26 Курс механики пороупругих сред Лекция № 12. Основные уравнения механики пороупругих сред

Различные формы представления уравнений движения пороупругих сред. Вывод уравнения пьезопроводности. Исследование усложненных моделей с многофазным флюидом и с перекрестными членами в уравнениях фильтрации.

1. Общие уравнения движения

Упругие деформации всех известных горных пород не могут превысить величину . При превышении этого значения породы подвергаются разрушению. Малое значение упругих деформаций приводит к существенному упрощению теории пороупругости. В предыдущей лекции уравнения механики пороупругости выведены исходя из термодинамических принципов. В классической механике пороупругости горных пород предполагается, что упругие деформации скелета и объемные упругие деформации флюидов малы, а средние смещения скелета и флюидов по элементарному объему одного порядка

,, a)

,.b) (1.1)

Соотношения (1.1b) могут быть нарушены по двум причинам. Одна из них вызвана конечными упругими деформациями объема флюида, характерными для газовой фазы. В этом случае

. (1.1с)

Вторая причина может быть связана с процессами течения и вытеснения одной флюидной фазой другую

. (1.2)

Процессы вытеснения в теории пороупругости с многофазным флюидом предполагают существование двух временных масштабов – быстрого и медленного времени и. В течение быстрого времени имеют место собственно пороупругие процессы, т.е. выполняются соотношения (1.1b). В течение медленного времени происходят процессы замещения и вытеснения флюидных фаз. В этом случае мы имеем вырождение уравнений пороупругости и переход к теории фильтрации в пористой среде с жестким скелетом. В данном разделе мы ограничимся анализом пороупругих процессов в быстром режиме.

Уравнения пороупругости можно разделить на две группы. К первой группе относятся соотношения для напряжений. Обобщенное выражение для тензора полных напряжений и понятие тензора эффективных напряжения для таких сред впервые были предложены Айфантисом [Wilson,Aifantis, 1982]. Флюидные процессы описывают законы фильтрации. Наиболее известным и широко распространенным является закон Маскета-Леверетта для каждой фазы

,a)

,,b)

,,, с) (1.3)

, ,.d) Здесь– поровые давления флюидных фаз,– пористость,– коэффициенты при фазовых поровых давлениях, которые определяются спецификой конкретных моделей,,– скорость флюидных фаз и фазовая скорость фильтрации,– коэффициент вязкости флюидной фазы, – абсолютная фазовая проницаемость соответствующей фазы флюида, – относительные фазовые проницаемости, которые нормируются таким образом, что;– абсолютная проницаемость пористой среды.

Вывод определяющих соотношений из термодинамики необратимых процессов допускает более общую форму закона фильтрации, включающую в себя перекрестные члены,

,,. (1.4)

Принятый нами подход гарантирует нам, что эти определяющие соотношения не противоречат общим физическим принципам даже в более общем случае, когда скелет подвергается конечным деформациям. Проблема заключается лишь в том, чтобы отождествить и сам закон многофазной фильтрацией и перекрестные члены в нем с конкретными физическими процессами в пороупругой среде, моделирующей реальные углеводородные месторождения. Более того, определяющие соотношения не исчерпываются гидродинамическими уравнениями. Кроме них есть еще уравнения состояния для твердой фазы и уравнения связи. Мы должны быть уверены в том, что наши уравнения движения адекватно описывают именно ту среду, которую мы хотим изучить. Смысл дальнейших рассуждений как раз и состоит в том, чтобы прояснить эти вопросы.

Определяющие уравнения должны быть дополнены уравнениями состояния скелетной и флюидной фаз и условием фазового равновесия. Для простоты ограничимся лишь однофазным скелетом

,,

,, (1.5) гдеи– истинные объемные модули скелетной и флюидной фаз, символозначает отклонение данной величины от равновесного (ненапряженного) состояния, которое отмечается нижним нулевым индексом. В силу линейности уравнений состояния фаз истинные и осредненные уравнения – идентичны.

Вторую группу уравнений составляют соотношения баланса массы фаз. Каждая фаза может состоять из компонент. Компоненты характеризуется приведенной плотностью и массовой концентрацией. Для них имеем уравнения

,, а)

. b) (1.6) Здесь– скорость фазовых превращений компонентаот фазык фазе.

Уравнения движения пороупругой среды (1.3) выражается в смещениях уравнением, аналогичным уравнению для однофазного флюида,

. (1.7)

Поскольку уравнения непрерывности содержат производную по времени, то краевые условия должны включать в себя начальное условие. Мы игнорируем начальное напряженное состояние. Поэтому начальные значения смещений, деформаций и напряжений равны нулю. Ненулевое начальное условие формулируется для фазовых поровых давлений

,при. (1.8)

Граничные условия пороупругой задачи (так же, как и уравнения движения) могут быть в напряжениях или в смещениях (или быть смешанного типа)

:,илиa)

,b) (1.9) где– вектор единичной нормали.

В граничных условиях для флюидных фаз могут фигурировать фазовые поровые давление или скорости фильтрации. Тип этих условий может быть самым разнообразным в зависимости от физической постановки задачи. Ниже в иллюстративных целях приведен один из возможных вариантов этих условий. В частности, на границе могут задаваться условия отдельно для каждой фазы

:илиa)

.b) (1.10) Здесь,,и– граничные значения соответствующих величин.

Краевые условия (1.9) – (1.10) носят общий характер. Особенность задач с двухфазным флюидом состоит в том, что могут появиться внутренние границы, на которых терпят разрыв проницаемость и насыщенности фаз. На этих граница непрерывны поровое давление и масса каждой фазы [Нигматулин, 1987; Николаевский, 1996], кроме того, непрерывны тангенциальные компоненты скорости скелета,

,a)

,b) (1.11)

,. с) Здесь– скачок величинына граничной поверхности,– скорость внутренней границы, направленная по нормали,– касательные к границе единичные векторы.

В большинстве прикладных задач подземной гидродинамики (как раздела нефтяной геофизики) отсутствуют фазовые переходы между скелетом и флюидом, т.е. не рассматриваются модели частичного плавления среды. Полная пористость на границе непрерывна, а условие (1.11с) упрощается

:, а)

.b) (1.12)

Формально система уравнений пороупругости замкнута и может быть решена, по крайней мере, численно. Однако решение, как правило, имеет практическую ценность только тогда, когда оно может быть подвергнуто качественному анализу. В этой связи уравнения движения должны быть преобразованы к наиболее удобной для исследования форме. В частности, эволюционные процессы можно исследовать с помощью уравнения пьезопроводности. Как правило, вывод уравнения пьезопроводности связан с некоторыми специфическими величинами и системой малых параметров. Выявит эту специфику, опираясь только на термодинамические подходы и чисто математические методы осреднения весьма затруднительно. Наиболее конструктивным и часто используемым методом построения различных вариантов модели пороупругих сред является мысленный эксперимент и эвристические рассуждения. В этой связи представляет интерес поиск некоторых общих подходов и методов в данном направлении. С методической точки зрения разумно при этом опираться на простейший вариант теории пороупругости Био.

Вырожденные ситуации. В частном случае, когда одна из фазовых проницаемостей значительно превышает проницаемость всех остальных фаз

,, (1.13) малопроницаемые флюидные фазы в режиме пороупругих движений практически остаются неподвижными и составляют часть скелетной фазы. Все движение определяется наиболее подвижной флюидной фазой и сводится к классической схеме движения пороупругой среды с однофазным флюидом и многофазным скелетом. При вычислении его упругих модулей следует применять механику композитов.

Пусть, например, в качестве флюида выступает газожидкостная смесь. Здесь возможны различные ситуации. Пузырьки газа могут оказаться защемленными в узких порах, и тогда они составляют часть скелета. В этом случае фильтруется только флюид, а сжимаемость многофазного скелета определяется газовыми пузырьками и может оказаться очень большой. Если же газ свободно фильтруется, то возможны два варианта. Если движение газа происходит в пороупругом режиме, то жидкость не успевает вытекать из элементарного объема, и она входит в состав скелета. В этом случае применимы уравнения Лейбензона. В другом варианте имеют место медленные движения газовой фазы в квазистатическом режиме, а пороупругие процессы возможны только в жидких фазах. Во всех перечисленных случаях вырождение проявляется в том, что фактически уменьшается число флюидных фаз, участвующих в пороупругих процессах в силу особых свойств этих фаз. При этом реально эти фазы сами по себе никуда не исчезают, а только меняется их статус в пороупругой среде.

Наконец, к вырождению уравнений движения пороупругости приводит медленное вытеснение друг друга флюидными фазами. Пусть фазовые проницаемости и вязкости флюидов хотя и различаются, но, тем не менее, остаются в пределах одного порядка (т.е. нет других видов вырождения)

, .(1.15)

Как уже было показано, в приведенных выше выражениях величины зависят от двух времен – быстрого и медленного. Быстрое время будем обозначать как , а медленное время – как. Характерные величины времени размербыстрых процессов связаны соотношением

, откуда следует выражение для масштаба быстрого времени

, где– масштаб порового давления,– масштаб пороупругой области. Масштаб медленного времени задается априори, исходя из особенностей технологического процесса вытеснения. Естественно, что полные уравнения пороупругости содержат малый параметр, равный отношению этих времен

.

Произведем оценку малого параметра. Из уравнений непрерывности фаз вытекает соотношение для масштаба медленного времени

, где звездочкой отмечены масштабы соответствующих величин.

В течение быстрого времени (оно находится в интервале от минут до суток) происходят пороупругие процессы, сопровождающиеся малыми упругими деформациями скелета. При этом в невырожденном состоянии (когда производной по времени можно пренебречь) смещение флюидов того же порядка, что и смещение скелета, т.е. является малым. В течение медленного времени происходит вытеснение одной фазы другой (например, вода вытесняет нефть). Масштаб медленного порядка многих месяцев. В этом режиме упругие деформации скелета малы, а смещения флюидных фаз достаточно большие.

При наличии многих масштабов пространства или времени актуальнымбудем называть тот масштаб, в котором разворачиваются интересующие нас события. В мономасштабной среде понятия актуальный и характерный масштабы совпадают. Одни величины (например, пористость) зависят только от быстрого времени, другие (например, насыщенность и поровое давление) зависят как от быстрого, так и от медленного времени. Существует стандартная процедура многомасштабного временного разложения, которая сводится к некоторому формальному приему. Он состоит в том, что быстрое и медленное времена рассматриваются как независимые аргументы. Поэтому, считая, что актуальным масштабом является медленное время, производную по времени можно представить следующим образом

(1.16)

Заметим, что производная по времени входит только в уравнения непрерывности (1.6). Поэтому процедура временного разложения применима только к ним. Подставляя (1.16) в эти уравнения получаем

,, а)

.b) (1.17)

Функции источников теоретически могут зависеть как от быстрого, так и от медленного времени. Произведем в (1.17) разложение по малому параметру . Выделим главные члены и отбросим малые величины. Тогда приходим к уравнениям, аналогичным (1.6) с той лишь разницей, что теперь величины в нем зависят только от быстрого времени

,, а)

.b) (1.18)

Быстрые процессы характеризуются соотношениями (5.1.21). В следующем порядке теории возмущений получаем те же самые уравнения, только в режиме медленного времени.

,, а)

.b) (1.19)

На первый взгляд уравнения (1.19) совпадают с уравнениями (1.18). Однако есть существенные отличия. Пористость и упругие характеристики (например, объемное сжатие) не зависят от медленного времени. Однако в медленном режиме при многофазном флюиде возможно вытеснение одной фазой другую. При этом изменение фаз уже не является малым, и выполняются соотношения (5.1.21). Кроме того, от медленного времени зависят те величины, которые выражаются через насыщенности. Поэтому тип уравнений (1.18) и (1.19) разный. В технологических процессах вытеснения распределение давления обычно является постоянной величиной и не зависит от медленного времени, хотя и меняется в пространстве. Пористость же определяется геофизическими методами и тоже считается известной. Неизвестными искомыми величинами являются насыщенности, фазовые поровые объемы и скорости.

Аналогичные разложения производятся также в уравнениях фильтрации и других уравнениях механики пороупругих сред. Поскольку эти уравнения не содержат производные по времени, то, как правило, главные члены разложения дают те ж самые уравнения, т.е. оставляют их без изменения.