Паралпрог / Паралпрог_Ответы
.pdfЕсли нам требуется посчитать сумму восьми элементов массива, то это можно сделать так: Посчитать парные суммы a12 = a[1]+a[2], . . . , a78 = a[7]+a[8] на четырех процессорах, затем суммы a1234 = a12 + a34, a5678 = a56 + a78 – на двух процессорах и после этого – окончательную сумму.
Это лишь пример, строгого доказательства нету.
78.Вопрос: Справедливо ли следующее утверждение: распараллеливание с помощью приема «ликвидации» индукционных переменных всегда является неэквивалентным преобразованием программы? Обоснуйте свой ответ.
Ответ: Это справедливое рассуждение. Пример:
j = 0
do i = 1, u j = j + k a[i] = j
enddo
Здесь между всеми итерациями существует истинная зависимость по j. Можно заметить, что с точки зрения математики (без взгляда на остальную программу), что на n-ой итерации значение j = k * n. Так что можно (с этой точки зрения) написать:
do i = 1, u j = k * i a[i] = j
enddo
Получаем параллельный цикл. Но мы изменяем граф алгоритма (неэквивалентное преобразование.)
79.Вопрос: Можно ли устранить в последовательной программе истинные зависимости по данным для получения корректной параллельной версии?
Ответ: Можно, используя ликвидацию индукционных переменных и редукцию. Но при этом необходимо быть осторожным, т.к. меняется граф алгоритма.
80.Вопрос: Какие схемы распределения работ на этапе назначения между виртуальными исполнителями Вам известны?
Ответ: Статическая (каждому исполнителю фиксированный набор задач), динамическая (каждому исполнителю по 1 задаче из очереди задач; после выполнения берется следующая задача), смешанная (динамическая, но задач берется несколько)).
81.Вопрос: Система ОДУ не является жесткой и решается явным методом Рунге-Кутты. Будет ли реализованная для такого уравнения последовательная программа эффективно распараллеливаться?
Ответ: Метод Рунге-Кутты (например, 4 порядка) для решения системы
дифференциальных уравнений вида
y' = f(t,y)
задаётся уравнениями
y_{n+1} = y_n + 1/6 h (k_1 + k_2 + k_3 + k_4),
где выражения k_1, k_2, k_3, k_4 задаются формулами
k_1 = f(t_n, y_n), k_2 = f(t_n + 0.5h, y_n + 0.5h * k_2)
k_3 = f(t_n + 0.5h, y_n + 0.5h* k_2), k_4 = f(t_n + h, y_n + h * k_3)
Составляя граф алгоритма, видим, что он имеет большое количество ярусов, поэтому такая версия алгоритма не допускает эффективного распараллеливания.
82.Вопрос: Жесткая система обыкновенных дифференциальных уравнений решается W- методом с заменой точного обращения матрицы приближенным по методу Шульца. Какая версия метода допускает более эффективную параллельную реализацию – с несколькими итерациями для вычисления матрицы или с учетом нескольких последовательных степеней невязки?
Ответ: W-метод заключается в следующем.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида y' = F(x, y)
Формула для вычисления решения W-методом имеет вид
(E – h * d_{ii} A)k_i = F(y_n + h * \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} k_j) + h A \sum_{j=1}^{i-1} d_{ij}k_j,
где A-некоторая произвольная матрица, такая, что (E – h* d_{ii} A) обратима. При этом очередной шаг решения вычисляется по формуле
y_{n+1} = y_n + h * \sum_{i=1}^{s} b_i * k_i
Метод Шульца заключается в замене обращения матрицы использованием последовательной частичной суммы для ряда (E – h * d_{ii} A)^{-1}
Кроме итерационной процедуры обращения матрицы использование частичной суммы ряда по степеням невязки
должно формально приводить к лучшим результатам для вычисления значения обратной матрицы.
Формально и такой способ вычисления не содержит нераспараллеливаемых операций – олько перемножения и сложения матриц. Но с точки зрения организации вычислений меется принципиальная разница. Если для реализации нескольких итераций у нас не меняется матрица E + R_i^{n+1}, соответствующие значения могут быть разосланы исполнителям в начале процесса вычислений и не будут меняться в ходе итераций, то при вычислении матрицы суммы степенного ряда нам необходимо сохранять все промежуточные результаты. Возрастает количество обращений к памяти и объем пересылаемой информации.
То есть лучше способ с несколькими итерациями.
83.Вопрос: Будет ли однократно диагонально неявный метод, основанный на методе Розенброка, более эффективным с точки зрения распараллеливания по сравнению со всеми остальными методами того же класса?
Ответ: Метод Розенброка. Пусть имеется жёсткая система дифференциальных уравнений
y' = f(y,t)
она заменяется разностной формой типа
(E – a A - b 2 A2) * (y_{i+1} – y_i) / = f(y_i + c * * f(y_i))
где — шаг интегрирования, а a, b, c – неизвестные параметры. Если матрица A диагональная, то обращение матрицы (E – a ΔA - b 2 A2) сводится к обращению диагональной матрицы. Если функция f(.) покоординатно независима, то метод допускает эффективное распараллеливание. В противном случае формулы имеют вид
y_{i+1} = y_i + X^{-1} * f(...),
где X – некоторая матрица. Если вычисление f нельзя распараллелить, то замена матрицы на диагональную не приносит выигрыша..
84.Вопрос: Метод параллельной стрельбы будет более эффективным по сравнению с методом стрельбы: А. Если число исполнителей превышает количество добавленных
систем линейных дифференциальных уравнений в вариациях Б. В любом случае, так как быстрее сходятся итерации по пристрелочным параметрам В. Если исходная краевая задача хорошо обусловлена, и в этом случае быстрее сходятся итерации по пристрелочным параметрам Ответ: Метод параллельной стрельбы будет более эффективным по сравнению с методом
стрельбы: А. Если число исполнителей превышает количество добавленных систем линейных дифференциальных уравнений в вариациях Б. В любом случае, так как быстрее сходятся итерации по пристрелочным параметрам В. Если исходная краевая задача хорошо обусловлена, и в этом случае быстрее сходятся итерации по пристрелочным параметрам
пруфлинк. http://www.nsc.ru/rus/textbooks/akhmerov/nm-ode_unicode/2-2.html
Метод стрельбы заключается в следующем. Имеется некоторая задача с краевыми условиями, например диффур 2 порядка с условиями на концах. Такая задача сводится с помощью метода стрельбы к решению задач Коши.
Мы забываем про правое граничное условие, и подбираем производную на левом конце так, чтобы решение справа совпало с условием. Параметр (значение производной на левом конце) ищется с некоторой точностью, например, сеточным методом.
Метод параллельной стрельбы решает все эти задачи Коши одновременно. Я думаю, что здесь правильный ответ Б, то есть параллельный метод стрельбы эффективнее в любом случае, потому что все эти задачи Коши решаются независимо, то есть каждый шаг сетки выполняется быстрее.
85.Вопрос: Есть ли смысл при реализации метода параллельной стрельбы использовать распараллеливание решения системы линейных уравнений в процессе итераций по пристрелочным параметрам?
Ответ: Про метод стрельбы можно почитать в предыдущем пункте. По сути он представляет из себя огромную систему ОДУ (если исходная система состояла из m уравнений, то новая будет состоять из m * n, где n – количество итераций пристрелки). Если есть способ распараллелить её эффективнее, чем в n раз, то почему бы и нет.
86.Вопрос: При реализации параллельной пристрелки реализовано две версии метода. При первой реализации сначала решаются нелинейные уравнения, данные сохраняются, а затем решаются уравнения в вариациях, во второй реализации все эти уравнения решаются одновременно. Какая реализация более эффективна с точки зрения распараллеливания?
Ответ: Во втором случае - отрезок параметра разбивается между исполнителями и в каждом из отрезков можно задать задачу Коши, и решение такой задачи может осуществляться независимо на каждом исполнителе.
.s. Непонятно, какие данные сохраняются. Просто как факт, никакая синхронизация между процессами не требуется, после разбиения отрезка параметра между исполнителями.
87.Вопрос: Решаются две близкие задачи – уравнение диффузии и уравнение диффузии с конвекцией. Используется полностью неявная схема. Можно ли в каждом из этих случаев использовать алгоритм редукции для решения системы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей?
Ответ: Да, можно. Редукция - это эквивалентное математическое преобразование и на точность решения системы линейных уравнений не влияет. Погрешность решения появляется, только в момент лианеризации схемы. Неявная схема обычно устойчива (почти при всех параметрах сетки), поэтому лианеризация схемы и последующее ее
решение как системы линейных уравнений даст решение в пределах ошибки аппроксимации.
.s.(это возможно неверно)Также можно заметить, что количество арифметических операций(сложение, умножение и.т.п) для вычисления значения функции в заданной точке одинаково в однопоточной версии прогонки так и после редукции(это следует из обратимости математического преобразования).
88.Вопрос: Решаются две близкие задачи – уравнение диффузии и уравнение диффузии с конвекцией. Для задачи с конвекцией используются схемы, в которых диффузионный оператор аппроксимируется на верхнем слое по времени, а конвективные члены – на нижнем слое по времени. Для уравнения диффузии использована неявная схема. Можно ли в каждом из этих случаев использовать алгоритм редукции для решения системы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей?
Ответ: Да, можно. (см.87) Во втором случае(с конвекцией) погрешность решения может оказаться больше из-за ошибки вычисления конвекционной части на предыдущем слое. В данном случае схема тоже неявная, поэтому скорее всего устойчива.(см. пункт 87)
89.Вопрос: Линейное уравнение переноса решается с помощью простой явной разностной схемы на трехточечном шаблоне. Используется геометрическое распараллеливание. Сравнить варианты с перекрытием и без перекрытия зон ответственности с точки зрения эффективности распараллеливания.
Ответ: нет ответа.
90.Вопрос: Линейное уравнение переноса решается с помощью явной разностной схемы повышенного порядка аппроксимации на двухслойном шаблоне. Используется геометрическое распараллеливание. Сравнить варианты с перекрытием и без перекрытия зон ответственности исполнителей с точки зрения эффективности распараллеливания.
Ответ: нет ответа.
91.Вопрос: Линейное уравнение переноса решается с помощью явной разностной схемы повышенного порядка аппроксимации на трехслойном шаблоне. Используется геометрическое распараллеливание. Сравнить варианты с перекрытием и без перекрытия зон ответственности исполнителей с точки зрения эффективности распараллеливания.
Ответ: Здесь необходим обмен данными в обоих направлениях, так как последнему исполнителю не хватит данных на правой границе, что приведет к использованию там другой разностной схемы, что в свою очередь может привести к разбалансировке загрузки исполнителей. В случае перекрытия нужно лишь незначительно увеличить зоны перекрытия, что представляется наиболее предпочтительным вариантом с точки зрения эффективности.
Комментарий:
Ain't got nothing better.
92.Вопрос: При использовании бикомпактной разностной схемы для решения уравнения Хопфа объем передачи необходимой информации по сравнению с реализацией явной двухслойной разностной схемы того же порядка при каждом обмене: А. Уменьшается в два раза Б. Увеличивается в два раза В. Остается неизменным.
Ответ: А
Комментарий:
Ничего конкретного нигде не нашел, но логика подсказывает, что раз схема бикомпактная, то что-то становится более компактным в 2 раза. :)
(С другой стороны википедия говорит, что компактные схемы просто имеют больший порядок аппроксимации. Но здесь порядки аппроксимации совпадают, а устроена компактная схема может быть куда сложнее, поэтому и пересылок может быть больше.)
93.Вопрос: Разностная схема бегущего счета А. Не может быть эффективно распараллелена Б. Может быть эффективно распараллелена с помощью геометрического распараллеливания В. Может быть эффективно распараллелена с помощью геометрического распараллеливания, но требуется значительная модификация в зоне перекрытия областей ответственности исполнителей Г. Может быть распараллелена с использованием конвейера Д. Надо использовать редукционный метод для решения уравнений на верхнем слое Е Г. Может быть распараллелена с использованием комбинации идей конвейера и геометрического параллелизма.
Ответ: Г
Комментарий:
Судя по тому, что написано здесь: http://neo- chaos.narod.ru/useful/nummethod/kalitkin_10_334-367.pdf, такую схему можно считать последовательно слева направо, поскольку для очередного значения на текущем слое, нужно значение текущего слоя, которое левее, и несколько значений с предыдущего слоя. Геометрическое распараллеливание отпадает, конвейерное подходит. Что имеется в виду
в Д не особо ясно.
Впрочем в бумажке был написан ответ Е.
94.Вопрос: При использовании явных компактных разностных схем при решении задач для систем уравнений гиперболического типа на параллельной системе для повышения производительности целесообразно использовать А. Геометрическое распараллеливание
сперекрытием зон ответственности исполнителей Б. Редукционный метод решения систем линейных алгебраических уравнений В. Итерационное обращение оператора вместо точного Г. Обращение оператора по отдельным блокам
Ответ: А
Комментарий:
В бумажке был ответ Б, но имхо, если схема явная, то геометрическое распараллеливание подходит хорошо.
95.Вопрос: При использовании явного разрывного метода Галеркина при решении задач для систем уравнений гиперболического типа на параллельной системе для повышения производительности целесообразно использовать А. Геометрическое распараллеливание
сперекрытием зон ответственности исполнителей Б. Редукционный метод решения систем линейных алгебраических уравнений В. Итерационное обращение оператора вместо точного Г. Обращение оператора по отдельным блокам
Ответ: А
Комментарий:
Согласно цитате
(ftp://ftp.gentoo.ru/local/57/6_term/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F%20 %D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%BE%D0%B2/Group B/GPU_8.pptx): “Разрывный метод Галёркина легко распараллелить за счет разделения области на конечные элементы, вычисления на которых можно производить независимо.” Видимо здесь имеется в виду геометрическое распараллеливание.
96.Вопрос: Задача решалась численно в трехмерной области в форме параллелепипеда. При решении уравнения параболического типа с помощью явной разностной схемы было найдено оптимальное разбиение на зоны ответственности при использовании
геометрического распараллеливания. Будет ли это разбиение также оптимальным при использовании явных разностных схем на том же шаблоне для решения задачи гиперболического типа?
Ответ: Да, будет. Решения обоих этих уравнений (параболическое и гиперболическое) зависят от времени, этим они похожи. Отличие в характеристиках, но это проявляется лишь на уровне координат, на обмен данными между процессорами это не влияет, отсюда свойство оптимальности должно сохраниться.
97.Вопрос: При использовании явной компактной разностной схемы третьего порядка аппроксимации для решения уравнения переноса объем передачи необходимой информации по сравнению с реализацией явной двухслойной разностной схемы того же порядка при каждом обмене: А. Уменьшается в два раза Б. Увеличивается в два раза В. Остается неизменным.
Ответ: Уменьшается в 2 раза.
Чтобы второй схемой сделать тот же шаг по времени, что и первой схемой, нужно рассчитать два слоя, в то время как первая схема считает лишь один слой. Если считать, что объем передаваемой информации от слоя к слою приблизительно одинаков, то ответ становится прозрачным.
98.Вопрос: Линейное уравнение переноса решается с помощью явной компактной разностной схемы третьего порядка аппроксимации на двухслойном шаблоне. Используется геометрическое распараллеливание. Сравнить варианты геометрического распараллеливания с перекрытием и без перекрытия зон ответственности исполнителей с точки зрения эффективности распараллеливания.
Ответ: Обмен между зонами ответственности исполнителей не требуется, т.е. перекрытие нецелесообразно, а значит менее эффективно. В случае линейного уравнения переноса характеристиками являются прямые линии. Соответственно, если перейти к переменным Римана («встать на характеристику»), то значение на ней пересчитывать не надо, оно сохраняется на всей характеристике. Значит, обмен между зонами ответственности исполнителей не нужен.
99.Вопрос: При использовании гибридной разностной схемы с геометрическим распараллеливанием для сокращения числа обменов данными между процессорами используется схема первого порядка аппроксимации. Описать достоинства и недостатки такого подхода.
Ответ: Достоинства: Простота кода (схема первого (!) порядка) Недостатки: Низкий порядок аппроксимации схемы (первый, можно выше)
100.Вопрос: При использовании бикомпактной разностной схемы с геометрическим распараллеливанием для повышения эффективности распараллеливания используется явная схема первого порядка аппроксимации. Описать достоинства и недостатки такого подхода.
Ответ: Достоинства: Простота кода (явная (!) схема первого (!) порядка)
Недостатки: Низкий порядок аппроксимации (первый, хотя на бикомпактных схемах можно и пятый получить).