ‎1.4 Картина течения при

Величина скорости в начале координат становится бесконечно большой

двукратный полюс;

- простой полюс;

Пример2 Построить линии тока и линии равного потенциала скорости.

	( ‎1.0 )

Линии тока – лини, лучеобразно исходящие из начала координат.

( ‎1.0 )

Изопотенциальные линии - окружности::

( ‎1.0 )

Рис. ‎1.5 Картина течения при

- простой полюс

7. Источники и стоки

Определение.Из начала координат вытекает в каждую секунду некоторое количество жидкости m, такую точку называем – источник,

Определение.Секундное количество вытекающей жидкости – мощностью или обильностью источника, при m<0 – происходит поглощение жидкости, такую точку называем сток.

Если начало координат – источник мощности m, поток жидкости через окружность=m

;

; ;

;

(7.1)

Если в точках плоскости находятся источники или стоки с обильностями , то

(7.2.)

(7.3.)

(7.4)

где и модуль и аргумент комплексного числа

7.2. Случай непрерывного распределения точечных источников вдоль линии на отрезке (-a,a) k – общая обильность источников

8. Дублеты

Def. Совокупность источника и стока с мощностями и , помещенных на малом расстоянии друг от друга называется дублетом.

- момент дублета

1. А

-m

Согласно (7.3.)

С точностью до малых величин

, т.к.

;

Разлагая в пределе

Для комплексного потенциала

;

Если ось дублетасоставляет угол с осью Ox

Если на плоскости Oxy в точках

помещены дублеты, моменты которых равны,

а оси образуют углы с осью Ox

Задача1. Рассмотреть движение, определяемое комплексным потенциалом ;- веществ.

Задача 2. Исследовать движение, определяемое потенциалом скорости Какой объем жидкости (а>0) протекает каждую секунду через отрезок прямой линии, соединяющей точки

Задача3. Рассмотреть движение, определяемое комплексным потенциалом ;в области, получающейся, если вдоль положительной оси Ox поставить стенку.

Задача4.Пусть в точке А(x,y)расположен источник обильности q,в точке В сток –q, расстояние между ними l

Найтив предположении

Задача5. Исследовать движение, определяемое комплексным потенциалом

Решение

=

===

уравнение линий тока

частный случай линий тока

2 источника в точках

- сток