3. Гетерогенные среды

Определение гетерогенных сред. Пористые насыщенные среды, пороупругие и поровязкие среды. Экстенсивные и интенсивные величины. Принципы осреднения

Гетерогенные и гомогенные смеси.Мы различаем гомогенные и гетерогенные смеси. В гомогенных смесях микронеоднородности имеют атомно-молекулярные размеры. В гетерогенных смесях указанные неоднородности намного превышают атомно-молекулярные размеры и могут быть описаны механикой гомогенной сплошной среды. Микронеоднородности смесей разной природы называются составляющими смесей. Составляющие гомогенных смесей называются компонентами. Составляющие гетерогенных смесей называются фазами. Пористые среды относятся к гетерогенным средам, хотя отдельные фазы могут быть многокомпонентными.

Фазы гетерогенных сред могут быть представлены различными гомогенными средами. В простейшем случае это могут быть классические модели механики сплошной среды:

1) упругие среды при малых деформациях

,,;

2) жидкие среды, описываемые законом Ньютона,

,,,

,;

3) жидкие неньютоновские среды со степенным реологическим законом

,,,,.

Однако могут встречаться и среды с более сложной реологией, в частности, с нелокальными определяющими уравнениями. Примером могут служить вязкоупругие среды или концентрированные суспензии, которые могут играть роль флюида в пористых средах.

Как в гомогенных средах, так и в гетерогенных средах фундаментальным понятием является элементарный объем , с которым связаны представления о микрообъектах и макрообъектах. Макрообъекты возникают в результате осреднения по элементарному объему, который становится материальной точкой этой среды. Именно для него определяются кинематические и динамические величины. Синонимом материальной точки является понятие физической точки. Это понятие подразумевает, что в действительности физическая точка имеет собственную внутреннюю микроструктуру и может быть исследована на микроуровне. На физическом уровне рассуждений этот процесс можно представить себе в виде некоторого мысленного эксперимента с воображаемым микроскопом. Если мы наблюдаем некоторое гетерогенное тело на макроуровне, то наш глаз не в состоянии различать микронеоднородности. Поэтому при визуальном наблюдении и в мысленных макро экспериментах мы видим сплошную эффективно гомогенную среду. Однако, если с помощью нашего микроскопа будем увеличивать разрешение, то мы увидим мелкие детали и те микронеоднородности, которыми обусловлены свойства гетерогенной среды. Для микрообъектов элементарный объем является областью исследования. Другими словами, он является телом, состоящим из множества материальных точек.

В результате процедуры осреднения возникает система взаимопроникающих многоскоростных континуумов, которая составляет основу механики гетерогенных смесей. Каждый из них отождествляется с составляющими смеси (компонентами или фазами). Все эти континуумы заполняют один и тот же объем. Этот факт позволяет для гетерогенных сред использовать основные понятия механики гомогенных сред. Взаимодействия между средами осуществляется с помощью функций источников, которые входят в правые части уравнений сохранения.

Демонстрировать результаты осреднения величин по фазам, а также проводить различные мысленные эксперименты удобно в кубическом элементарном объеме , ребра которого совмещаются с декартовой системой координат. Вводятся также векторные элементарные поверхности,,. Направления этих векторов совпадает с направлением нормали к соответствующей площадке, а модуль совпадает с площадью грани куба. Простейшая форма осреднения предполагает осреднение по массе фаз элементарного объема. В этом случае есть два масштаба микрообъектов – масштаб микронеоднородностейи масштаб элементарного объема. Масштаб элементарного объема подбирается таким образом, чтобы с одной стороны в нем умещалось достаточно много микронеоднородностей (в нашем случае пор, трещин или зерен), а с другой стороны – он должен быть меньше макромасштаба.

Сформулируем принципы, лежащие в основе механики пористых насыщенных сред, в виде некоторой системы допущений. Прежде всего, из них выделим группу положений, общих для всех сплошных сред, в том числе и гомогенных.

Допущения механики сплошных сред:

1. Линейный размер микрообъекта много больше атомно-молекулярных размеров(размеров атомов или молекул, постоянной кристаллической решетки, длины свободного пробега молекул и т.п.). В то же самое время он много меньше размеров макроскопического объекта

.

В пределах элементарного объема выполняются принципы:

2. Локального термодинамического равновесия (в том смысле, что отклонения от него малы).

3. Локальной однородности процессов.

Допущения механики гетерогенных сред:

4. Утверждения 1 – 3 применимы к каждой фазе в отдельности, составляющей элементарный объем.

5. Размер элементарного объема, по которому производится осреднение, много больше размеров микронеоднородностей (микроразмеров) и радиуса корреляции для случайных неоднородных величин. В то же самое время он достаточно мал для того, чтобы случайные поля были статистически однородными. Другими словами, как и в п. 1 он много меньше макроразмера. Таким образом, мы имеем систему вложенных другу в друга масштабов

.

6. В каждой фазе следует различать не только основной объем, но и пограничный слой на межфазной границе, который также следует рассматривать как самостоятельный микрообъект.

Пункты 2 и 3 означают, что диссипативные процессы находятся в стационарном режиме и создают малое отклонение от состояния термодинамического равновесия. Это позволяет на микроуровне вводить температуры и различные термодинамические функции фаз. Стационарный, однородный и равновесный режим позволяет не только ввести в рассмотрение термодинамические потенциалы, но и одновременно дает возможность описывать неравновесные процессы в виде скорости производства энтропии. Допущения 4-5 позволяют при осреднении воспользоваться эргодической теоремой и заменить осреднение по элементарному объему более удобным осреднением по ансамблю реализаций. Пункт 6 позволяет рассматривать различные межфазные процессы также методами механики сплошной среды.

Для конкретных пористых сред приведенная система допущений дополняется пунктами, отражающими специфику этих сред.

Пороупругие среды:

7. Одна из фаз должна составлять упругий скелет (или матрицу). Она образует связное пространство, сквозь которое фильтруются маловязкие флюиды (жидкость или газ). Флюидных фаз может быть несколько.

8. Скелет также может быть многофазным и многокомпонентным.

9. Допускаются фазовые переходы между фазами флюида и между флюидом и скелетом.

Поровязкие среды:

7. Одна из фаз является сильновязкой жидкостью, а другая – маловязким флюидом – газом, жидкостью или их смесью (гомогенной или гетерогенной). Флюидных фаз также может быть несколько.

8. Скелет также может быть многофазным и многокомпонентным.

9. Допускаются фазовые переходы между фазами флюида и между флюидом и скелетом.

В самом общем случае скелет может быть мало податливым твердым или жидким телом, либо средой с более сложной реологией. В этом случае мы говорим уже не о пороупругих средах, а о пористых насыщенных деформируемых средах.

Случайные многомасштабные среды. Породы верхней части земной коры в своей основной массе разбиты трещинами и разломами. В нефтяных коллекторах и окружающих их блоках земной коры фильтрация флюидов происходит, главным образом, по этим нарушениям. Параметры трещин и разломов распределены случайным образом, а их размеры меняются от микрон до тысяч километров. Мономасштабным (или близким к нему) обычно бывает распределение изометричных пор. Трещины, как правило, имеют многомасштабное распределение. Для любого объекта, который мы хотим исследовать, найдутся находящиеся вблизи него трещины с размерами близкими или большими, чем размеры этого объекта. Это создает проблемы для математического моделирования естественных и технологических процессов в этих средах. Среди специалистов распространено мнение, что моделирование напряженно-деформированного состояния, фильтрации и пороупругих процессов в массивах земной коры при наличии трещин порядка или превышающих размеры скважин (горизонтальные и вертикальные) на расстояниях порядка размеров скважин может давать только качественные результаты.

Между тем существует возможность математического моделирования фильтрационных и геомеханических процессов даже в таких ситуациях. В этом случае при осреднении используется процедура осреднения по ансамблю состояний. Только результаты этого моделирования имеют уже вероятностный характер. Более того, сами модели и их параметры также имеют вполне определенный статистический смысл, хотя математический аппарат геомеханических моделей мало чем отличается от обычных детерминированных моделей фильтрации в упругих или жестких недеформируемых средах.

Для многомасштабных сред понятие элементарного объема и соответственно осреднение по нему теряют смысл. Теряет смысл также понятия микро- и макрообъектов. Однако осреднение по ансамблю состояний сохраняет свой смысл, и результаты осреднения по ансамблю состояний оказываются весьма полезными и актуальными. Более того, и в реальных геологических средах (которые удовлетворяют постулатам гетерогенных сред) осреднение по ансамблю состояний может оказаться предпочтительней осреднения по элементарному объему. Дело в том, что мы не обладаем достаточной фактической информацией для построения детерминированных моделей. В этих условиях аппарат статистической механики и соответствующие методы осреднения оказываются более восприимчивыми к неформальной и нечеткой логике рассуждений, проводимых при интерпретации фактических данных. По этой причине использование вероятностных принципов в механике многомасштабных сред является вполне естественным и не вносит каких-либо дополнительных неудобств.