Lec, Beskin / beskin. book

111

пример, газ, состоящий из одинаковых молекул. Однако при классическом описании мы всегда, образно выражаясь, можем раскрасить частицы в разные цвета и следить за траекторией каждой отдельной частицы. В квантовой механике этот принцип нарушается. Поэтому при столкновении двух одинаковых частиц 1 и 2 после столкновения нельзя

сказать, какой из двух разлетающихся частиц 1′ и 2′ они соответствовали.

Для дальнейшего нам будет нужно понять, как тождественность частиц проявляет себя на языке волновой функции. Поэтому здесь нам также придется рассмотреть этот вопрос более подробно. В качестве примера вновь рассмотрим одномерную задачу о частице в потенциальной яме с бесконечными стенками, для которой, как было показано, волновая функция одной частицы имеет вид ψn(x) = ψ0 sin(nπx/L) (74). Здесь величина n, напомним, есть номер соответствующего энергетического уровеня, а константа

ψ0 = 2/L выбирается из того условия, что полная вероятность найти частицу в потенци-

альноя яме должна быть равна единице.

Прежде всего, нам необходимо получить ответ на вопрос, как должна выглядеть волновая функция, описывающая ДВЕ частицы, одновременно находящиеся в такой потенциальной яме на уровнях n и m. Здесь мы для простоты предположим, что частицы

не взаимодействуют друг с другом. Кроме того, мы будем до поры до времени считать, что m =6 n. После некоторого раздумья можно понять, что такая волновая функция, описывющая вероятность найти первую частицу в точке x1 а вторую частицу в точке x2

Иными словами, функция распределения двух частиц должна складываться из произведений двух одночастичных функций, т.е. ψ(x1, x2) = ψn(x1) ψm(x2). Очень важным моментом является то, что здесь и далее координата x1 будет относится к первой частице, а координата x2 ко второй, хотя это и есть одна и та же координата x. В результате, вероятность того, что первая частица находится в интервале от x = x1 до x = x2, а вторая

т.е. в виде т.н. двойного интеграла.

Покажем теперь, что наш выбор правилен, и произведение одночастичных функций обладает всеми необходимыми свойствами, которыми должна обладать полная волновая функция. Например, что ее квадрат соответствует вероятности интересующего нас события. Для этого попробуем посчитать, например, вероятность того, что первая частица находится между точками x1 и x2, не интересуюсь при этом положением второй части-

цы. Тогда воспользовавшись тем, что волновая функция распадается на произведение одночастичных функций, а двойной интеграл от такого произведения есть произведение интегралов, получаем, используя соотношение (82)

Соотношение (172), однако, не учитывает основное свойство, которое мы обсуждаем в этом разделе, а именно свойство тождественности частиц. Поскольку мы не можем сказать, какая их частиц является первой, а какая второй, то, помимо волновой функции

ψn(x1) ψm(x2), мы с тем же успехом могли бы воспользоваться функцией ψn(x2) ψm(x1). Теперь, несмотря на то, что на уровне n находится не частица 1, а частица 2, это будет в точности такое же распределение, поскольку частицы 1 и 2 не отличимы друг от друга.

В результате, оказывается, что волновую функцию следует записать в виде

1

ψs(x1, x2) = √ [ψn(x1) ψm(x2) + ψn(x2) ψm(x1)] . (175) 2

Появление множителя 1/√2, как легко проверить, связана с нормировкой волновой функ-

ции полная вероятность всегда должна быть равна нулю.

Остановимся здесь на минуту и еще раз порадуемся красоте математического аппарата, которая, правда, связана все с тем же свойством линейности волн. Амплитуды волн различных состояний (или различные части одного и того же состояния) можно просто складывать. Это никак не скажется на основном свойстве вероятность, связанная

114

знак при перестановке частиц. Они получили названия бозонов в честь Ш. Бозе (18941974), который вместе с А. Эйнштейном впервые описал статистические свойства таких частиц. Другие частицы, волновая функция которых является антисимметричной, называются фермионами в честь Э. Ферми (1901-1954, Нобелевская премия 1938 г.), а их статистика – статистикой Ферми-Дирака.

Появление слова ”статистика”, здесь, безусловно, не случайно. Как мы уже не раз видели, вероятностный язык квантовой механики сразу переводит разговор в область статистической физики. Однако здесь мы сталкиваемся с еще одним фундаментальным свойством квантовых объектов. Оказывается, выбор статистики полностью определяется величиной спина частиц. Так, частицы с целым спином (π и K-мезоны, фотоны, знамени-

тый бозон Хиггса) должны быть бозонами, а частицы с полуцелым спином (электроны, протоны, нейтроны, кварки, нейтрино) фермионами. Этот фундаментальный результат, также не имеющий, к сожалению, простого объяснения ”на пальцах”, был окончатльно сформулирован В. Паули (1900-1958, Нобелевская премия 1945 г.) в 1940 году. Именно поэтому невозможность двум фермионам занимать одно и то же квантовое состояние носит имя запрета Паули.

Чтобы продемонстрировать различие в свойствах классических частиц, фермионов и бозонов рассмотрим в качестве простейшего примера процесс столкновения двух одинаковых частиц (см. Рис. 17). После столкновения они попадают в детектор, который мы для простоты смоделируем как ящик с тремя ячейками. Поскольку суммарный поперечный импульс должен сохраняться, то частицы после взаимодействия либо будут находиться в крайних ячейках, либо обе в центральной. Для простоты будем считать, что в первом случае мы имеем дело с упругим взаимодействием, а во втором с неупругим. Кроме того, положим (хотя в действительности это, конечно же, не так), что вероятности всех возможных событий будут одинаковы.

В итоге, как мы видим, результат взаимодействия существенно зависит от того, с какими частицами мы имеем дело. Для обычных частиц вероятность неупругого столкновения будет равна 1/3, для бозонов 1/2, тогда как для фермионов такой процесс

115

.

.

Рис. 17: Различие в статистических свойствах обычных частиц, бозонов и фермионов

116

оказывается вообще невозможным. Иными словами, между квантовыми частицами действуют дополнительные силы, связанные с возможностью заменить их друг на друга. Поэтому их и называют обменными. При этом для бозонов обменные силы являются силами притяжения (они увеличивают вероятность неупругого взаимодействия), а для фермионов силами отталкивания.

Теперь окончательно становится понятным, как происходит заполнение электронных орбиталей в периодической системе. В каждом следующем химическом элементе заряд ядра увеличивается на единицу, и, значит, на внешние орбитали нужно добавить еще один электрон. Но каждый следующий электрон может занять лишь свободное место, не занятое другими электронами.

117

4Астрофизические приложения

4.1Радиоастрономия простейшие примеры

Перейдем теперь к обсуждению квантовых явлений, которые проявляются в различных астрофизических объектах. Как мы увидим, в настоящее время методами радиоастрономии в спектре многих космических источников обнаружено большое количество спектральных линий различных атомов и молекул, изучение которых по разным причинам невозможно в земных лабораториях. Например, это связано с чрезвычайной разреженностью вещества. Поэтому радиоастрономия дает нам уникальную возможность для анализа элементарных процессов, и, следовательно, для получения дополнительной информации, столь необходимой подчас для полного понимания рассматриваемых явлений.

4.1.1Радиационные переходы при больших n

Рассмотрим прежде всего спектральные линии, возникающие при переходах между высоковозбужденными уровнями атомов с различными главными квантовыми числами n.

Такие атомы образуются в космической среде в основном в результате рекомбинации, т.е. в результате захвата ионом свободного электрона. Как было показано в разделе 2.4.2, при n > 1 ”радиус орбиты” электрона в n2 раз превышает радиус Бора, а частота излучения, соответствующая двум соседним уровням n и n − 1, в n3 раз меньше, чем для оптических линий серии Бальмера. Поэтому при больших n размер атома должен быть гораздо больше, а излучаемая частота гораздо меньше, чем для обычных атомов с n ≈ 1.

Подумаем теперь, чем может быть ограничена величина n. Для этого нам понадобится cоотношение неопределенностей энергия-время. Действительно, как мы уже отмечали в разделе 2.1.3, если время жизни электрона t, находящегося на некотором уровне, не

то дискретные уровни энергии вообще перестанут существовать.

Как оказалось, причиной, препятствующей существованию еще более высоковозбуж-

118

денных атомов, оказалось фоновое галактическое радиоизлучение. Дело в том, что с увеличением n, когда частоты соответствующих переходов смещаются из оптической об-

ласти в сторону радиодиапазона, яркостная температура фона растет с уменьшением частоты. По этой причине с увеличением уровня возбуждения атома n растет плотность квантов, способных ионизировать атом8. Одновременно с ростом n увеличиваются и сечения таких переходов. Следовательно, при больших n время жизни атома на данном

уровне становится столь малым (а ширина уровней столь большой), что из-за перекрытия никаких отдельных уровней энергии уже просто не будет.

В итоге, было показано, что отдельные энергетические уровни могут сущестовать лишь до n 1000. При таких n размер атома, как легко проверить, будет составлять

уже доли миллиметра, так что атом становится вполне макроскопическим объектом. Возможность наблюдения высоковозбужденных атомов с n 100 были теоретически

предсказаны Н.С. Кардашевым в 1959 году и в том же году переход между уровнями 91 и 90 был обнаружен на Радиоастрономической станции ФИАН в Пущино будущей Пущинской радиоастрономической обсерватории ФИАН. Практически одновременно с наблюдениями в ФИАНе поиск радиолиний возбужденного водорода проводили радиоастрономы Главной астрономической обсерватории (ГАО) в Пулково. В мае 1964 года им удалось обнаружить еще более длинноволновую линию, излучаемую водородом при переходах 105 → 104. Частота линии в соответствии с расчетами равнялась 5763 МГц

(5.2 см). В августе 1964 года результаты обеих групп были доложенына XII Генеральной Ассамблее Международного Астрономического Союза в Гамбурге и явились полной неожиданностью для зарубежных радиоастрономов, которые поначалу скептически относились к самой возможности существования таких высоковозбужденных атомов. Однако уже в 1965 году в Национальной радиоастрономической обсерватории в Грин-Бэнк (НРАО) в диапазоне 6 см была зарегистрирована линия водорода при переходах между уровнями 110 и 109, а в Гарвардском университете наблюдались еще две линии 157 → 156

8Это значит, что электрон, поглативший фотон, приобретет достаточную энергию, чтобы потерять

связь с ядром.

119

и 159 → 158 (18 см). Затем к исследованиям радиолиний высоковозбужденных атомов

рекомбинационных радиолиний подключились радиоастрономические группы из других стран. В Таблице 2 показаны самые высоковозбужденные атомы, которые были зарегистрированы к настоящему времени.

Таблица 2: Наблюдаемые высоковозбужденные атомы

Рекомбинационные (или, как их еще называют, ридбергские) радиолинии оказались весьма эффективным средством в проведении астрофизических исследований. Эти линии уникальны как по количеству переходов, так и по ширине диапазона, в котором могут наблюдаться. В шкале электромагнитных волн они занимают около 5 порядков, что позволяет исследовать астрономические объекты, существенно отличающиеся по своим физическим свойствам. Наиболее обильную информацию они дают о межзвездной среде, главным образом об областях ионизованного газа. Наблюдаются также линии He, C

(вплоть до перехода 732 → 731) и других элементов. Частоты их линий мало отличаются

120

от частот водородных переходов. Это объясняется тем, что в высоковозбужденном атоме один из электронов расположен далеко от атомного остатка и воспринимает его как точечный элементарный заряд, равный заряду протона. Спектр такой системы также водородоподобный, т.е. имеет те же ридберговские уровни энергии и переходы, что и атом водорода. Разница состоит лишь в массе атомного остатка.

4.1.2Линия 21 см

Линия 21 см (частота 1420,40575 МГц) обусловлена взаимодействием спинов электрона и протона в атоме водорода. При этом сама энергия излучения может быть легко оценена. Действительно, как уже отмечалось, и электрон, и протон обладают собственными магнитными моментами, причем магнитный момент электрона в точности равен магнетону Бора µe = eh/¯ (2mec), а магнитный момент протона µp = 2.79 eh/¯ (2mpc). Следовательно, энергия взаимодействия магнтного момента электрона с магнитным полем B ≈ µp/a3B, создаваемым протоном, может быть вновь оценена как δE = −µeB. В результате, энер-

гия атома водорода при параллельном расположении спинов электрона и протона будет несколько больше, чем при антипараллельном. Поэтому при изменении ориентации спина электрона на противоположную атом должен излучить фотон с энергией

Конечно, приведенный выше расчет (он дает для длины волны 12 см) не более чем оценка по порядку величины. В частности, формула (178) не учитывает того, что электрон в атоме не имеет определенной орбиты, и поэтому как магнитное поле протона, так и расстояние между частицами требует аккуратного усреднения. Тем не менее, по порядку величины наша оценка оказалась близка к действительности.

В результате, наблюдение линии нейтрального водорода позволило получить уникальную информацию о структуре нашей Галактики. В частности, именно исследования этой линии показали, что более половины массы межзвёздного вещества составляет нейтральный водород. До этого никто не подозревал, что межзвездная среда, помимо разреженной