Lec, Beskin / beskin. book

102

перемещать концы ремня произвольным образом, следя лишь за тем, чтобы они не совершали дополнительного вращения (т.е. оставались параллельными сами себе). Ясно, что соединив концы, мы получим замкнутую петлю, т.е. то самое нормальное состояние,

вкотором ремень обычно и используется. Но такое состояние получается и в том случае, если мы повернем пряжку на 360◦ относительно горизонтальной оси, перпендикуляр-

ной оси ремня! В итоге, как легко проверить, вокруг какой бы оси мы не повернули бы пряжку на 360◦, после соответствующего движения мы всегда сможем привести ремень

внормальное состояние, т.е. в состояние петли. Попытка же растянуть ремень в ленту всегда приведет к тому, что ремень окажется перекрученным на 360◦.

Казалось бы, что поворот пряжки на 720◦ приведет к еще большей скрученности.

Однако, при ближайшем рассмотрении можно убедиться, что это не так! Действительно, давайте повернем пряжку на 720◦ вокруг оси ремня, а затем постараемся соединить его

концы. В этом случае ремень примет форму двойной петли, которую удобно не замыкать, а оставить в виде двойной спирали. Так вот, если теперь продеть пряжку между двумя витками спирали и вновь вытянуть ремень в ленту, то мы с удивлением обнаружим, что ремень полностью распрямился. Иными словами, трехмерность пространства позволяет полностью развязать двойную петлю, а одиночную нет.

Пример Фейнмана еще более прост. Возьмите стакан и поставьте его на вытянутую ладонь правой руки. Затем поверните его на 360◦ против часовой стрелки, но только

так, чтобы вода (если она была бы в стакане) не выливалась из него. Как вы видете, для этого рука должна сильно перекрутиться. Однако если продолжить вращение (для чего приходится занести руку над головой), то после второго оборота система ”приходит

висходное положение”. Таким образом, полный цикл вновь содержит два поворота на

360◦.

Так в чем же дело? Почему казалось бы тождественное преобразование, а именно поворот на 360◦, в трехмерном пространстве не обладает всеми свойствами тождествен-

ности? Как оказалось, это есть отражение очень глубокого топологического свойства трехмерного пространства, которое состоит в том, что пространство поворотов на 360◦

103

.

.

Рис. 14: Примеры односвязанных и двусвязанных поверхностей. На поверности шара любой контур может быть стянут в точку, а на поверхности тора нет.

104

не является односвязанным. Поясним это свойство на простом примере двумерных поверхностей. Двухмерная поверхность называется односвязанной, если любой замкнутый контур, нарисованный на этой поверхности, может быть стянут в точку. Поэтому, как показано на Рис. 14, сфера есть односвязанная поверхность, а поверхность тора (бублика) или чашки с ручкой нет, поскольку существуют контуры, которые в точку стянуты быть не могут. Свойство односвязанности, естественно, может быть перенесено и пространства большей размерности. Так, шар есть односвязанная область, а тор опять нет.

Теперь мы должны показать, что пространство поворотов на 360◦ не является од-

носвязанным. При этом для наглядности обычно поступают следующим образом. Как уже говорилось, вращение в трехмерном пространстве описывается тремя параметрами, т.е. таким же количеством параметров, которое необходимо для определения положения точки в трехмерном пространстве. Поэтому удобно изображать повороты тоже точками в трехмерном пространстве. При этом каждому повороту вокруг некоторой оси на угол

Θ мы будем сопостовлять точку, лежащую в направлении оси вращения на расстоянии Θ от начала координат. Поскольку же поворот на 180◦ вокруг некоторой оси тождественен повороту на те же 180◦, но вокруг противоположно направленной оси, то естественно ограничить область параметров шаром радиуса π. При этом следует отождествить по-

парно все противоположные точки на его поверхности. Это и есть ключевой момент, который делает пространство поворотов на 360◦ неодносвязанным.

Посмотрим теперь, как будут выглядеть в пространстве поворотов различные вращения пряжки ремня. Прежде всего, очевидно, что ремню, имеющему форму плоской ленты, будет соответствовать точка в центре шара, поскольку все точки ремня имеют одну и ту же ориентацию. Если середина ремня будет несколько перекручена, то этому случаю будет соответствовать замкнутый контур, начинающийся и заканчивающийся в центре шара (см. Рис. 15а). Это и есть эквиалент контура, который может быть стянут в точку. Если же мы теперь повернем пряжку на 180◦ вокруг оси ремня, то такому по-

вороту, как показано на Рис. 15б, будет соответствовать линия, выходящая из начала

105

.

.

Рис. 15: Проcтранство поворотов на произвольный угол. Показан случай одинаковой ориентации концов ремня (а), а также повороты пряжки ремня вокруг горизонтальной оси на 180◦ (б) и 360◦ (в)

106

координат и заканчивающаяся на границе шара. В этот момент мы должны перескочить на диаметрально противоположную точку, и при дальнейшем повороте на следующие

180◦ кривая должна полностью замкнуться (см. Рис. 15в). Соответственно, при вращении пряжки на 360◦ вокруг любой другой оси контур в пространстве поворотов будет

устроен точно таким же образом, но только он будет расположен вдоль соответствующей оси врашения.

Теперь становится понятным, почему вращения пряжки на 360◦ никак не могут быть

сведены к тождественному преобразованию, Т.е. почему соответствующий контур в пространстве поворотов не может быть непрерывно деформирован в точку. Дело в том, что для всех подобных вращений контуры обязательно проходят через диаметрально противоположные точки шара в пространстве поворотов, приблизить которые друг к другу невозможно. Невозможно принципиально, поскольку эти точки по построению всегда находятся на противоположных сторонах шара. С другой стороны, любой контур, соответствующий вращению пряжки вокруг одной из осей, без труда может быть деформирован в другой контур, соответствующий вращению вокруг любой другой оси. Это свойство мы и наблюдали экспериментально.

Перейдем теперь к ключевому моменту нашего рассмотрения и постараемся понять, почему вращения на 720◦ являются односвязанными, и поэтому могут быть сведены к

тождественному преобразованию. Ответ на этот вопрос может легко быть получен, глядя на Рис. 16. Действительно, любой поворот на 720◦ будет соответствовать кривой, которая дважды, в точках A = A′ и B = B′, пересекает поверхность шара вращений. А в этом

случае появляется возможность провести такую непрерывную деформацию котура, при которой точки A и B′ приблизятся друг к другу. В результате, образно говоря, произойдет

аннигиляция двух особых точек, в результате чего контур уже без труда может быть стянут в точку начала координат. Именно такая манипуляция и была проведена нами с ремнем.

Таким образом, нам действительно удалось на простых примерах показать новое удивительное свойство нашего мира. Свойство, о котором большинство людей, несмотря на

107

.

.

Рис. 16: Непрерывная деформация контура, соответствующего повороту на 720◦

108

наш многолетний повседневный опыт, и не подозревали. Оказалось, что вращения в трехмерном пространстве обладают как бы дополнительной степенью свободы: внутри сферы радиуса π в пространстве вращений одновременно существуют два шара, и мы можем

перейти из одного в другой лишь на их поверхности. Пространство поворотов, подобно Сезаму, открывается, и мы видим, что у него на самом деле есть не только внешняя, но и внутренняя поверхность. Древнекитайские символы Инь и Ян удивительно точно передают такое переплетение. В результате, отсюда и возникает двузначность при описании тех свойств объектов, которые связаны с вращениями в трехмерном пространстве и, как следствие, необходимость двойного поворота на 360◦ для тождественного преобразования для объектов, обладающих спином h/¯ 2.

3.1.6Спин фотона

Заглянув в любой справочник, можно найти, что спин фотона равен h¯. Такая величина,

кстати, легко может быть получена в квазиклассическом приближении. Действительно, рассмотрим электрон, находящийся в атоме на одном из высоких энергетических уровней n 1. Как мы видели, в этом случае можно считать, что частота его вращения совпадает с частотой излученного фотона, а энергия излученного фотона ε = hω¯ много меньше энергии самого электрона E. В этом приближении, как легко проверить6, изменение энергии электрона E будет связана с изменением его момента импульса l соотношением

E = ω l. Поскольку полная энергия и полный момент импульса при излучении фотона

должен сохраняться, мы немедленно приходим к заключению, что собственный момент импульса фотона должен быть равен h¯.

Здесь, однако, необходимо сделать одно важное замечание. Дело в том, что, как мы видели, ключевым моментом в определении спина частиц были их свойства при повороте координатных осей. При этом неявно предполагалось, что поворот осей осуществляетсяв системе покоя частицы. Понятно, что для фотона такой подход невозможен, посколь-

6При движении по окружности радиуса r энегрия частицы массы m есть mω2r2/2, а момент импульса

есть mωr2. Поэтому изменение энергии есть mr2ωδω, а изменение момента импульса mr2δω

109

ку не существует системы отсчета, в которой фотон находился бы в покое. К счастью, оказалось, что для фотона все же можно определить величину, соответствующую спину обычных частиц. Этой величиной оказалась проекция спина на направление движения фотона т.н. спиральность.

Удобство введения понятия спиральности состоит, например, в следующем. Спиральность, как и спин, описывают момент импульса, полная величина которого должна сохраняться. Поэтому если спиральность фотона равна h¯, то разность моментов импульса начального и конечного состояний излучающего фотон атома не может превышать h¯. А

это сразу накладывает существенные ограничения (их называют правилами отбора) на возможные переходы электронов с одного энергетического уровня на другой: возможными оказываются лишь переходы между состояниями атомов, вектор полного момента импульса которого отличается на ±h¯. С другой стороны, в отличие от нерелятивистских частиц с собственным моментом импульса h¯, спиральность фотона (т.е. проекция его спина на направление движения) может принимать лишь два значения, а именно −h¯ и h¯.

3.1.7Так что же такое спин?

Теперь мы, наконец, можем постараться ответить на вопрос, что же такое есть спин. Как мы поняли, спин частицы есть ее внутренняя характеристика, которая, однако, проявляет себя при поворотах координат подобно обычному угловому моменту. Иными словами, мы вновь сталкиваемся с двуединостью микромира. С одной стороны, спин совершенно не связан с каким-то собственным вращением частицы его вращение, как говорят, виртуально. С другой же, он проявляет себя как реальный волчок, обладающий вполне материальным моментом импульса. Поэтому, в частности, полный угловой момент электрона в атоме может быть представлен как векторная сумма его орбитального момента l и вектора спина s.

Введение понятия спина стало первым (и очень удачным) применением совершенно новой физической идеи, впоследствии ставшей одной из основных идей, лежащих в ос-

110

новании всех современных теорий фундаментальных взаимодействий. Стало ясно, что при исследованиисвойств частиц можно ввести пространство состояний, никак не связанных с их перемещением в обычном пространстве. Обобщение этой идеи в ядерной физике привело к понятию изотопического спина, который действует в особом изоспиновом пространстве; протон и нейтрон при этом будут одной и той же частицей, только с разым значением изоспинового числа. В дальнейшем, при описании сильных взаимодействий были введены внутреннее цветовое пространство и квантовое число ”цвет” более сложный аналог спина.

Существование спина вносит значительное разнообразие в наблюдаемые свойства атомов и молекул. Если бы у электронов не было бы этой дополнительной свободы, связанной со спином, то были бы невозможны многие переходы (а, значит, и излучаемые линии), которые повсеместно используются в астрономии. Мы, конечно же, обсудим некоторые из них в следующей Главе. Кроме того, поскольку энергия электрона в атоме может зависит от ориентации спина, например, благодаря взаимодействию электрона с внешними и внутренними электромагнитными полями, существование спина, как говорят, снимает вырождение уровней. Иными словами, при учете спина вместо одного уровня энергии, который могли занимать два электрона (их состояния отличались бы ориентацией спина) получается два близко расположенных уровня энергии. Как мы помним, наблюдение таких дублетов сыграло большую роль в понимании спиновых свойств.

3.2Квантовая статистика

3.2.1Тождественность частиц

Еще одним замечательным свойством, характерным только для квантовой механики, является принцип тождественности частиц. Это вновь есть прежде всего экспериментальный факт. Действительно, все электроны обладают в точности одной и той же массой me

и одним и тем же электрическим зарядом −e. Это свойство относится и ко всем осталь-

ным элементарным частицам. Однако, такое свойство есть только вершина айсберга. В классической механике тоже можно рассмотреть динамику одинаковых шаров, или, на-