стат / Задача 17

Задача 17. Вычислить флуктуационную поправку к теплоемкости в окрестности критической температуры фазового перехода второго рода.

Решение. Термодинамический потенциал неоднородной среды в окрестности фазового перехода определяется соотношением (3) предыдущей задачи 16

Отсюда находим энтропию

.

Флуктуация энтропии равна

Таким образом, флуктуацию энтропии можно выразить через корреляционную функцию, введенную в задаче 16

Подставляя формулу (9) из задачи 16 для корреляционной функции, находим

(1)

Теплоемкость и ее флуктуация определяется через энтропию и ее флуктуацию с помощью соотношений

. (2)

Подставляя (1) в (2), получим

. (3)

Согласно формуле (10) из задачи 16 корреляционный радиус равен

. (4)

Подставляя (4) в (3), окончательно получим для флуктуации теплоемкости (при температуре выше критической) следующее выражение

(5)

Оно неприменимо слишком близко к критической точке, в которой флуктуация обращается в бесконечность. Получим условие применимости полученного выражения. Из формулы (1) задачи 16 для термодинамического потенциала однородной среды можно вычислить саму энтропию и теплоемкость вблизи критической точки. Получим

(6)

Ниже критической точки согласно решению задачи 16 намагниченность равна Подставляя это выражение в (6), получим

(7)

Выше критической точки М = 0, и приведенной добавки к энтропии нет. Сама энтропия непрерывна в точке фазового перехода, но ее производная, определяющая теплоемкость, терпит разрыв:

(8)

Флуктуация теплоемкости (5) должна быть мала по сравнению со скачком теплоемкости в формуле (8). Получаем условие

Отметим, что это же условие было получено и в задаче 16 (формула (11)).