стат / Семинар 1

Семинар 1.

Рассмотрим сначала систему N >> 1 классических частиц. Элемент фазового объема определим как

. (1)

Здесь - совокупность импульсов и координат частиц. Вероятность найти эту систему в равновесном (не меняющемся со временем) состоянии с координатами и импульсами в интервалах определим как

(2)

Величина называется классической функцией распределения. Условие нормировки вероятности имеет очевидную форму

. (3)

В квантовой статистике дискретное число квантовых состояний (оно называется статистическим весом) вычисляется в квазиклассическом пределе как

. (4)

Логарифм этой величины называют статистической энтропией

. (5)

Эта формула определяет энтропию и когда число состояний невелико. Так как квантовое число состояний больше или равно единице, то энтропия равновесной статистической системы является положительной величиной.

Среднее классическое значение любой физической величины f(p,q) определяется как

. (6)

Будем считать, что система частиц заключена в покоящийся ящик. Тогда согласно закону сохранения полной энергии Е = Е₀ этой системы так называемая микроканоническая функция распределения может быть записана в виде

. (7)

Можно считать, например, что макроскопическая система частиц состоит из двух независимых макроскопических подсистем 1 и 2. Тогда вероятность составной системы разбивается на произведение вероятностей этих подсистем:

, (8)

каждая из которых содержит соответствующие координаты и импульсы. Следовательно,

. (9)

Единственным аддитивным интегралом движения является энергия системы. Таким образом, в классическом случае имеем

(10)

Аналогично в квантовом случае вместо этой формулы запишем логарифм вероятности найти i –тую подсистему в квантовом состоянии n как

. (11)

Здесь - квантовая энергия i –той подсистемы. Отсюда находим так называемое каноническое распределение (или распределение Гиббса) для квантовой подсистемы (индекс i опускаем):

(12)

Величина Т называется статистической температурой. Условие нормировки квантовой вероятности имеет вид

. (13)

В классической статистике аналогично получим для равновесной функции распределения

. (14)

В действительности каноническое распределение (14) очень близко к микроканоническому распределению (7), так как в (14) энергия очень мало отличается от своего среднего значения для большого числа частиц.

В соответствии с микроканоническим распределением (7) вероятность является очень резкой (-функционной) зависимостью от энергии. Поэтому условие нормировки (13) можно переписать в виде

(15)

Из условий нормировки (3), (15) и соотношения (4) ввиду резкости подынтегральных функций получим

. (16)

Средняя квантовая статистическая энтропия в соответствии с ее определением (5), приведенным выше, равна

(17)

Подставляя (12) в (17), найдем где Е – среднее значение энергии. Отсюда получим статистическое определение температуры через энтропию в подсистеме с определенным объемом:

. (18)

Средняя классическая статистическая энтропия на основе (16) и (17) равна

Энергию можно представить в виде суммы кинетической и потенциальной энергий. Соответственно вероятность классического распределения различных импульсов подсистемы ищется в виде .

Кинетическая энергия системы может быть представлена как сумма кинетических энергий отдельных частиц (атомов или молекул). Поэтому эту формулу можно разбить на произведение аналогичных формул, относящихся каждая к одной частице с массой m:

(19)

Константа в этом соотношении находится из условия нормировки вероятности на единицу. При этом интегрирование по каждому импульсу проводится с помощью известного значения интеграла Пуассона

(20)

Окончательно получим так называемое распределение Максвелла (в декартовых координатах)

(21)

Подчеркнем, что это распределение не требует, чтобы газ был идеальным. Если заменить при переходе к сферическим координатам элемент объема

, (22)

то из приведенной формулы можно найти распределение Максвелла в сферических координатах

(23)

Среднее значение кинетической энергии одной частицы вдоль какого-то направления x получится из распределения Максвелла путем интегрирования (интеграл вычисляется путем дифференцирования интеграла Пуассона по параметру)

(24)

Следовательно, кинетическая энергия одной классической частицы равна

(25)

(закон равнораспределения).

Подставляя распределение Гиббса (12) в выражение (17) для энтропии, находим

(26)

Здесь - средняя термодинамическая энергия подсистемы. Величина называется свободной энергией. Следовательно, согласно (26) имеем Тогда распределение Гиббса (12) для квантовой подсистемы запишется в окончательном виде

(27)

Классическое выражение для функции распределения согласно (16) имеет вид

(28)

Условие нормировки вероятности в квантовом случае

(29)

вместе с (27) позволяет получить квантовомеханическое выржение для свободной энергии подсистемы

(30)

Величина Z называется статистической суммой.

В классическом случае выражение для статистической суммы имеет вид, вытекающий из (30):

(31)

Дополнительный фактор в классическом выражении (31) учитывает тождественность частиц подсистемы: их перестановки друг с другом соответствуют одному и тому же физическому состоянию ( - число таких перестановок). В квантовом случае такого фактора не возникает, так как суммирование в (30) проводится по всем различным квантовым состояниям, т.е. каждое квантовое состояние учитывается в сумме (30) только один раз.

3