стат / Задача 24

Задача 24. Используя функционал Гинзбурга-Ландау, вычислить поверхностную энергию на границе сверхпроводника и нормального металла.

Решение. Рассмотрим металлический образец во внешнем магнитном поле, в различных частях которого имеются две фазы – нормальная и сверхпроводящая. Магнитное поле разрушает сверхпроводимость. Значение напряженности поля, при котором происходит разрушение сверхпроводимости, называется критическим полем . Его величину можно определить через параметры функционала Гинзбурга-Ландау. Воспользуемся формулой (16) из задачи 22 для отрицательной добавки к свободной энергии единицы объема Положительная добавка к свободной энергии единицы объема из-за магнитного поля равна . Таким образом, магнитное поле, разрушающее сверхпроводимость, равно (при этом исчезает отрицательная добавка к свободной энергии)

(1)

Границу между фазами выберем как плоскость YZ, так что все величины зависят только от координаты x, нормальной к плоской поверхности раздела этих фаз. Направим векторный потенциал А магнитного поля для определенности вдоль оси Y, так что индукция магнитного поля направлена вдоль оси Z и Удобно также для сокращения выкладок ввести систему единиц, в которой

Функционал Гинзбурга-Ландау уже фигурировал ранее в задаче 16 для свободной энергии неоднородной среды при наличии спонтанной намагниченности М

(2)

(множитель перед обозначен здесь как , так как А далее будет обозначать векторный потенциал магнитного поля). При этом при температуре ниже критической температуры.

В случае перехода из нормального состояния в сверхпроводящее состояние вместо спонтанной намагниченности М в (2) будет фигурировать волновая функция сверхпроводящего конденсата, пропорциональная амплитуде парных корреляций  (мы рассматривали ее в задаче 21). Она равна нулю в нормальной фазе и отлична от нуля в сверхпроводящей фазе. Распределение всех величин в обеих фазах зависит только от координаты x, которая перпендикулярна поверхности раздела. Переход от одной фазы к другой происходит непрерывно.

Учтем наличие магнитного поля. Во втором слагаемом правой части (2) оператор импульса надо заменить на оператор обобщенного импульса, учитывающего магнитное поле, т.е. . Удвоение заряда электрона есть следствие эффекта Купера, при котором пары электронов с противоположными импульсами и спинами образуют связанное состояние. Подынтегральное выражение в (2) в данной геометрии задачи зависит только от координаты x. Поэтому выражение (2) можно далее записать в виде интеграла только по x. С учетом сказанного перепишем (2) в виде (далее свободная энергия отнесена к единице поверхности раздела)

(3)

Здесь штрих означает производную по x. Величина  = (x) в одномерном случае может считаться вещественной, так как все коэффициенты в (3) вещественны. Первое слагаемое под интегралом представляет собой плотность энергии магнитного поля в точке x. Слагаемое в (2), пропорциональное первой степени А, отсутствует, так как мы направили векторный потенциал А вдоль оси Y. Здесь и далее

В равновесном состоянии свободная энергия имеет минимум. Для его нахождения надо варьировать энергию независимо по  и по А. Получаем при вариации по 

Интегрируя второе слагаемое в этом выражении по частям, перепишем вариацию энергии в виде

Минимизация приводит к нелинейному дифференциальному уравнению

. (4)

Теперь варьируем свободную энергию по магнитному потенциалу А:

Снова интегрируя первое слагаемое по частям, получим

Минимизация приводит ко второму нелинейному дифференциальному уравнению

. (5)

Обратимся теперь к решению системы уравнений (4) и (5). Удобно ввести новые безразмерные переменные

Тогда система уравнений (4-5) перепишется в более простом виде

(6)

Здесь введено обозначение для главного безразмерного параметра задачи

. (7)

Он называется параметром Гинзбурга-Ландау. Этот параметр не зависит от температуры вблизи критической точки.

Сформулируем граничные условия для системы (6). При (нормальный металл) имеем

(8)

Второе условие соответствует тому, что для нормального металла согласно (1)

(9)

При (сверхпроводящий металл) имеем

(10)

Первое соотношение в (10) следует из того факта, что в равновесии Последнее условие в (10) удобно выбрать, так как векторный потенциал можно сдвигать на любое постоянное значение.

Вместо первого из уравнений (6) лучше воспользоваться уравнением первого порядка. Умножим его на :

(11)

Здесь добавлено и вычтено одно и то же выражение. Интегрируя это уравнение, получаем

(12)

Действительно, при дифференцировании первого слагаемого в правой части (12) согласно второму из соотношений (6) получится , т.е. последнее из слагаемых в правой части (11). Первое и предпоследнее слагаемые в (11) получаются из дифференцирования третьего слагаемого в правой части (12).

Константа в (12) находится из граничных условий (8) при : . Граничные условия (9) приводят к той же величине. Итак, из (12) имеем

(13)

Теперь обратимся к свободной энергии, связанной с переходом от нормальной фазы к сверхпроводящей. Ее называют поверхностным натяжением на границе фаз. Отличие ее от (3) состоит только в том, чтобы заменить первое слагаемое для плотности энергии магнитного поля

(14)

Тогда подынтегральное выражение в (14) обращается в нуль как в глубине сверхпроводящей фазы (при этом нужно учесть (1) и граничное условие из (10)), так и в глубине нормальной фазы, где Таким образом, весь вклад в поверхностное натяжение вносится только областью поверхности раздела фаз.

Во введенных выше безразмерных переменных выражение (14) перепишем в виде

(15)

Так как согласно (13) комбинация

то, подставляя ее в (15), находим более простое выражение для поверхностного натяжения

(16)

Согласно (1) фактор

Окончательно находим из (16)

(17)

Видно, что она имеет размерность энергии единицы площади поверхности раздела фаз.

Рассмотрим предельный случай, когда параметр Гинзбурга-Ландау мал: Это означает, что под знаком интеграла в (17) второе слагаемое гораздо больше первого. Таким образом, при расчете поверхностного натяжения в этом пределе можно пренебречь магнитным полем. Получаем

(18)

Для расчета входящей в (18) величины воспользуемся уравнением (13), пренебрегая в нем также магнитным полем:

Решение этого уравнения имеет простой вид

.

Оно соответствует очень медленному изменению амплитуды спаривания  вдоль границы раздела фаз. Видно, что граничные условия (10) удовлетворяются. Чтобы удовлетворялось граничное условие (8), нужно выбрать точку x = 0 в области нормальной фазы далеко от границы раздела и далее не интегрировать (18) в области . Подставляя это соотношение в (18), получим

(19)

Вкладом от поля в (17) можно пренебречь, так как оно резко спадает в узкой переходной области от постоянного значения в нормальной фазе до нуля в сверхпроводящей фазе.

Определим теперь поведение магнитного поля в переходной области в пределе Подставим в уравнение (13) найденное выше выражение для Получим уравнение для магнитного поля

Если продифференцировать его по , то, как и должно быть, оно совпадет со вторым уравнением системы (6) (правда, с точностью до малых членов по параметру ). Решение этого уравнения с граничным условием в сверхпроводящей фазе (см. (10)) имеет вид

Отсюда для индукции магнитного поля получим

Как и должно быть, выполняется граничное условие в сверхпроводящей фазе . Так как , то это условие достигается весьма быстро (при ). Граничное условие в нормальной фазе имеет вид . С логарифмической точностью можно пренебречь зависимостью индукции магнитного поля от в числителе, а также произвести упрощение в знаменателе в области существенного изменения переменной :

Окончательно получаем простое правильным образом нормированное решение для индукции магнитного поля в переходной области между сверхпроводящей и нормальной фазой (оно удовлетворяет всем граничным условиям, в том числе, )

.

Его область характерного изменения гораздо уже области характерного изменения для амплитуды , найденной выше.



Рис. 1

На рис. 1 показаны зависимости индукции поля и амплитуды парных корреляций  при малом значении параметра Гинзбурга-Ландау . Видно, что величина  плавно растет, в то время как (безразмерная) индукция поля равна единице в нормальной фазе и круто спадает до нуля при переходе от нормальной фазы к сверхпроводящей.

В противоположном пределе в (17) можно, наоборот, пренебречь вторым слагаемым и

(20)

Уравнение (13) в этом случае упрощается

Кроме того, согласно (6) . Обозначим . Получаем систему двух уравнений

(21)

Дифференцируя первое из этих соотношений и подставляя в результат дифференцирования второе соотношение, получим простую связь переменных

Она удовлетворяет граничным условиям (10) в сверхпроводящей фазе. Подставляя это соотношение в первое из уравнений (21), находим еще одну простую связь

Исключая y из двух последних соотношений, находим простое дифференциальное уравнение первого порядка для векторного потенциала

. (22)

Согласно граничным условиям (8) в нормальной фазе имеем Следовательно, при этом согласно (22) Отметим, что, как и выше, мы выбрали точку в нормальной фазе далеко от границы фаз. Согласно граничным условиям (10) в сверхпроводящей фазе Аналитическое решение уравнения (22), удовлетворяющее указанным условиям, имеет простой вид

Отсюда находим магнитную индукцию

Для амплитуды парных корреляций получим

График обеих функций имеет вид, показанный на рис. 2.

Рис. 2

Подставляя решение для магнитной индукции в (20), находим поверхностное натяжение при больших значениях параметра  >> 1 Гинзбурга-Ландау:

Вычисляя интеграл численно, находим отрицательное поверхностное натяжение

Покажем, что оно проходит через нуль при Согласно (17) в этом случае имеем

(23)

Интегрируя второе слагаемое по частям, получим

(24)

Согласно (12) имеем . Подставляя это соотношение в (24), находим

(25)

С другой стороны, из (13) имеем

(26)

Подставляя это соотношение в (23), находим

(27)

Беря полусумму выражений (25) и (27), упрощаем подынтегральное выражение

(28)

Докажем, что . Тогда из (27) будет автоматически следовать, что поверхностное натяжение равно нулю. Подставим выражение для в (26). Получим, что надо доказать соотношение С другой стороны, дифференцируя соотношение , получим . А это не что иное, как второе из соотношений (6). Это исчерпывает доказательство обращения в нуль поверхностного натяжения при значении параметра Гинзбурга-Ландау При дальнейшем возрастании этого параметра поверхностное натяжение становится отрицательным.