Лекция № 7. Осреднение гетерогенных сред

Методы усреднения определяющих уравнений и уравнений движения. Периодические и случайные среды. Пространственное усреднение и усреднение по времени.

Введение и общие сведения

Некоторые общие принципы усреднения случайных полей одинаковы для полей любой природы – электрических полей, полей фильтрации и напряженного состояния гетерогенных сред. Эти принципы также мало зависят от того, являются ли поля скалярными, векторными или тензорными. Тем не менее, все-таки существуют определенные и достаточно глубокие различия в проблеме усреднения для разных классов гетерогенных сред. Например, для композитов усредненные определяющие уравнения имеют такую же форму, как и истинные уравнения на микроуровне. В то же самое время для пористых сред уравнения фильтрации качественно отличаются от исходных уравнений гидродинамики флюида.

Есть также различия между упругими и жидкими гетерогенными средами. Если в механике композитов есть существенные достижения, то в отношении жидких смесей этого сказать никак нельзя. В силу вязко-упругой аналогии в элементах процедур усреднения композитов и суспензии есть некоторые сходные черты. Это сходство сыграло коварную роль, направив усилия большинства исследователей исключительно на поиски аналогии. В действительности же между этими средами есть глубокие различия. В жидких смесях существуют относительные движения частиц, которые отсутствуют в упругих композитах, и которые требуют дополнительного усреднения по времени. Методы пространственного усреднения являются достаточно продвинутыми, и основное внимание будет уделено именно им. В то же самое время теория усреднения по времени пока еще находится в зачаточном состоянии. Здесь есть лишь отдельные результаты, которые носят, в основном, качественный характер. Мы сделаем акцент именно на тех трудностях, которые при этом возникают.

1. Пространственное усреднение

Постановка задачи. Вначале мы рассмотрим простейшие модели усреднения по пространству, которые не требуют дополнительного усреднения по времени. Исторически первыми в данной проблеме рассматривались векторные поля напряженности и проводимости. Поэтому большинство работ по усреднению вначале были посвящены именно проводящей гетерогенной среде. В подземной же гидродинамике (которой посвящен данный цикл лекций) наибольший интерес представляют поля фильтрации в пористой среде. Между двумя этими двумя векторными полями разной физической природы существует очень глубокая математическая аналогия, которая позволяет рассматривать их с единой точки зрения. Поэтому мы вначале дадим изложение методов усреднения для абстрактных векторных полей, которые после усреднения сохраняют свою форму.

Формально задача осреднения выглядит следующим образом. Пусть задан локальный поток и потенциальное поле. Они связаны локальным определяющим соотношением

,,. (1.1) Здесь коэффициентявляется проводимостью или же он связан с коэффициентом проницаемости, если потенциальное поле интерпретировать как градиент порового давления, а поток – как скорость фильтрации

Введем средние по элементарному объему потоки и поля и их флюктуации

,. (1.2)

Эффективный коэффициент (проводимость) определим соотношением

. (1.3)

В процедуре осреднения существует система малых параметров

,(1.4)

Параметр является основным – он характеризует отношение возмущения к среднему значению. Однако есть и другие независимые малые параметры, которые связаны с природой процессов в гетерогенных средах.

Можно дать и другое, энергетическое определение эффективного коэффициента. Введем локальную диссипацию энергии

Положим по определению

. (1.5) Здесь– энергетический коэффициент проводимости.

Предположим, что поля ии их произведение статистически однородны, и справедливо локальное уравнение (1.1). Тогда динамическое и энергетическое определения средних коэффициентов эквивалентны. Подставляя в (1.5) соотношение (1.2), получаем