Lec, Beskin / beskin. book

21

Читателю самому предлагается показать, что решение этой системы уравнений может быть представлено в удивительно компактном виде

где λ = 2π/k длина волны фотона, λ = λ2 − λ1, а индексы 1 и 2 соответствуют

значениям до и после взаимодействия. Тем самым, в теорию вошла новая характерная длина

которая с тех пор и называется комптоновской длинной волны. Подчеркнем, что она относится не только к электронам, а к любым массивным честицам. Ее физический смысл мы обсудим в следующей Главе.

Формула Комптона показывает, что в случае, когда длина волны падающего фотона много больше комптоновской длины (легко проверить, что это равносильно тому, что энергия фотона hω¯ много меньше энергии покоя электрона mec2 ≈ 511 кэВ), то энергия

фотона после столкновения, как показано на Рис. 4 (пунктир), практически не изменится. Такое столкновение подобно столкновению легкого шарика с покоящимся тяжелым. С другой стороны, при энергиях фотона много больших 511 кэВ фотоны, отразившиеся обратно, будут иметь энергию, существенно отличающуюся от первоначальной. Согласие формулы (25) с наблюдениями было столь хорошее, что не приходилось сомневаться: при определенных условиях свет распространялся не как волна, а как отдельные частицы.

В заключение следует отметить, что в астрофизике большую роль играет т.н. обратный Комптон-эффект (Inverse Compton e ect IC), когда в лабораторной системе отсчета энергия электрона существенно превышает энергию фотона. Особенно сильно этот эффект проявлется для релятивистских электронов. В этом случае после взаимодейстия фотон может преобрести энергию, существенно большую, чем он имел до взаимодейстия. Например, при лобовом столкновении (проверьте!)

22

.

.

Рис. 4: Энергия фотона hω¯ ′ после столкновения для hω¯ mec2 (пунктир) и hω¯ mec2

(сплошная линия)

23

Поэтому если энергия налетающего электрона достаточно высока, то для мягких рентгеновских фотонов, характерных для теплового излучения поверхности нейтронных звезд, их энергия может быть переброшена в область жесткого гамма-излучения вплоть до энергий порядка нескольких ТэВ, как это и наблюдается в дейстительности. Подробнее астрофизические приложения будут рассмотрены в разделе ??.

1.3Частицы

1.3.1Опыты Резерфорда да, частицы

Мы уже говорили о том, что идея атомизма восходит к древним грекам. Однако, если говорить серьезно, то к началу 20 века про строение вещества было мало что известно. Впрочем, несколько известных к тому времени фактов все же позволяли приблизится к пониманию того, как устроен наш мир на уровне атомной физики. Капля масла, растекшаяся по поверхности воды, позволяла оценить размер атомов, а открытие периодического закона Д.И. Менделеевым (1834-1907) показало, что свойства веществ зависит от дискретной величины их порядкового номера. Опыты по электролизу также указывали на то, что существует минимальная порция электрического заряда. Этого, однако, было совершенно недостаточно, чтобы понять устройство микромира.

В итоге, квантовая механика была, фактически, сформулирована, когда были известны лишь три элементарные частицы электрон, протон и фотон. Существование электрона было окончательно доказано в 1897 году, когда Дж.Дж.Томсон (1856-1940, Нобелевская премия 1906 г.) установил, что отношение заряда к массе для катодных лучей не зависит от материала источника. Протон был обнаружен в 1919 году Э. Резерфордом (1871-1937) при исследовании продуктов столкновения альфа-частиц (теперь мы знаем, что это ядра гелия) с ядрами азота. Существование фотона как кванта излучения, как мы видели, было окончательно подтверждено уже по ходу дела. Что же касается всех остальных элементарных частиц (нейтрона, нейтрино, позитрона, мю-мезона, а потом кварков и глюонов, из которых слагаются тяжелые частицы, промежуточные бозоны, ответственные за слабое взаимодействие; впрочем, мы здесь несколько отклонились от

24

темы), то их открытие произошло уже после того, как в 1925-1926 годах были заложены математические основы квантовой механики. Поэтому подавляющее большинство экспериментальных данных, которые привели к осознанию квантовой природы микромира, были взяты из атомной физики.

Итак, следующим важнейшим (и вновь экспериментальным) шагом было открытие Резерфордом атомного ядра, размеры которого оказались на несколько порядков меньше, чем размер атома. Это стало возможным, как уже было подчеркнуто, благодаря бурному развитию химии и технологии. Резерфорд (а он уже получил в 1908 году Нобелевскую премию по химии за исследования в области распада радиоактивных веществ) использовал альфа-частицы для бомбардировки металлической фольги. При этом он обнаружил, что альфа-частицы иногда отражаются обратно, что было невозможно понять в рамках принятой тогда модели атома (аморфный ”пудинг с изюмом” Дж.Дж. Томсона). Однако согласие, и притом очень хорошее, можно было получить, если предположить, что атом содержит практически точечное положительно заряженное ядро, содержащее почти всю массу атома. Тогда отражение естественно возникало при почти лобовом столкновении одинаково заряженных частиц. Электроны же, подобно планетам в солнечной системе, вращались по удаленным орбитам и тем самым определяли размер атома.

Как мы видим, модель рассеяния Резерфорда была построена на основе классических представлений о строении материи. Еще не было ни тени сомнения в том, что ядра и электроны могут быть чем то иным, кроме как частицами. И знаменитая формула Резерфорда, описывающая столкновние альфа-частицы с ядром атома, практически ничем не отличалась от хорошо известной формулы, описывающей взаимодействие двух массивных тел в теории Всемирного тяготения. Нужно было лишь заменить силу притяжения −Gm1m2/r2 на силу отталкивания q1q2/r2, где q1 и q2 заряды сталкивающихся

ядер.

Однако, как хорошо известно, планетарная модель атома Резерфорда, несмотря на точное количественное согласие предсказаний теории с данными экспериментов по рассеянию альфа-частиц, полностью противоречила теории электромагнитного поля Максвел-

25

ла, сомневаться в которой было невозможо (она объясняла все известные к тому времени электромагнитные явления). Дело в том, что теория однозначно требовала падения электрона на ядро за ничтожно малое время. Действительно, согласно теории электромагнетизма, любая заряженная частица, двигающаяся с ускорением, должна терять энергию за счет излучения электромагнитных волн. Как показано в Приложении 6.4, для атома водорода такое время составляет лишь 10−11 с. Классическое представление об окружаю-

щем нас мире вдребезги разбивалось при столкновении с микромиром. Это была другая страна, с ее собственными законами.

1.3.2Атом Бора нет, не во всем частицы

Остановимся здесь на минуту и поговорим немного о научном прозрении. Что необходимо для того, чтобы объяснить необъяснимое? Если не говорить о Боге, то возможный рецепт был сформулирован уже в средние века. Еще в 14 веке У. Оккам ( 1285-1349), продолжая традицию Аристотеля, сформулировал принцип, который известен теперь как ”Бритва Оккама”: не следует привлекать новые сущности без самой крайней на то необходимости. Это означает, что сначала нужно перебрать все возможные варианты, и лишь потом начинать осторожно выходить за пределы известных теорий. Речь, таким образом, прежде всего должна идти об осознании существования границ применимости известных законов, а не об их отрицании. Именно так поступил Эйнштейн, сформулировав свою общую теорию относительности. Она не отрицала теорию Всемирного тяготения, а лишь ограничивала область ее применения.

С другой стороны, новая идея должна быть достаточно радикальной. Много лет спустя Нильс Бор (1885-1962), обсуждая одну из новых гипотез, говорил: ”Это, безусловно, безумная идея. Но достаточно ли она безумна, чтобы быть верной?” Метод эпициклов, когда известная модель излишне усложняется, рано или поздно становится бесполезной, и на ее место должна прийти другая теория, подчас основанная на совершенно иных принципах. И здесь во главу угла часто становятся представления, на первый взгляд далекие от науки. Но это только на первый взгляд.

26

Дело в том, что, как давно было понято, наука, научный взгляд на окружающий мир, при всей своей мощи одна не в состоянии проникнуть в суть вещей. Во времена резкой смены основопологающих идей на первые роли часто выходит другой взгляд на природу, которую мы называем исскуством. Это хорошо понимали в Древней Греции. Это хорошо понимали и в средние века. Недаром научные трактаты писались в стихах. Об этом впоследствии, в той или иной форме, говорили все создатели квантовой механики.

Возвратимся, однако, к модели атома Бора. На первый взгляд это был еще один акт отчаяния. С одной стороны, опыты Резерфорда настойчиво показывали, что атомы должны состоять из положительно заряженных ядер, вокруг которых вращаются отрицательно заряженные электроны. С другой стороны, теория электромагнитного поля Максвелла, требовала падения электрона на ядро. И вот, чтобы разрешить это противоречие, Бор предположил, что в микромире законы классической электродинамики неприменимы. Электроны, вращающиеся вокруг ядра, могут занимать лишь дискретный набор орбит (термов), для которых момент импульса должен быть кратен постоянной Планка:

Эта формула легко может быть получена из выражения для полной энергии электрона

E = mev2/2 − e2/r, силы e2/r2, которую нужно уравнять с центростремительным ускорением mev2/r и соотношения (29). При этом электрон, находящийся на своем уровне,

энергию не теряет. Излучение происходит лишь при переходах между уровнями.

Хорошо известно, что эта идея мгновенно объяснила наблюдаемый спектр излучения атомов водорода. В частности, легко проверить, что постоянная Ридберга R (7) может

При этом согласие теории и наблюдений (после учета того, что в действительности движение электрона должно происходить вокруг общего центра масс) уже в двадцатых годах

27

составляла лишь доли процента. Сейчас же величина R известна с точностью до девятого знака.

Более того, Бору не потребовалось выдумывать никаких новых параметров: можно было воспользоваться уже известной величиной постоянной Планка. Правда, теперь это уже не был чисто технический коэффициент пропорциональности, как в формуле Планка, а главное действующее лицо квант углового момента, задающий масштаб дискретности микромира.

С другой стороны, отметим, что открытие Бора было сделано не на пустом месте. Он, фактически, просто переосмыслил идею Планка о дискретности уровней энергии осцилляторов. Действительно, основное препятствие, стоящее на его пути теория электромагнитного излучения ускоренных электронов неявно предполагала, что энергии ускоренных частиц могут принимать непрерывный, а не дискретный набор энергий. Лишь в этом случае, когда для электрона возможен непрерывный спуск по лестнице энергий, становится возможным само излучение. Если спуск по каким-то причинам невозможен (лестницы нет, а лифт не работает, или нижние этажи полны народу), то становится невозможным и само излучение. Эта идея, только в зеркальном изображении, фактически, была использована и Планком. Если энергия излучающих частиц, задаваемая температурой, меньше расстояния между уровнями энергии в осцилляторе, то их возбуждение (а, значит, и последующее излучение на соответствующих высоких частотах) становится невозможным. С этим, по существу, и было связано падение спектральной плотности теплового излучения на высоких частотах. Запомним это фундаментальное свойство квантовых систем, оно еще не раз понадобится нам в дальнейшем.

1.3.3Магнетон Бора

С именем Н. Бора связан еще один физический термин. Это т.н. магнетон Бора квант магнитного момента элементарных частиц. Дело в том, что элементарные частицы обладают еще одним удивительным квантовым свойством, которое также сначала было

28

обнаружено экспериментально. Это свойство связано с собственным моментом импульса элементарных частиц, и, как следствие с их собственным магнитным моментом. Про собственный момент импульса частиц (по науке он называется спин) мы подробно поговорим в Главе 3. Здесь же мы покажем, как характерное значение магнитного момента может быть получено из элементарных соображений.

Действительно, если рассмотреить круговую траекторию электрона в атоме как контур с током, то можно определить магнитный момент такого контура µ. Эта величина

входит, например, в формулу, определяющую спадание дипольного магнитного поля в экваториальной плоскости:

Стандартные электромагнитные формулы дают

где I = q/t = ev/2πr полный ток, текущий в контуре, а S = πr2 площадь контура.

В итоге, воспользовавшись сооотношением (28), квантующим момент импульса частицы, получаем окончательно µ = nµB, где

есть элементарный квант магнитного момента.

В действительности, модель кругового тока, конечно же, не может в точности воспроизвести величину магнитного момента. Однако по порядку величины магнетон Бора оказывается хорошей оценкой, в том числе и для более тяжелых частиц. Так, например, магнитный момент электрона в точности есть µe = µB. Что же касается магнитного

момента протона и нейтрона, то их естественно измерять в единицах ядерного манетона

Оказалось, что магнитный момент протона составляет 2.79µp и направлен по направ-

лению собственного момента импульса. Более нетривиальный факт состоит в том, что

29

электрически нейтральный нейтрон также обмадает магнитным моментом −1.91µp. Знак

минус здесь означает то, что магнитный момент нейтрона направлен против направления спина.

1.4Дуализм

1.4.1Де Бройль и волны, и частицы

Л.Д. Ландау (1908-1968, Нобелевская премия 1962 года), несомненно, принадлежал к элите научного мира. Родись он на несколько лет раньше, его имя стояло бы наряду с главными создателями квантовой механики. Но даже войдя в науку в конце двадцатых годов, ему удалось сделать очень и очень многое. Мы еще не раз встретимся с его именем по ходу нашего рассказа. И вот, понимая как никто саму суть квантовой механики, Ландау давал максимальный балл именно де Бройлю. За результат. За основопологающую идею. Действительно, обратите внимание: между открытием Бора (которое, казалось бы, позволило понять основные свойства атомов и даже выйти на уровень количественных предсказаний) и работой де Бройля прошли долгих десять лет. А между открытием де Бройля и завершением первого этапа развития квантовой механики построения математически строгой нерелятивистской квантовой теории лишь один-два года. Волновая гипотеза де Бройля оказалась более плодотворной.

Основная идея де Бройля (1892-1987) состояла в том, что раз свет при определенных условиях проявляет себя как частицы, то почему бы и частицам тоже при определенных условиях не проявлять волновые свойства. По глубине идеи это было равносильно прозрению Максвелла, который понял, что раз переменное магнитное поле создает поле электрическое (эффект Фарадея), то и переменное электрическое поле должно создавать магнитное. В итоге, заменив в релятивистской формуле p = h¯k (21) импульс p на нерелятивистскую величину p = mv, получаем для соответствующей длины волны

Это и есть знаменитое выражение для длины волны де Бройля. Она определяет масштаб,

30

на котором для любой частицы массы m начинают проявляться ее квантовые свойства.

В результате, легко проверить, что основной постулат Бора о квантовании момента количества движения в атоме (28) может быть записан просто как

Иными словами, возможны лишь такие орбиты, на которых укладывается целое число волн. В противном случае в данной точке амплитуда волны становится неопределенной величиной.

Первое подтверждение гипотезы де Бройля было получено уже в 1927 году в опытах американских физиков К. Дэвиссона и Л. Джермера. Пучок электронов c энергией 100– 150 эВ (что соответствует длине волны λ ≈ 0,1 нм) падал на кристалл никеля, играющий

роль пространственной дифракционной решётки. Было установлено, что электроны дифрагируют на кристалле, причём именно так, как должно быть для волн, длина которых определяется соотношением де Бройля. Но самым знаменитым экспериментом, окончательно подтвердившим волновые свойства частиц, без сомнения, был опыт по дифракции электронов, проведенный в 1947 году в МЭИ группой В.А. Фабриканта (1907-1991). Этот опыт был полностью аналогичен опыту Юнга по дифракции световых волн, проходящих через две щели. Только теперь вместо света на пластину с двумя щелями падали электроны. Тем не менее, в полном соответствии с теорией волнового распространения, была зарегистрирована четкая интерференционная картина. В том числе и тогда, когда электроны падали на пластину так редко, что никак не могли взаимодействовать друг с другом.

Мы еще не раз вернемся к этому эксперименту. Здесь же заметим лишь то, что волновые свойства частиц были экспериментально обнаружены уже после того, как на основе волновых свойств, предсказанных де Бройлем, была сформулирована нерелятивистская квантовая механика. Кстати, вы обратили внимание, что мы пока ничего не сказали о том, какая физическая величина совершает волновые движения при описании частицы (например, электрона в поле ядра)? Ответить на этот вопрос мы сможем лишь в конце следующей Главы.