стат / Задача 4

Задача 4. Идеальный газ атомов с полным моментом J, спином S и орбитальным моментом L помещен в слабое магнитное поле с напряженностью Н, так что температура и расщепление уровней в магнитном поле малы по сравнению с энергетическим расстоянием от основного состояния до ближайшего возбужденного состояния. Найти магнитную восприимчивость и исследовать случаи и Найти также изменение температуры при адиабатическом выключении магнитного поля от Н до нуля.

Решение. Энергия атома в слабом магнитном поле равна

. (1)

Здесь - магнетон Бора, фактор Ланде

,

m – проекция полного момента J на направление магнитного поля, Статистическая сумма для одного атома имеет вид

(2)

Вычисляем эту сумму (геометрическая прогрессия)

. (3)

Статистическая сумма для N атомов равна Подставляя (3), находим свободную энергию Получим

. (4)

Намагниченность (магнитный момент единицы объема) равна (N – тогда число атомов в единице объема). Подставляя (4), находим

. (5)

При (сильное магнитное поле) отсюда получим (все атомы выстроены вдоль магнитного поля). Если, напротив, (слабое магнитное поле), то из (5) следует, что

. (6)

Таким образом, газ парамагнитен, а восприимчивость обратно пропорциональна температуре (закон Кюри).

В общем случае восприимчивость согласно (5) равна

. (7)

В сильном магнитном поле отсюда получим экспоненциально малую восприимчивость

(8)

На рис. 1 показан график восприимчивости в зависимости от согласно выражению (7) при J = 2. Значение при Н = 0 соответствует выражению (6).

>

Рис. 1.

Теперь обратимся ко второй части задачи. При адиабатическом процессе сохраняется энтропия, т.е. Вычислим энтропию, используя выражение (4) для свободной энергии:

(9)

Здесь был добавлен еще вклад энтропии кинематического движения свободного атома в отсутствие магнитного поля. Соответствующий вклад в статистическую сумму равен , а в свободную энергию: Величина .

При Н = 0 энтропия принимает вид

(10)

Приравнивая величины (9) и (10) друг другу, находим

(11)

Отсюда находим окончательно связь между температурами

(12)

Как должно быть, при Н = 0 отсюда получим, что Температура не меняется и в присутствии магнитного поля, но при J = 0. Это также очевидно. Если , то из (12) следует простое соотношение

(13)

На рис. 2 представлена зависимость (12) как функция снова для случая J = 2.

>

Рис. 2

Видно, что имеет место охлаждение газа, причем в случае сильного магнитного поля () выполняется простое соотношение (13).