стат / Задача 10

Задача 10. Построить изотермы идеальных ферми- и бозе-газов. Рассмотреть предельный переход к классическому газу при высоких температурах и случай низких температур.

Решение. Начнем с идеального электронного ферми-газа. Его давление дается соотношением

(1)

Здесь - химический потенциал. Концентрация частиц определяется формулой

(2)

Введем параметрическую переменную , а также обезразмеренные давление и концентрацию

(3)

Таким образом, зависимость p от n носит универсальный характер. Решение системы (3), содержащей неявный параметр x, показано на рис. 1.

p

n

Рис. 1

Классический предел соответствует большим отрицательным значениям химического потенциала (на кривой – это область вблизи начала координат). Например, при зависимость представляет собой простую биссектрису (рис. 2).

p

n

Рис. 2.

Это – область высоких температур. Она соответствует согласно (3) уравнению Клапейрона .

Напротив, большие положительные значения параметра соответствуют малым температурам (квантовая область). В этой области подынтегральные функции в обоих выражениях (3) близки к ступенчатым функциям Хевисайда. Поэтому первый интеграл приближенно пропорционален , в то время как второй интеграл пропорционален . С хорошей точностью эта параметрическая переменная устраняется, если первое соотношение поделить на второе, возведенное в степень 5/3. На рис. 3 полученное отношение вычислено как функция x в интервале 20 < x < 40. Видно, что зависимость этого отношения от x практически отсутствует.

Рис. 3

Из рис. 3 следует, что при очень низких температурах . Тогда уравнение состояния сильно вырожденного (при Т = 0) ферми-газа принимает вид

.

Точное значение численного множителя в этом соотношении равно Оно получается, если в (3) заменить подынтегральную функцию на ступенчатую функцию Хевисайда, после чего интегралы вычисляются элементарно.

Теперь обратимся к бозе-газу частиц с нулевыми спинами. Вместо (3) имеем

(4)

В отличие от ферми-газа, химический потенциал в бозе-газе принимает только отрицательные значения: в противном случае система (4) не имеет решения. Зависимость давления от концентрации частиц в соответствии с (4) представлена на рис. 4.

p

n

Рис. 4.

Как и в случае ферми-газа, классический предел соответствует большим отрицательным значениям химического потенциала (на кривой рис. 4 – это область вблизи начала координат). Например, при зависимость представляет собой простую биссектрису (рис. 5).

p

n

Рис. 5.

Это – область высоких температур. Она соответствует согласно (3) уравнению Клапейрона . При этом уравнение состояния бозе- и ферми-газа становятся одинаковыми.

Напротив, в окрестности малых значений химического потенциала уравнение состояния имеет вид, показанный на рис. 6.

p

n

Рис. 6

Температура, при которой химический потенциал обращается в нуль (температура вырождения), определяется из второго из соотношений (4):

(5)

При химический потенциал остается равным нулю. Часть частиц переходит в бозе-конденсат с нулевой энергией. Согласно первому из соотношений (4) давление равно

(6)

Давление не зависит от объема, так как частицы, находящиеся в состоянии с нулевой энергией (в бозе-конденсате), не имеют импульса и не вносят вклад в давление. Число частиц с ненулевой энергией определяется из второго из соотношений (4). С учетом (5) находим

(7)