стат / Задача 23

Задача 23. Рассчитать верхнее и нижнее критическое поле для сверхпроводников второго рода.

Решение. В задаче 24 вычислялось поверхностное натяжение на границе сверхпроводящей и нормальной фазы в металлах. Было найдено, что оно может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от знака и величины параметра Гинзбурга-Ландау . В первом случае говорят о сверхпроводниках первого рода, во втором – о сверхпроводниках второго рода. Переход поверхностного натяжения через нуль происходит, как было показано в задаче 24, при значении В первом случае при увеличении магнитного поля происходит фазовый переход первого рода, когда поле достигает критического значения, найденного в задаче 24 (формула (1)).

Во втором случае при достижении критического поля термодинамически выгодно образование участков нормальной фазы, в которых отрицательная энергия поверхности компенсируется положительной энергией зародыша нормальной фазы. Нижнюю границу магнитного поля, когда это становится возможным, называют нижним критическим полем . При дальнейшем увеличении поля достигается так называемое верхнее критическое поле , за которым сверхпроводимость полностью разрушается и металл становится нормальным. В промежутке между этими двумя состояниями сверхпроводник находится в смешанном состоянии. Его свойства меняются от чистого сверхпроводника при до нормального металла при . Оба критических поля обращаются в нуль при достижении критической температуры.

Определим сначала верхнее критическое поле . Амплитуда парных корреляций  в этом случае мала. Поэтому можно пренебречь нелинейным членом в уравнении Гинзбурга-Ландау (см. формулу (3) в задаче 24)

Записывая векторный потенциал в постоянном магнитном поле как , приходим к уравнению

С математической точки зрения оно идентично стационарному уравнению Шредингера в потенциале одномерного гармонического осциллятора (хотя движение электрона здесь является трехмерным). При таком сравнении имеем

Минимальное значение энергии осциллятора, как известно из квантовой механики, равно

Итак, верхнее критическое поле равно

(1)

Зародыши сверхпроводящей фазы, описываемые приведенным выше уравнением Гинзбурга-Ландау, могут существовать, только если поле Н меньше : от этого значения начинается непрерывный спектр энергий вдоль направления Z, так как движение вдоль магнитного поля не квантуется.

Согласно формуле (7) из задачи 24 параметр Гинзбурга-Ландау имеет вид

.

Согласно формуле (1) задачи 24 критическая напряженность поля равна

.

Следовательно, . Сравнивая это соотношение с (1), находим величину верхнего критического поля

(2)

Теперь обратимся к расчету нижнего критического поля . Если поле несколько больше этого значения, то в основной сверхпроводящей фазе появляются зародыши нормальной фазы. Эти зародыши должны иметь по возможности максимальную поверхность – тогда отрицательная поверхностная энергия будет максимальна, т.е. свободная энергия будет минимальна. Естественна структура, при которой эти зародыши представляют собой тонкие нити, параллельные направлению магнитного поля. Эти нити охватывают кольцевые токи. Токам соответствуют согласно закону Фарадея магнитные потоки вдоль нитей. При приближении к токи и соответственно магнитные потоки уменьшаются. Однако бесконечно малым магнитный поток быть не может ввиду его квантования.

Вычислим элементарный квант потока магнитного поля. Согласно теореме Стокса поток магнитного поля можно выразить через циркуляцию векторного потенциала

(3)

В рамках модели Гинзбурга-Ландау вычислим плотность тока. Согласно решению задачи 24 (см. формулу (3) для одномерного случая) запишем свободную энергию в виде

Здесь - свободная энергия нормального состояния. Как и в задаче 24, для сокращения обозначений используем здесь систему единиц . Амплитуда спаривания электронов  является в общем случае комплексной величиной. При минимизации свободной энергии ее вариация по магнитному полю содержит следующие слагаемые. Первое связано с плотностью энергии магнитного поля

.

Здесь было произведено интегрирование по частям. Вариация второго слагаемого в свободной энергии имеет вид

Приравнивая нулю сумму всех слагаемых, получим

.

Это уравнение можно переписать в форме уравнения Максвелла, введя ток

. (4)

Этот ток создается намагниченностью М (магнитный момент единицы объема). Записывая напряженность магнитного поля как получим уравнение

В сверхпроводящей области магнитная индукция В равна нулю. Следовательно, и ток j равен нулю. Однако векторный потенциал A отличен от нуля. Записывая , и приравнивая ток нулю, перепишем (4) в виде

.

Подставляя это соотношение в (2), находим

.

Здесь - изменение фазы амплитуды спаривания при обходе по кольцу вокруг нити. Из требования однозначности амплитуды следует, что это изменение фазы кратно 2. Таким образом, магнитный поток  квантуется:

Здесь мы восстановили обычные единицы, исходя из соображений размерности для магнитного потока. Элементарный квант магнитного потока равен

Термодинамически выгодны нити с наименьшим магнитным потоком, т.е. с n = 1. Именно конечность ставит предел дальнейшему дроблению зародышей нормальной фазы. При увеличении магнитного поля до значения в металле появляется одна нить. Обозначим ее положительную энергию на единицу длины через . Далее эта величина будет вычислена. Так как , то напряженность магнитного поля Н, направленная вдоль нити, постоянна вдоль нити и снаружи ее – она совпадает с напряженностью внешнего магнитного поля, приложенного к металлу. Тогда свободная энергия единицы длины нити, связанная с магнитным полем, может быть записана в виде (см. формулу (3))

Возникновение нити термодинамически выгодно, когда эта величина становится отрицательной. Отсюда для критической напряженности получим

(5)

Обратимся теперь к вычислению величины . Ограничимся случаем больших значений параметра Гинзбурга-Ландау . В задаче 24 (рис. 2) мы видели, что магнитное поле меняется медленно (в данном случае в направлении перпендикулярно оси нити), в то время как амплитуда парных корреляций – значительно быстрее. На оси нити эта амплитуда равна нулю, но она быстро достигает постоянного значения. Магнитное поле затухает лишь на больших расстояниях порядка (см. задачу 24). Согласно (4) имеем

Согласно вышесказанному здесь величину можно считать постоянной. В приближении Гинзбурга-Ландау (см. задачу 24) она равна Тогда приведенное уравнение записывается в виде

Интегрируем это уравнение по замкнутому контуру, охватывающему всю нить, учитывая приведенное выше выражение для минимального квантованного магнитного потока:

. (6)

На малых расстояниях, пренебрегая последним слагаемым в правой части, получим

(7)

Так как

,

то уравнение (7) можно переписать в виде

Его решение имеет вид (при )

. (8)

Последним слагаемым в (6) мы пренебрегли с логарифмической точностью.

Согласно теореме Стокса уравнение (6) можно переписать в виде интегралов по поверхности, охватывающей данный контур

Ввиду произвольности выбора контура подынтегральное выражение здесь должно быть тождественно равно нулю, т.е. мы получаем дифференциальное уравнение для определения магнитного поля

. (9)

Вычисляем свободную энергию нити (отнесенную к единице длины нити). Покажем, что ее можно записать в виде

. (10)

Варьируя ее по магнитному полю, получим уравнение (эта процедура уже делалось несколько раз)

Это - не что иное как уравнение (9) при Если подставить (8) в (10), то видно, что первое (логарифмическое) слагаемое мало по сравнению со вторым (степенным). Подставляя (8) во второе слагаемое, находим

(11)

В качестве нижнего предела интегрирования нужно подставить расстояние до оси нити, при котором исчезает амплитуда парных корреляций .

Подставляя (11) в (5), находим первое критическое поле

Так как , а , то находим и окончательно

(12)