стат / Задача 15

Задача 15. Для одномерной цепочки N спинов, образующих кольцо и взаимодействующих по закону

где принимает значения +1 и -1, вычислить теплоемкость и энтропию (в классическом случае высоких температур - энергия Ферми). Показать, что в такой системе отсутствует фазовый переход к спонтанной намагниченности. Вычислить также магнитную восприимчивость в слабом магнитном поле Н, причем спины взаимодействуют с ним по закону

Решение. Классическая статистическая сумма имеет вид

(1)

Воспользуемся следующим элементарно проверяемым математическим соотношением

Тогда выражение (1) принимает вид

(2)

Если мысленно перемножать члены в этом выражении, то получим сумму членов, каждый из которых представляет собой выражение вида

.

Единственный член, который не обращается в нуль при суммировании по спинам, это первый и последний член в такой сумме, т.е. и . Итак,

.

Так как , то при N >> 1 в этом выражении можно оставить только первое слагаемое, которое гораздо больше второго. Окончательно

. (3)

Отсюда находим свободную энергию

.

Далее определим обычную энергию

Для теплоемкости получаем

(4)

Видно, что в системе нет фазового перехода. Энтропия находится из свободной энергии и обычной энергии как

. (5)

Теперь включим слабое магнитное поле. Число состояний приобретает вид

Для каждого спина имеем в этой сумме

.

Тогда из (3) следует, что

Для свободной энергии находим

.

Намагниченность определяется как

Здесь n – число спинов на единицу длины цепочки. Наконец, определяем парамагнитную восприимчивость

. (6)

В слабом магнитном поле получим известное из решения предыдущих задач классическое выражение для восприимчивости

.

В сильном магнитном поле восприимчивость экспоненциально мала

.