Lec, Beskin / beskin. book

Здесь нужно отметить два обстоятельства. Прежде всего, как мы уже отмечали, ”мерой” распределения должен быть именно квадрат амплитуды волны. В противном случае для знакопеременного сигнала можно получить совершенно неверный результат. В частности, для любого сигнала, описываемого нечетной функцией A(−x) = −A(x), вообще невоз-

можно определить величины, которые должны были стоять в знаменателях (219)–(220). Появление же модуля функции A(x) позволяет использовать это соотношение и для комплексных сигналов. При этом, как мы видим, в определениях (219)–(220) вместо A(x)

может быть использована и волновая функция ψ(x).

Что же касается величин kx и px, то для них определние среднеквадратичных

отклонений на первый взгляд должно проводиться по совершенно различным формулам.

Здесь k0 среднее значение kx, определяемое по аналогии с (220). С другой стороны, по

канонам квантовой механики квадрат импульса, благодаря соотношению (85), следует определять как13

Однако, как можно показать, для данной волны A(x) оба этих определения будет приводить к одному и тому же значению px = h¯ kx.

13Мы для порядка поставили звездочку, которая означает, что для комплексных волновых функций

здесь должна стоять величина, комплексно сопряженная к ψ(x).

142

В качестве примера рассмотрим пространственную волну A(x), задаваемую уже зна-

комой нам функцией Гаусса

Коэффициент перед экспонентой выбран таким образом, чтобы знаменатели в соотношениях (219)–(220) были равны единице. Поскольку же ”весом” в интеграле (219) будет квадрат амплитуды волны A(x), т.е. величина e−x2/x20 , не содержащая двойку в знамена-

теле экспоненты, то, как легко проверить,

С другой стороны, замечательное свойство функции Гаусса g(x) = e−x2/2 состоит в том, что она совпадает со своим преобразованием Фурье (221): gˆ(k) = e−k2/2. Поэтому

и, следовательно, x px = 1/2. Читателю самому предоставляется возможность убе-

диться, что формула (223) приводит к тому же результату. Таким образом, можно сделать вывод, что для гауссова профиля реализуется наименьшее из значений, разрешенных соотношением неопределенностей Гейзенберга.

В заключение отметим, что, как можно проверить прямой подстановкой, волновая функция (224)

является решением уравнения Шредингера (79) для E = hω/¯ 2. Таким образом, в слу-

чае гармонического осциллятора для нижнего энергетического уровня реализуется минимальное значение произведения x p.

144

.

.

Рис. 19: Плоская электромагнитная волна, падающая на область с поперечным сечением

δS и длиной l. Томсоновское сечение описывает затухание волны на длине l за счет переизлучения электронов, заполняющих объем (l · δS)

что совпадает с (102).

146

7Упражнения

1.Получите коэффициент 4.965 в формуле (15).

2.Покажите, что наличие постоянной добавки 1/2 в выражении для энергии гармони-

ческого осциллятора (87) не изменяет выражение (14) для спектральной плотности излучения абсолютно черного тела.

3. Найдите произведение среднеквадратичных отклонений x и k для бегущей вол-

ны (46).

4.Оцените, сколько оборотов сделает электрон в магнитном поле B¯h (108), прежде

чем он потеряет значительную часть своей энергии.

5.Покажите, что оператор проекции момента импульса lz = y∂/∂z − z∂/∂y может быть записан просто как ∂/∂ϕ.

6.Воспользовавшись явным видом шаровых функций третьего порядка, приведенных в Приложении ??, постройте матрицу поворотов для углового момента 3¯h, анало-

гичную (165).