стат / Задача 18

Задача 18. Используя операторы рождения и уничтожения в представлении Мацубары, получить равновесные распределения Ферми и Бозе в идеальных газах.

Решение. Оператор в представлении Мацубары определяется как

Здесь Т – температура системы, - гамильтониан. Отсюда находим ее производную

(1)

Гамильтониан идеального газа запишем в представлении вторичного квантования (над операторами рождения и уничтожения частиц для краткости мы далее не ставим «шляпки»)

Далее все операции сложения и вычитания, относящиеся к ферми-газу, отмечаем верхним знаком, а к бозе-газу – нижним. Вычислим коммутатор

(2)

Из правил коммутации операторов следует, что Поэтому происходит взаимоуничтожение двух последних слагаемых в сумме в (2). Следовательно,

.

Подставляя это соотношение в (1), получим для оператора в представлении Мацубары уравнение

.

Решая его, находим

. (3)

Вычисляем среднее число частиц, используя статистическое распределение Гиббса

(4)

Здесь Sp – сумма диагональных элементов матрицы. Перепишем второе слагаемое, используя (3), в виде

Под знаком Sp можно производить циклическую перестановку операторов. Следовательно,

Используя это соотношение, из (4) получим уравнение

,

Откуда окончательно получим распределения Ферми и Бозе

Здесь верхний знак относится к распределению Ферми, а нижний – к распределению Бозе.