13

Лекция № 6. Термодинамика пористых сред

Термодинамика необратимых процессов. Термодинамический вывод определяющих уравнений пористых сред. Методы осреднения определяющих уравнений.

1. Термодинамика необратимых процессов в пороупругих средах

Преобразование балансовых соотношений. В целях простоты ограничимся случаем простейшей среды Био, в которой фигурируют только две фазы. Исключая ненаблюдаемые и промежуточные величины в балансовых соотношениях для импульса, преобразуем их. Сложим уравнения (2.7) и используем выражение для межфазной силы (2.13), (2.14),

, а)

.b) (1.1)

Точно также преобразуем балансовые соотношения для энергии. Введем энтальпии фаз и, а также и конвективные производные для каждой из фаз, с помощью соотношений

,,

,и учтем их в уравнениях баланса энергии фаз. Подставляя (1.1) в (2.8), получаем выражение для изменения плотности внутренней энергии вдоль траекторий фаз

, а)

.b) (1.2)

Преобразуем теперь уравнения баланса энергии фаз с учетом определяющих соотношений фаз, т.е. закона Дарси для флюидной фазы и уравнения состояния для поро-термо-упругих напряжений скелетной фазы. Начнем с жидкой флюидной фазы и преобразуем (1.2b) с учетом балансовых соотношения для импульса (1.1b) и выражений (2.13), (2.15) для межфазной силы и межфазной работы. Имеем

(1.3)

.

Запишем уравнение непрерывности жидкой фазы (2.6b) в виде

.

Подставляя это выражение в (1.3) и имея в виду, что жидкость несжимаема , получаем

. (1.4)

Первый и второй члены правой части (1.4) связаны с межфазными тепловыми потоками и источником. Третий и четвертый члены правой части этого соотношения представляют собой соответственно диссипативную и консервативную составляющие фильтрационного процесса. Следующие три члена связаны с фазовыми переходами. Различие между ними состоит в том, что первые два из них описывают процессы на самой межфазной границе (где температуры фаз совпадают), а последний член описывает неравновесные процессы, при которых термодинамические параметры обеих фаз сильно различаются.

Следует подчеркнуть различие процессов фазовых превращений, происходящих в тонком пограничном слое, включающем межфазную границу, и основной массы флюида, протекающего с большой скоростью в поровом пространстве. Основная масса флюида пребывает в равновесии сама с собой, но она не находится в равновесном состоянии с веществом скелета. Поэтому здесь имеют место интенсивные термодинамические потоки под действием разности температур и других термодинамических параметров. Эти потоки в уравнении баланса энергии флюидной фазы представлены членом . Их интенсивность зависит от величины температурного градиента, направленного в сторону межфазной границы.

Масса флюида в пограничном слое мала. В нем скорости скелета и флюида практически совпадают. Термодинамические параметры обеих фаз близки. Потоки энергии обусловлены не только температурными различиями, но и разной величиной упругой энергии фаз. Хотя нормальные и касательные напряжения фаз на границе совпадают, давление и девиаторные компоненты напряжений могут существенно различаться. Поэтому различается и упругая энергия фаз. Условие фазового равновесия определяется равенством химических потенциалов фаз, а межфазные потоки описывается членами типа . В энтальпииивходят только энергии объемного сжатия вещества фаз, в то время как в энтальпииивходит еще и энергия, связанная с упругими девиаторными деформациями скелета.

Для аналогичного преобразования баланса энергии скелетной фазы недостаточно выражений, полученных на основе указанных элементарных выводов. Необходимо привлечение дополнительных физических соображений, которые конкретизируют вид тензора напряжений и определяющего соотношения для него. Необходимо привести уравнение баланса энергии для твердой фазы (1.2а) к более удобному виду, исключив такую ненаблюдаемую величину как напряжения, осредненные по твердой фазе. С учетом выражений для тензора напряжений (1.2.3с) и (1.5а) имеем . (1.5)

Воспользуемся соотношением баланса импульса твердой фазы (2.7а), а также выражениями для межфазной силы (2.13) и работы (2.14), и преобразуем данное уравнение

. (1.6)

Преобразуем уравнение непрерывности твердой фазы

.

Подставляя это выражение в (1.6), получаем

. (1.7а)

В диссипативных процессах теплопроводности влиянием квадратичных членов (типа второго члена правой части (1.7а)) на тепловой поток можно пренебречь. Тогда это выражение упрощается

. (1.7b)

Точно так же, как и в аналогичном соотношении для жидкой фазы, здесь присутствуют межфазные потоки энтальпии, в том числе и составляющая этого потока в пограничном слое.

Термодинамика необратимых процессов (основанная на соотношениях Гиббса для фаз и теории Онзагерра) позволяет проверить полученные выше определяющие соотношения на непротиворечивость, особенно в той части, которая касается межфазных процессов и перекрестных членов диссипативной функции. Она позволяет также получить разумные ограничения при обобщениях полученных соотношений на сложные среды.

Как уже было показано выше, гипотеза локального термодинамического равновесия позволяет для каждой из фаз по отдельности ввести понятия фазовой температуры и энтропии. В частности, для каждой из фаз справедливы соотношения Гиббса, которые представим через конвективные производные

, (1.8) где—работа консервативных сил.

Для каждой из фаз работа консервативных сил за единицу времени равна

,a)

.b) (1.9)

Подставляя в (1.8) балансовые соотношения (1.4) и (1.7) с учетом (1.9), имеем

,

. (1.10)

Определим конвективную производную по всему элементарному объему некоторой аддитивной по массе величины соотношением

, (1.11)

,. Здесь определены операторы конвективного дифференцирования для каждой из фаз. Производнаяимеет смысл полного изменения величиныв результате локального изменения фаз, адвекции и фазовых превращений.

Полное изменение энтропии дается выражением

. (1.12)

В отличие от полного изменения энергии, в котором внутренние перетоки энергии фаз не дают вклада, в производство энтропии дают вклады внутренние процессы. Изменение энтропии подразделяется на обратимую и необратимую составляющие. Будем отмечать их верхними индексамиисоответственно

.

Комбинируя выражения (1.6) – (1.8), получаем

,.

При этом для производства энтропии получаем выражение:

,. (1.13) Здесь– химический потенциал фаз.

Дивергентная часть изменения энтропии описывает перенос ее через поверхность элементарного объема (привнос ее извне). Диссипативная часть производства энтропии соответствует внутренним процессам. Все диссипативные члены неотрицательные и выражаются через термодинамические силы и потоки, которые образуют пары сопряженных величин, которые обозначим символами и

,;,;a)

,;,;b) (1.14)

,.c)

Диссипативная часть производства энтропии (1.13) может быть представлена в виде билинейной комбинации термодинамических сил и потоков

. (1.15)

Следуя стандартным рассуждениям, из выражения (1.15) получаем кинетические уравнения, связывающие термодинамические силы и потоки. Они включают в себя, в частности, перекрестные члены. В соответствии с принципом Кюри в изотропных средах в перекрестных соотношениях фигурируют лишь члены с одинаковой тензорной природой, т.е. скаляры – со скалярами, векторы – с векторами, а тензоры – с тензорами. При этом возможны перекрестные члены для слагаемых с одинаковой тензорной размерностью. Согласно правилу Онзагера матрица кинетических коэффициентов является симметричной. Вид, форма и величина перекрестных членов определяются из независимых физических соображений, например, с помощью моделирования соответствующих процессов.

Основным диссипативным процессом в пороупругой среде является фильтрация, которая описывается законом Дарси, который принимает вид как в простейшей классической ситуации

,, (1.16) так и при наличии перекрестных и нелинейных членов.

,,. (1.17a)

Удобно обобщенный закон фильтрации с перекрестными членами представить в такой форме, в которой из фазовых давлений вычтены гидростатические составляющие

,,при. (1.17b) Здесь– перекрестные проницаемости. В целях простоты и удобства редуцированные фазовые давления обозначаются теми же самыми символами. Равенство перекрестных коэффициентов вытекает из принципов термодинамики необратимых процессов.

При отсутствии перекрестных членов закон фильтрации многофазного флюида иногда называется законом Маскета-Леверетта

, ,. (1.17d)

Аналогичным образом получаются уравнение теплопроводности фаз и кинетические уравнения для фазовых превращений. В частности, таким путем получается определяющее уравнение для фазовых и химических превращений

. (1.18)

Выведенные термодинамическими методами определяющие соотношения и уравнения движения могут быть получены также с помощью процедуры осреднения. Эти методы позволяют математически корректно перейти от микроскопического описания гетерогенных сред к их представлению с помощью вложенных взаимодействующих континуумов, которые управляются законами механики сплошной среды.

В настоящее время существует много различных методов осреднения с различной степенью строгости. Полное их изложение имеет смысл лишь в историческом аспекте, отражающем развитие этой области науки. Наивысшей степени совершенства методы осреднения достигли в квантовой теории поля с помощью диаграммной техники Фейнмана и ее аналогов (например, техники осреднении Келдыша). Эта техника позволяет вычислять неаддитивные (интенсивные) величины, входящие в определяющие соотношения, которые не могут быть получены с помощью элементарной процедуры осреднения аддитивных величин. Физическое совершенство этого подхода обусловлено тем обстоятельством, что он не связан ни с какими ограничениями на размеры и характер распределения случайных и регулярных неоднородностей. Математическая мощь этих методов связана с тем, что они позволяют получить точные уравнения для одночастичной и двухчастичной функций Грина, описывающих осредненное поле. При этом дальнейшие расчеты осредненных величин и выражений сводятся к численным расчетам по известным алгоритмам.

В идеале техника осреднения совместно с термодинамическими методами должны полностью заменить предложенные выше аксиомы. Однако в силу большой общности указанные строгие методы далеко не всегда позволяют найти определяющие соотношения в каждом конкретном случае. Метод термодинамических функций обладает определенными преимуществами тогда, когда сопряженные величины входят в выражения для термодинамических функций в виде билинейной комбинации без диагональных членов или когда число термодинамически сопряженных пар невелико. В этом случае интерпретация сопряженных величин имеет прозрачный физический смысл, а вывод определяющих уравнений не представляет труда (например, для простейшей среды Био). Однако при наличии в свободной энергии перекрестных членов и нелинейных (старших) членов разложения интерпретация соответствующих определяющих соотношений становится затруднительной, особенно, для пороупругих сред со сложными свойствами. К усложняющим факторам пористых сред относятся многофазные и многокомпонентные флюиды, многомасштабная структура трещиноватости скелета, наличие фазовых и физико-химических превращений, различные физико-химические процессы на межфазной границе и т.д. Возникает множество определяющих параметров со сложными связями между ними, в которых иногда бывает трудно разобраться.

В практической работе с конкретными объектами иногда бывает разумно использовать различные эвристические подходы, которые обладают большей прозрачностью с физической точки зрения. Этой цели и служат принятые во второй лекции аксиомы, которые позволяют интерпретировать порожденные гетерогенной средой континуумы в рамках механики сплошной среды, следуя определенным правилам. При этом совершенно не важно, каким образом получены континуумы – с помощью термодинамики, эвристическим путем или методами осреднения. В любом случае мы пользуемся правилами, вытекающими из аксиом. Инженеру гораздо удобнее отталкиваться от простых и достаточно понятных аксиом, не вдаваясь в их физическую сущность и доказательную математическую основу. Это позволяет полностью сохранить логику рассуждений, не теряя при этом доступность и простоту изложения. Поэтому с чисто методической точки зрения целесообразно разделить более удобный для пользования аксиоматический подход и строгие математические методы, которые включают в себя методы осреднения и формальный подход в механике в изложении Трусделла и его последователей.

Проиллюстрируем сказанное на простых примерах. При осреднении изотропной однородной пористой сухой среды с упругим скелетом получаем (при малых упругих деформациях) фиктивную упругую гомогенную среду (только с другими модулями), которая уже была рассмотрена выше. Однако при осреднении пороупругой среды мы получаем среду Био, описание которой не сводятся к описанию известных гомогенных сред. При осреднении уравнений гидродинамики Стокса (для ползущих течений несжимаемой ньютоновской жидкости) в поровом пространстве, образованном жестким скелетом, в приближении малой скорости, малой пористости получаем известный закон Дарси (1.16) и его обобщение (1.17). В данном случае справедливость сделанных утверждений гарантируют нам известные теоремы осреднения. Однако ни теория осреднения, ни методы термодинамики не дают нам универсального алгоритма, как строить определяющие соотношения при наличии сложных связей, когда нет очевидной подсказки.