Заключение.

Итак рассмотрена случайная двухмасштабная среда, в которой роль малых масштабов играют гетерогены, размеры которых много меньше актуального размера, а роль больших масштабов играют гетероны, размеры которых сравнимы с актуальными размерами. При этом вклад гетеронов определяется нулями массового оператора – ядра нелокального уравнения фильтрации и уравнением (2.22), содержащим квадрат оператора Лапласа. В случае многомасштабной среды массовый оператор представляет собой аналитическую функцию, имеющую разрезы и точки ветвления в комплексной плоскости волнового числа. Для анализа такой ситуации учет нулей массового оператора не достаточен, и необходимо полное рассмотрение задачи с помощью ренормгруппы [8].

В данном случае рассматривалась бесконечная среда, и нас интересовал общий вид уравнения. Поскольку уравнение (2.22) имеет более высокий порядок, чем обычное уравнение фильтрации, в среде с границами необходима постановка новых соответствующих краевых задач.

Литература

1. Schweber S.S. An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory. Evanston,Ill.:Row. 1961. 905p.

2. Швидлер М. И. Статистическая гидромеханика пористых сред. М.: Недра, 1985, 288 С.

2. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра 1984, 208 с.

3. Садовский М.А., Болховитинов Л.Г., Писаренко В.Ф. О свойствах дискретности горных пород // Физика Земли. 1982. № 12. С. 3-18.

4. Дискретные свойства геофизической среды. М.:1989. 173 с.

5. Садовский М.А., Голубева Т.В., Писаренко В.Ф., Шнирман М.Г. Характерные размеры горной породы и иерархические свойства сейсмичности. Физика Земли. 1984. № 2. С. 3-15.

6. Panin V.E. Physical mesomechanics of materials // Intern. Conf. "Mesomechanics'98", Abstracts. Tel-Aviv, 1998. P. 18-19.

8. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах.. М.: Наука1984. 352 с.

11. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука. 1976. 480 с.

12. Кузнецов О.Л., Каракин А. В., Кузнецов Ю.И., Кухаренко Ю.А., Кухаренко П.Ю. Эффективная сжимаемость пороупругих многомасштабных сред при высоких давлениях // Физика Земли. 2001. № 7. С. 26-31.

6. Осреднение в случайной среде.

Общие сведения. Приведенные выше результаты осреднения в регулярной среде допускают обобщение на среды со случайной структурой. Ход рассуждений во многом аналогичен и учитывает лишь специфику случайного распределения зерен. В регулярной среде периодическая структура, состоящая из твердых шаров и тонкого смазочного слоя, сводится к эффективной анизотропной гомогенной сильновязкой жидкости. В случайной среде пара твердых шаров с прослойкой между ними также образует элемент анизотропной гомогенной сильновязкой жидкости. Отличие лишь в том, что этот он мал и образует элемент микроструктуры гетерогенной среды. Во всем остальном суть рассуждений полностью сохраняет свой смысл.

Пары соседних зерен вместе с вязкой прослойкой, соединяющей их, заменяются элементами анизотропной вязкой среды с большой вязкостью. Алгоритм замены заимствуется из работы [Каракин, Шкловер, 1990]. Пусть ,– соответственно макрообъем, и элементарный объем, который достаточно большой, чтобы по нему можно было бы произвести осреднение микроструктуры поровязкой гетерогенной среды. Он состоит из трех зон, где– зона твердых шаров,– зона прослоек между шарами,– поровое пространство. Определяющее уравнение гидродинамики Стокса (5.1) для анизотропной среды в общем случае содержат тензор вязкости

Для порового пространства тензор вязкости сводится к скалярному коэффициенту вязкости. В объемезадаются однородные напряжения – всестороннее сжатие (растяжение) и сдвиг. Эти напряжения задают выделенные направления и режим деформаций, которые учитываются при осреднении. В силу эргодической гипотезы осреднение по элементарному объему можно заменить осреднением по ансамблю состояний.

Пусть радиус-векторы идают положение шаров, а их относительное расположение задается разностью. Поперечный размер зоны вязкого контакта определяется вектором. Здесь– малый параметр, задающий приближение "смазки". В случае всестороннего сжатия задается давление, выделенного направления нет, и функция распределения зависит только от скалярных параметрови:. В случайной среде оба эти параметра учитывают различия в радиусах шаров и в их относительном расположении.

Осреднение такой дисперсной смеси производится в два этапа. Сначала мы, следуя работам [Каракин, Шкловер, 1990], усредняем движение шаров вместе с прослойками между ними. При этом мы получаем эффективную гомогенную сильновязкую анизотропную жидкость, заполняющую пространство шаров и прослоек между ними. В итоге двухфазная смесь твердых шаров и жидкости сводится к двухфазной же смеси двух жидкостей, заполняющих объемыи

,. Одна из этих жидкостей является сильновязкой и анизотропной, а другая – маловязкой изотропной жидкостью. Обе эти жидкости описываются уравнениями (5.1).

В результате второго этапа усреднения возникают два взаимопроникающих континуума. Один из них представляет собой вязкодеформируемый скелет. Второй континуум связан с фильтрацией маловязкой жидкости сквозь скелет. Схема вывода закона Дарси является стандартной и здесь не рассматривается. Скелетная фаза описывается анизотропной сжимаемой гомогенной жидкостью с большой вязкостью. При всестороннем сжатии эта фаза допускает объемные деформации. Объемные деформации и большая вязкость скелетной фазы обусловлены эффектом смазочного слоя в зазоре между шарами.

На втором этапе усреднения целесообразно использовать метод диаграммной техники. Таким образом, при переходе к случайной среде вся схема осреднения сохраняется с небольшими изменениями. Изменения сводятся к тому, что вместо вязкой анизотропной среды на макроуровне мы имеем включения вязкой анизотропной гомогенной среды внутри элементарного объема . Эти включения имеют случайные размер и форму. Вместе с маловязкой жидкостью они полностью заполняют этот объем.

Учитывая сказанное можно перейти от исходной микроструктуры с твердыми шарами к двухфазной микроструктуре гетерогенной смеси с двумя жидкими фазами, обладающими разными вязкостями. Пусть ,– подобласти области определения, относящиеся соответственно к скелету и флюиду. Удобно записать уравнения движения этой смеси в следующей форме

, (6.1a)

,

при,

при. где– случайная индикаторная функция,– внешняя сила,

Член с градиентом давления считается его малым и не учитывается. Наша цель заключается в том, чтобы вывести уравнения движения для средней скорости и определяющее уравнение в закритической области значений пористости. Следует ожидать, что в общем случае указанное определяющее уравнение, связывающее обобщенную силу и обобщенную скорость, будет нелокальным. Обобщенной силой является девиатор напряжений, а обобщенной скоростью – тензор скорости деформаций. Однако для упрощения выкладок удобно взять в качестве обобщенной скорости тензор скорости дисторсии. Симметризация этого тензора будет проведена в конце выкладок. Коэффициент, связывающий эти величины, и дает нам тензор эффективной вязкостигетерогенной смеси.

Для уравнения (6.1а) можно стандартным путем ввести функцию Грина

. (6.1b)

Диаграммная техника. Диаграммная техника Фейнмана [Швидлер, 1985] была впервые разработана в квантовой электродинамике. В дальнейшем она была с успехом применена для осреднения уравнений движения сред с большим числом степеней свободы. В отличие от математических методов, связанных с асимптотическим разложением она годится для любых соотношений между размерами неоднородностей и характерным размером области определении в макрозадаче. В частности, она позволяет получить осредненные интегральные определяющие уравнения для случайных нелокальных сред. Определенная соотношением (6.1b) Функция Грина удовлетворяет интегральному уравнению Липпмана-Швингера

(6.2) где– "свободная" функция Грина, удовлетворяющая уравнению

,, (6.3) а– операторный потенциал взаимодействия

, (6.4)

. (6.5)

Тензорный (а не скалярный) характер функции проявляется, в частности, в условии несжимаемости (второе соотношение (6.3)).

Запишем формальное решение уравнения (6.2) в виде разложения по степеням в операторном виде (опуская тензорные индексы и аргументы)

(6.6) Здесь символозначает операцию свертки. Введем графические обозначения

,. (6.7)

Тогда ряд (6.6) можно изобразить в виде

+++. (6.8)

Обозначим штрихом флюктуации случайных полей

,.

Усредняя ряд (6.8), запишем полученное выражение в следующей графической форме

=++++ , (6.9) где

,. (6.10)

Как известно при осреднении в приведенном разложении остается только сумма неприводимых диаграмм, которые нельзя разрезать по линии на две диаграммы низшего порядка. Поэтому выделим такие диаграммы в отдельный ряд

+++ (6.11)

Тогда усредняя (6.6), получаем

(6.12)

В результате после несложных преобразований приходим к уравнению Дайсона

. (6.13) Здесь символозначает операцию свертки.

Примем во внимание статистическую однородность среды. С учетом индексов и координат в качестве аргументов функций получаем выражение

, (6.14) где нелокальный операторсвязан с эффективным тензором вязкости формулой

. (6.15)

Уравнения (6.14), (6.15) означают нелокальную связь среднего девиатора тензора напряжений со средним тензором скорости дисторсии.

. (6.16)

В квазилокальном приближении можно ограничиться интегрированием лишь в окрестности фиксированной текущей точки, считая, что за пределами этой окрестности ядро в подынтегральном выражении (6.16) быстро затухает. Это позволяет произвести разложение в указанной окрестности по штрихованной координате, причем члены разложения являются степенями дельта-функции. Ограничиваясь младшими членами, имеем к квазилокальном приближении

. (6.17)

Подставим (6.16) в уравнение (6.1b) и произведем все необходимые преобразования. Умножая это выражение слева на оператор, получим интегро-дифференциальное уравнение компакции для статистически однородной среды,

. (6.18)

Это уравнение носит общий характер и описывает все локальные и нелокальные эффекты. Для того, чтобы конкретизировать его, мы должны внести необходимые упрощения. В этом выражении стоит несимметричный тензор скорости дисторсии. Однако его можно преобразовать, учитывая свойства симметрии тензора анизотропной вязкости, и перейти к симметричному тензору скорости деформации.

Корреляционное приближение. Для дальнейшего продвижения необходимо использовать различные приближенные методы. Одним из них является корреляционное приближение. В этом подходе оператор (6.11) представлен только двумя членами разложения

++ (6.19)

Используя (6.4) и (6.10), находим

=,, (6.20) где– пористость среды,

=

(6.21) где– корреляционная функция. Введем нормированную корреляционную функцию

, где,. (6.22)

Из (6.21) – (6.22) получаем

. (6.23)

Функция определяется из уравнения (6.3), включая условия несжимаемости жидкости (6.3b). Функциянаходится методом математической статистики из эксперимента. Часто для нее выбирается простое выражение, где– радиус корреляции. Тем самым формула (6.23) полностью определяет эффективную нелокальную вязкость по статистическим свойствам среды в корреляционном приближении.