ЗФТШ_2013-2014_полное / ЗФТШ_2013-2014_полное / МАТЕМАТИКА / m9_2_квадратный_трёхчлен_иррациональные

Пример 17. Решите уравнение: 3x2 3x2

8x 1 8x 19.

Решение. Перенесѐм всѐ в левую часть:

3x2 8x 19

3x2 8x 1 0. Введѐм обозначение:

3x2 8x 1 t.

(16)

Тогда

3x2 8x t2 1.

(17)

t1 4

и t2 5 . Подставляем найденные значения t в (16) и получаем:

3x2

8x 1 5

. Первое из этих уравнений не имеет решений, а вто-

3x

2

8x 1 4

рое эквивалентно каждому из следующих:

3x2 8x 1 16; 3x2 8x 15 0,

x

4 61

.

3

Ответ: x

4 61

.

3

x2 14x 6 0.

2(2).

Определите знаки коэффициентов

a,b

и

c

квадратного

трѐхчлена

y ax2

bx c,

если его график изображѐн на

3(3). Не используя калькулятор, решите

уравнения, (необходимые вычисления долж-

ны быть приведены в решении):

Рис. 4

2013, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич

а) 2014x2

2013x 1 0;

б) x2

x

0;

13

6

78

общий

множитель

за

скобки.

например,

для уравнения

121x2 33x 28 0 получаем:

D 332

121 28 4 112 32 28 4 112

121;

x

33 112

3 11

, откуда x

7

или x

4

.

2 121

2 11

11

11

4 (2). Докажите формулы «сложного радикала»:

a a2

b

a a2

b

a

b

;

2

2

a a2

b

a a2

b

a

b

.

2

2

б) x2 3x 8 1;

в)

x2 4x 6 10 113;

г)

3x2 11x 6 852 0.

7(3). Найдите наименьшее значение выражения:

а)

x2 8x 16;

б) 5x2 3x 1;

в) x3 3x 6 2.

8(2). Найдите наибольшее значение выражения:

а)

x 9 x ;

б)

158

.

x2 2x 80

9(3). Разложите на множители:

а) 14x2 17x 6;

б) x6 7x3 8;

в) 6x2 xy 2y2 .

а)

14x2 6

17x

и 14x2

6 17x;

7x 2

7x 2

б)

14x2 6

17x

и 14x2

6 17x;

2x 7

2x

7

а) x 3 и x

1

3

1

;

б) x 3

и x

1

3

1

;

x

x

x

x

г) x 5 4x и x

x2 1

5 4x

x2 1 ;

д) x 5 4x и x x2 4 5 4x x2 4 ;

е)

x 5

0 и

x 5 x 6 0;

x 6

ж)

x 5

0 и x 5 x 6 0;

x 6

з) x 2 7 2x и x 2 2 7 2x 2 .

12(2). Выберите верное утверждение

а) x 1 y 2

x 1 0

и x

x 1 0

0

2 0

1 y 2 0

y

y 2 0.

б) x 1 y 2

x 1 0

и

x 1 y 2

0

x 1 0

0

y 2 0

y 2 0.

Задачи

1(3). Числа x

и

x

являются корнями уравнения

2x2 3x 6 0 .

1

2

Найдите:

x

3

3

а)

x2

x2 ; б)

1

x2

.

1

2

x2

x1

x y 3xy 7,

2x2

3xy y2

12,

x2 y 12,

а)

x2 y2 4xy 3;

б)

в)

3x2

4xy y2

48;

x y2 12.

3(6). Решите иррациональные уравнения:

а)

2x 13 15 x 8;

x2 5x 6

0;

б)

x2 15x 50

в).

x2 2x 1 x2 2x 11 4.

4 (3). Найдите все значения параметра

a , при которых уравнение

ное значение функции

f x 4x2

4ax a2 2a 2

на отрезке

x 0; 2 равно 3.

6*(3). Квадратное уравнение

x2 px q 0 имеет два различных

корня x1 и x2 . Найдите

p и q,

если числа x1 1 и x2

1 являются

корнями уравнения x2 p2 x pq 0 .

7*(3). Уравнение ax2 bx c 0

не имеет корней,

a b c 0 .