стат / Задача 15_другая

Задача 15. Для одномерной цепочки N спинов, образующих кольцо и взаимодействующих по закону

где принимает значения +1 и -1, вычислить теплоемкость и энтропию (в классическом случае высоких температур - энергия Ферми). Показать, что в такой системе отсутствует фазовый переход к спонтанной намагниченности. Вычислить также магнитную восприимчивость в слабом магнитном поле Н, причем спины взаимодействуют с ним по закону

Решение. Классическая статистическая сумма имеет вид

(1)

Воспользуемся следующим элементарно проверяемым математическим соотношением

Тогда выражение (1) принимает вид

(2)

Если мысленно перемножать члены в этом выражении, то получим сумму членов, каждый из которых представляет собой выражение вида

.

Единственный член, который не обращается в нуль при суммировании по спинам, это первый и последний член в такой сумме, т.е. и . Итак,

.

Так как , то при N >> 1 в этом выражении можно оставить только первое слагаемое, которое гораздо больше второго. Окончательно

. (3)

Отсюда находим свободную энергию

.

Далее определим обычную энергию

Для теплоемкости получаем

(4)

Видно, что в системе нет фазового перехода. Энтропия находится из свободной энергии и обычной энергии как

. (5)

Теперь включим слабое магнитное поле. Число состояний приобретает вид

(6)

Здесь - магнитный момент частицы. Введем обозначения:

.

Перепишем экспоненту в (6) в виде

.

Определим матрицу Р с помощью ее матричных элементов

.

Эта матрица имеет простой вид

.

Ее собственные значения находятся из детерминанта

.

Получаем

С помощью приведенных матричных элементов запишем статистическую сумму (6) в виде

Так как , то в Z оставляем только :

.

Далее вычисляем свободную энергию

.

Зная ее, находим магнитный момент М всей цепочки спинов

.

Получаем окончательно простой результат

(7)

В частности, в отсутствие магнитного поля имеем М = 0, т.е. спонтанная намагниченность в одномерной цепочке спинов отсутствует. При отсюда получим

Как и должно быть, этот результат совпадает с формулой (1) из задачи 14.

Если, напротив, , то из (7) следует, что

т.е. спины выстраиваются почти параллельно друг другу.

В заключение определим парамагнитную восприимчивость

. (8)

Если , то отсюда получим

Напротив, в сверхсильном магнитном поле из (8) следует, что восприимчивость экспоненциально мала

График зависимости безразмерной величины от согласно (8) показан на рис. 1 для типичного случая умеренного взаимодействия между спинами .

Рис. 1