стат / формула Стирлинга

Для вывода формулы Стирлинга исходим из выражения для элементарного интеграла

Запишем этот интеграл в виде

Основной вклад в подынтегральное выражение вносит область, где функция максимальна. Раскладываем эту функцию в ряд Тейлора в окрестности ее максимума

Получаем разложение в виде

.

Обозначая , получим

Так как при N >> 1 подынтегральное выражение резко убывает по обе стороны от максимума, то пределы интегрирования по z можно распространить в обе стороны до бесконечности, т.е.

.

Таким образом, получим формулу Стирлинга при N >> 1