Избранные вопросы флюидодинамики нефтегазовых пластов Курс I. Физические основы механики пористых деформируемых сред Лекция № 1. Основные понятия и определения
Понятия и определения гетерогенной среды, пороупругой и поровязкой сред. Математический аппарат механики сплошной среды. Конечные деформации. Методы осреднения гетерогенных сред. Гомогенные среды, представляющие фазы пороупругих и поровязких сред. Многомасштабные среды.
1. Введение
Во введении излагаются основные принципы математического моделирования, даются основные понятия и определения. Теории пороупругости и поровязкости являются частными разделами поромеханики, которая изучает пористые насыщенные среды. Пористые среды относятся к классу гетерогенных сред, которые описываются механикой сплошной среды. Определяющие уравнения этих сред возникают в результате осреднения микронеоднородностей. В механике гетерогенных сред разные фазы и компоненты смеси описываются вложенными друг в друга связанными континуумами. Связь между континуумами осуществляется с помощью соответствующих членов взаимодействия. Пороупругие среды состоят из упругого скелета и связного порового пространства, заполненного флюидами. В процессе движения этих сред имеют место объемные деформации скелета, которые включают в себя не только сжатие вещества скелета, но и изменение объема порового пространства. Поровязкие среды включают в себя сильновязкий скелет и маловязкие флюиды. Суть явлений в обоих случаях заключается в том, что происходят деформации скелета, совместные с одновременной фильтрацией маловязких флюидов сквозь этот скелет. В более широком смысле можно говорить о связанных явлениях, которые переплетаются между собой на уровне элементарного объема. Они включают в себя не только чисто механические деформации, но и процессы разрушения, а также химические и физико-химические процессы.
Главной целью наших лекций являются приложения в области нефтяной и газовой геофизики, а также в других областях недропользования. Нефтяные и газовые месторождения сосредоточены в верхней части коры, которая особенно сильно подвержена разрушению в форме разломов и рассеянной трещиноватости. В ней возникает трещиновато-пористая структура, насыщенными флюидами. Флюидами могут быть вода и водные растворы, нефть и расплавы.
Курс начинается с изложения основных принципов механики гомогенной среды или собственно механики сплошной среды, в которой отсутствуют разрывы и микронеоднородности. Даются основные понятия и определения, которые затем обобщаются на случай гетерогенных сред и пористых сред, в частности. Существуют первичные понятия, которые не определяются через другие понятия, а даются аксиоматически или обозначаются с помощью косвенного описания. Кроме того, есть понятия, которые не являются первичными, но, тем не менее, составляют основу для дальнейших рассуждений. И те, и другие мы будем выделять курсивом. В этой связи мы приводим некоторый набор сведений из области математики, не вдаваясь в тонкости математических определений и считая, что читатель уже достаточно подготовлен.
К таким основным понятиям, которыми оперирует механика сплошной среды, относятся, например, понятия материальных точек, линий и поверхностей, а также тела как основного объекта исследования. Состояние тела и процесса в нем задается определяющими параметрами, которыми можно описать данную задачу. Они могут быть переменными величинами и константами и могут быть представлены различными способами. Некоторые из них могут быть выражены через другие определяющие параметры. В этой связи представляет интерес набор независимых определяющих параметров. Часто, говоря об определяющих параметрах, имеют в виду именно независимые определяющие параметры.
Мы несколько сузим это понятие и наложим на него дополнительное ограничение. Будем считать, что определяющими параметрами могут быть только наблюдаемые величины. Важным для механики сплошной среды частным случаем определяющих параметров являются динамические и кинематические величины. Свойства тела описываются определяющими соотношениями. Определяющие соотношения связывают между собой кинематические и динамические и величины. Вместе с остальными уравнениями (балансовыми соотношениями и законами Ньютона) они образуют систему уравнений механики пористых сред. Если динамическая или кинематическая величины не являются наблюдаемыми, то связывающее их соотношение называется уравнением связи (а не определяющим уравнением). Ненаблюдаемые величины с помощью уравнений связи целесообразно исключать из стандартной формы определяющих уравнений. Этим и объясняется указанное ограничение на определяющие параметры. Стандартной называется такая форму уравнений механики, которая удобна для аналитических и численных исследований моделей пороупругих сред. Обычно стандартная форма уравнений пороупругости включает в себя эволюционное уравнение пьезопроводности в разных формах.
Механика пористых насыщенных сред представляет собой достаточно развитую научную область, хорошо обоснованную как теоретически, так и экспериментально. Более того, фильтрация в среде с жестким недеформируемым скелетом составляет предмет инженерных дисциплин – инженерной геологии и гидрогеологии. Достигла уровня инженерных приложений и модель фильтрации многофазных флюидов в пористой недеформируемой среде, а в некоторых случаях – и в упруго деформируемой среде. Тем не менее, эта наука окончательно еще не сформировалась, и в ней есть определенные трудности. Они связаны, прежде всего, с постановкой задачи, которая предполагает вывод уравнений и граничных условий. Уравнения механики включают в себя балансовые соотношения (законы сохранения) и определяющие уравнения. Балансовые соотношения оперируют с аддитивными величинами, которые допускают сравнительно простую процедуру осреднения. Трудности возникают при выводе определяющих соотношений, особенно в сложно устроенных средах с сопутствующими явлениями.
Определяющие уравнения гетерогенных сред можно вывести различными способами. Самым строгим методом является вывод определяющих уравнений с помощью осреднения, исходя из знания микроструктуры гетерогенной среды и уравнений, описывающих эту микроструктуру. Существует много подходов в теории осреднения с различной степенью строгости. Эти методы требуют глубоких математических знаний, обычно недоступных для инженеров и специалистов, преследующих практические цели.
Далеко не все соотношения в механике гетерогенных сред могут быть получены строгими методами осреднения, поскольку существуют определенные математические трудности. Они возникают в некоторых особых случаях, например, при наличии конечных деформаций скелета, в теории многомасштабных сред, в теории пористых сред с вязкоупругим или пластичным скелетом и т.д. Кроме того, осредненные уравнения могут существенно отличаться от исходных уравнений на микроуровне. При использовании современных методов осреднения желательно заранее знать результат, исходя из каких-то физических соображений. Это позволяет избежать ошибок в постановке задачи осреднения и проконтролировать результаты. Кроме чисто формальных математических трудностей есть и физические трудности, связанные с неустойчивым динамическим режимом или неоднозначностью состояния. Трудно говорить о строгих методах, когда неизвестна сама суть физических процессов.
По этой причине необходимо использовать различные подходы. Достаточно прозрачным и последовательным с физической точки зрения является термодинамический метод, основанный на двух началах термодинамики. Основными инструментами в термодинамике являются термодинамические функции (которые характеризуют состояние), а в термодинамике необратимых процессов – диссипативные функции, описывающие процессы. К инструментарию и способам его использования относятся также методы термодинамики необратимых процессов. Этот подход является приемлемым тогда, когда удается подобрать (исходя из каких-то физических соображений) вид указанных термодинамических функций. Он гарантирует нам, что наши модели не противоречат физическим законам, но не дает исчерпывающего ответа на вопрос о том, как строить эти модели. В этом смысле термодинамические методы напоминает регулировщика уличного движения, который может запретить проезд на красный свет, но не может указать шоферу, куда ему ехать и какой груз надо везти.
По указанной причине термодинамический подход не всегда является достаточно эффективным в поиске моделей сред особенно тогда, когда у нас есть возможность выбора между альтернативными равноценными моделями. Такая ситуация возникает, в частности, в многофазных многокомпонентных пористых деформируемых средах. Они характеризуются, как правило, набором множества параметров и системой малых параметров. Между ними существуют внутренние связи, которые трудно сформулировать, исходя лишь из общих термодинамических и физических принципов.
На практике при исследовании сложных сред и многофакторных явлений чаще всего используется эвристический путь, основанный на реальных или мысленных экспериментах. Именно опытным путем были открыты закон Дарси и соотношение Терцаги для пластического разрушения тела, состоящего из водонасыщенного песка. Мысленный эксперимент в действительности является методом логических рассуждений (хотя он и имеет некоторые признаки реального эксперимента), обобщающих имеющийся опыт. Необходимо сначала проиграть суть явления в уме, а затем подвергнуть его более глубокому исследованию. Обычно мысленный эксперимент трудно реализуем или вообще не реализуем на практике. Дело в том, что в современных реальных экспериментах основной проблемой является чистота эксперимента и выделение исследуемого фактора среди множества других факторов. Они являются слишком сложными для физической интерпретации сути явления. Среди других эвристических методов определенную позитивную роль в понимании сложных понятий играет метод аналогий. Примером может служить вязкоупругая аналогия (в линейных безынерционных процессах) или аналогия между термоупругостью и пороупругостью.
Часто возникает вопрос, а зачем вообще нужны какие-то сложности, когда и так "все ясно" (например, в рассуждениях с помощью аналогий). Нельзя ли при анализе сложных явлений вообще обойтись лишь одними лишь упрощенными подходами? Однако здесь следует соблюдать известную осторожность и не увлекаться чрезмерным упрощением и повальным обращениям к "здравому смыслу". Есть крылатое выражение, которое гласит, что любая аналогия хромает. Все аналогично всему, в том числе, и заведомо ложным научным теориям. Необходимо отметить, что простота и наглядность эвристических и полуинтуитивных рассуждений имеет обратную сторону. Следуя им, можно очень легко соскользнуть на зыбкую почву произвольных утверждений и заблудиться в болоте ошибочных выводов. Если можно проигнорировать противоречия в самом начале курса механики сплошной среды, то кто мешает нам это делать всегда, когда это удобно. И вообще, кто может сказать, где проходит эта граница между "очевидно" и "доказано". По этой причине все эмпирические, полуинтуитивные и общие выводы (в том числе и термодинамические) должны быть подтверждены более надежными математическими средствами.
Весьма поучительным примером обманчивой простоты некоторых понятий является определение векторов и тензоров в эвклидовом пространстве. Если следовать известному общепринятому (в некоторых учебных пособиях) определению этих математических объектов, то мы впадаем в логическое противоречие. Для их определения необходимо уже иметь сделанное заранее определение системы координат, построенной на базисных векторах. Ситуация напоминает известный подвиг барона Мюнхаузена, который сам себя вытащил за ворот из болота. Поэтому в начале нашего курса мы даем элементы линейной алгебры, в которой дается абстрактное определение этих объектов, не зависящее от системы координат.
Основным инструментом глубокого исследования любых геологических объектов (в том числе и нефтегазовые залежей) является математическое моделирование. Современное математическое моделирование представляет собой сложный технологический процесс, состоящий из целого ряда последовательных действий. Они начинаются с физической и математической постановки задачи. Физическая постановка предполагает выяснение сути физических процессов и выделение системы определяющих параметров, малых параметров и физических ограничений. Математическая постановка означает вывод основных уравнений и краевых условий – начальных и граничных и преобразование задачи к форме, удобной для численных расчетов. Далее начинается этап численных экспериментов.
Любые исследования в области нефтяной и газовой геофизики в конечном счете сводятся к численным расчетам. В развитии вычислительных средств в настоящее время произошли революционные изменения. Они породили иллюзию (особенно в среде управленцев, не являющихся специалистами-разработчиками), что с помощью компьютеров можно решать любые задачи без серьезной проработки их физических основ. Между тем, это глубокое заблуждение. Даже простой лобовой численный расчет многих геофизических моделей часто наталкивается на существенные или вообще непреодолимые трудности. Примером может служить расчет волновых процессов в трещиноватой или пороупругой среде с учетом тонкой структуры трещин. В такой сложно устроенной системе расчет волновых полей требует вычислительных ресурсов, далеко выходящих за рамки разумного требования.
Однако проблема численных моделей не ограничивается запросами к повышению мощности компьютеров и к улучшению их периферии и сопровождения (графических средств, интерфейса и алгоритмического и системного обеспечения). В этой связи следует отметить, что сама постановка задачи отнюдь не сводится к выводу уравнений и граничных условий. Она подразумевает адаптацию модели к численным расчетам с учетом специфики среды и самой задачи и реальным возможностям компьютерной техники. При этом в максимальной степени следует использовать особенности среды и физических явлений в геологических средах, а также наличие малых параметров и различных приближений. Целесообразно предварительное использование грубых простых моделей, которые в общих чертах передают качественные особенности рассматриваемых явлений. Трудности представляют иногда сложная геометрия, форма и топология объекта, отсутствие достаточного количества входных данных. Желательно также преобразовать уравнения модели к такой форме, которая позволяет в максимальной степени использовать компьютерные ресурсы, например, технику распараллеливания процедуры решения.
Обычно наибольший практический интерес представляют обратные задачи, которые значительно труднее поддаются исследованиям, чем прямые задачи. Они, как правило, носят строго индивидуальный характер и не имеют стандартных методов решения. Определенные трудности возникают, например, при численной реализации пороупругих моделей, в том числе и акустических. В этой связи большое значение приобретают качественные аналитические методы, в частности, аналитические преобразования краевых задач пороупругости.
Обычно считается, что аналитические модели годятся лишь для тестов и иллюстративных целей. Это не совсем так. Численные расчеты требуют проведения предварительных качественных исследований для того, чтобы понять суть явлений и выделить его главные особенности. К счастью, некоторые модели пористых деформируемых сред с помощью преобразований могут быть сведены к комбинации более простых сред с известными свойствами, которые взаимодействуют друг с другом. Задача состоит в том, чтобы довести указанные упрощения до уровня численных моделей, не теряя общности и качества сложных сред. В процессе этих преобразований часто используется специфика пористых насыщенных горных пород в области нефтегазовых месторождений. Алгоритмы, построенные на таких принципах, называются проблемно-ориентированными.
Проблемно-ориентированные системы создавались в первую очередь в тех областях физики и техники, которые имеют особую важность или где без них вообще невозможно какое-либо заметное продвижение (например, в атомной физике, кинетике, физике плазмы). В остальных областях произошло значительное отставание качественных и аналитических методов от возможностей современной вычислительной математики. Примером служит механика пористых деформируемых сред и механика гидроразрыва. В этой области сложилась ситуация, близкая к кризисной.
Существуют лицензионные пакеты, которые являются вычислительной основой математического моделирования геологических процессов в геофизических компаниях. Это CMG, Athos,Eclipsи т.п. Эти пакеты базируются на устаревших моделях пористой среды или на ограниченном круге моделей этих сред. Модель гидроразрыва базируется на модели Христиановича или на других аналогичных моделях, созданных примерно 60 лет назад. Модели фильтрации, как правило, ограничены многофазной фильтрацией в среде с жестким скелетом. Эти пакеты пригодны лишь для описания достаточно простых и типичных явлений в пористой среде нефтегазовых месторождений. Описание более сложных процессов с помощью этих пакетов вызывает некоторое затруднение.
Причина состоит в том, что сложные реальные процессы в месторождениях с трудом поддаются стандартизации и формализации в рамках достаточно простых моделей. А для не очень простых моделей трудно создать пакеты, удобные для массового пользователя. Особенность этих пакетов как раз и состоит в том, чтобы пользователь мог выполнять численное моделирование, не вникая в физическую суть процессов, происходящих в пласте. При этом пользователь опирается на внешние признаки явлений в пласте и набор параметров, которыми он располагает.
Между тем, реальные процессы в нефтяных пластах значительно сложнее. Пласты деформируются и разрушаются. Без учета этих процессов невозможно описывать фильтрацию, которая качественно меняет свой характер в деформируемых средах. Соответствующим образом усложняются и математические модели. Процесс усложнения математических моделей происходит непрерывно и постепенно. Модернизация программного продукта не успевает за ним и всегда существенно отстает. Возникает противоречие, которое имеет системный характер. Это противоречие можно разрешить, если геофизические компании будут параллельно вести два направления математического моделирования. Одно из них условно можно назвать как «кнопочное». Это традиционное использование лицензионных пакетов так, как это и делается сейчас. Эти паке ты позволяют быстро и легко моделировать сравнительно простые и стандартные ситуации. Кроме того, эти пакеты используют узаконенные стандарты и форматы, без которых современное производство (в том числе и геофизическое) просто невозможно.
Однако помимо кнопочного моделирования можно проводить достаточно продвинутые исследования с помощью самых современных и совершенных методов математического моделирования, которые не поддаются стандартизации и бюрократической формализации. Эти методы всегда будут опережать те физические идеи, которые заложены в лицензионных пакетах. Противоречие разрешается, если эти два направления будут гармонично сочетаться друг с другом, а не конфликтовать. Именно второе направление математического моделирования и составляет предмет наших лекций.
Механика – наука точная, и в то же самое время – прикладная. Она базируется на математике, но ориентирована не столько на научных работников, сколько на инженеров. При изложении основ этой науки лектор стоит перед серьезной дилеммой. Строгое изложение, построенное на последовательном использовании математики и механики, создает трудности для инженеров, которые за деревьями могут не увидеть леса. Вершиной такого подхода можно считать классические работы Трусделла. Однако и чрезмерное упрощение может создать иллюзию понимания предмета вместо, собственно, самого понимания. Необходимо найти тонкую грань между этими двумя крайностями. Очевидно, что целесообразно использовать весь спектр различных методов – от интуитивных и эвристических подходов до строгих математических методов. Необходимо найти оптимальный баланс между ними, используя их выигрышные стороны.
Современная наука усложнилась до такой степени, что для обозначения тех или иных понятий не хватает терминов и символов. В результате в разных разделах науки возникают термины, которые обозначают разные понятия (т.н. омонимы), что приводит к трудностям логического характера и, как следствие, к возможным недоразумениям. Полностью избежать омонимов на стыке разных наук, к сожалению, невозможно, поскольку трудно менять уже сложившиеся традиции. Приведем несколько примеров.
В физике фазами называются такие гомогенные части сплошной среды, которые при контакте могут превращаться друг в друга. При этом каждая из гомогенных частей и составная среда характеризуются своим набором термодинамических параметров. При этом обе части и сама среда в целом находятся в состоянии термодинамического равновесия. Превращение одной части этой системы в другую называется фазовым превращением. В гетерогенной среде фазами называются гомогенные элементы микроструктуры, которые описываются механикой сплошной среды. Между фазами гетерогенной среды могут происходить фазовые переходы, а могут и не происходить. В тех случаях, когда одновременно используются оба понятия с одним и тем же термином, мы будем давать соответствующие пояснения, например, фаза гетерогенной среды или фаза как состояние среды. Другой пример представляют гетерогенная среда и гетерогенная реакция. Это совершенно разные, хотя и близкие по своему смыслу понятия. Здесь избежать недоразумения позволяет структура терминов, состоящих из двух слов.
Лекции построены таким образом, что каждая из них представляет самостоятельную тему или логически завершенную часть ее. Это позволяет легко ориентироваться в них. При ссылках на формулы из предыдущих лекций перед номером соответствующей формулы будет стоять цифра, обозначающая номер лекции.