Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m9_2_квадратный_трёхчлен_иррациональные

.pdf

Скачиваний:

490

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

849.44 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа

Московского физико-технического института (государственного университета)»

МАТЕМАТИКА

Квадратный трѐхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений

Задание №2 для 9-х классов

(2013 – 2014 учебный год)

г. Долгопрудный, 2013

2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Математика.

Квадратный трѐхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений

Составитель: С.Е. Городецкий, ассистент кафедры высшей математики МФТИ.

Математика: задание №2 для 9-х классов (2013 – 2014 учебный год),

2013, 24 с.

Дата отправления заданий по физике и математике – 29 октября 2013г.

Составитель:

Городецкий Сергей Евгеньевич

Подписано 25.06.13. Формат 60х90 1/16. Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,5.

Уч.-изд. л. 1,33. Тираж 1100. Заказ №7-з.

Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института (государственного университета)

ООО «Печатный салон ШАНС»

Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Московская обл., 141700. ЗФТШ, тел./факс (495) 408-51-45 – заочное отделение,

тел./факс (498) 744-6 3-51 – очно-заочное отделение,

тел. (499) 755-55-80 – очное отделение.

e-mail: zftsh@mail.mipt.ru

Наш сайт: www.school.mipt.ru

2013, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич

2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Математика.

Квадратный трѐхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений

§1. Введение

Вспомним некоторые понятия и определения, изученные вами в восьмом классе.

Число a называется решением (или корнем) уравнения, если при его подстановке в уравнение вместо неизвестной уравнение превращается в верное равенство. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Точно так же определяется понятие решения неравенства, а именно: число a называется решением неравенства, если при подстановке числа a вместо переменной в неравенство получается верное неравенство. Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Совокупность всех решений уравнения (неравенства) называют

множеством решений уравнения (неравенства). Если уравнение (не-

равенство) не имеет решений, то говорят, что его множество решений пусто (обозначается значком ).

Уравнения (неравенства) называются равносильными, если множества их решений совпадают. Заметим также, что уравнение и неравенство могут быть равносильны друг другу. (Обозначение: уравнение (1)уравнение (2)).

Пример 1. Среди следующих пар уравнений и неравенств выберите равносильные:

24 x и x 12 24 x 2;

а)

2 и x4 x2 12 0; б)

x 12

в) x2 x и x 1;

г) x 0 и

д) x2 0 и x2 3x 3 0.

Решение. а) По определению модуля

2 x 2,

x 2.

Решим уравнение x4 x2

12 0 . Сделаем замену x2 t . Тогда полу-

чаем t2 t 12 0 , откуда

t 4,

t 3.

2013, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич

2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Математика.

Квадратный трѐхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений

	x2			4,	x 2,
Поэтому	x4 x2 12 0	x	2	3	x2 4	x 2.
		x		3		x 2.

Значит, уравнения равносильны.

б) x 12 24 x 2 x 12 x2 48x 576 x2 49x 588 0 x 21,

x 28.

Заметим, что x 28 не является решением первого уравнения (при подстановке x 28 получаем неверное равенство 4 4 ), поэтому уравнения не равносильны.

в) Число x 1 является решением второго неравенства, но не является решением первого. Значит, их множества решений не совпадают, и неравенства равносильными не являются.

г) По определению модуля, уравнению x x удовлетворяет любое

x 0. Отрицательных решений это уравнение не имеет, т. к. при x 0 левая часть положительна, а правая отрицательна. Получаем, что данные уравнение и неравенство равносильны.

д) И уравнение, и неравенство не имеют решений, поэтому они равносильны.

При решении уравнений можно действовать двумя способами.

1)Все выполняемые преобразования равносильны. Тогда мы сразу получаем ответ.

2)Если мы делаем какие-то неравносильные преобразования, то ни одно из них не должно приводить к потере корней. (Действительно,

если корень потерялся, то его никак не вернѐшь). Значит, нам можно делать только такие неравносильные преобразования, в результате которых мы можем приобрести лишние корни. В таком случае в конце решения необходимо сделать отбор корней: подставляя все найденные значения переменной в исходное уравнение, отбираем те из них, которые являются его корнями. Естественно, этот способ не проходит, если уравнение имеет бесконечно много решений (так как при отборе корней нельзя подставить бесконечное количество значений в уравнение).

Втаком случае приходится делать только равносильные преобразования.

2013, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич

2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Математика.

Квадратный трѐхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений

Некоторые преобразования всегда приводят нас к равносильным уравнениям, например, перенесение слагаемых из одной части уравнения в другую, умножение обеих частей уравнения на отличное от нуля число и др. Применяя другие преобразования, мы иногда получаем равносильные уравнения, а иногда нет. (См. контрольные вопросы

№10 – 11).

Когда мы решаем неравенства, почти всегда отбор корней сделать

невозможно (так как неравенства обычно имеют бесконечно много решений), поэтому необходимо делать только равносильные преобразования.

Рассмотрим два уравнения

	f1 x g1	x	(1)
и	f2 x g2	x	(2)

Говорят, что уравнение (2) является следствием уравнения (1) (пишут

(1) (2)), если каждый из корней уравнения (1) является также и корнем уравнения (2). Иначе говоря, множество решений уравнения (1) содержится в множестве решений уравнения (2).

Несложно видеть, что если из (1) следует (2), а из (2) следует (1), то уравнения (1) и (2) равносильны.

Например, x 2 x 2 x 3 0;

x2 1 0 x 5 (если уравне-

ние не имеет корней, то из него следует любое уравнение).

§2. Квадратный трѐхчлен

1. Квадратные уравнения. Теорема Виета Квадратным называют уравнение

ax2 bx c 0,

(3)

где a 0.

Если разделить обе части уравнения (3) на a (это можно сделать,

так как a 0 ) и обозначить коэффициенты p b / a	и q c / a, то по-
лучим уравнение
x2 px q 0,	(4)
называемое приведѐнным квадратным уравнением.

2013, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич

2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Математика.

Квадратный трѐхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений

Левую часть в (3) и (4) называют квадратным трѐхчленом. Корни уравнения называют также корнями трѐхчлена.

Все вы, конечно же, знаете формулу корней квадратного уравнения. Ввиду особой важности метода выделения полного квадрата, напомним способ еѐ получения.

c a x

a x

b 2

b2 4ac

a x

(5)

Выражение b2 4ac называется дискриминантом и обозначается буквой D . С учѐтом этого обозначения уравнение (3) можно переписать в виде:

	b 2	D
x				.	(6)
		4a	2
	2a

Теперь вы видите, откуда получается выражение для дискриминанта и почему его знак определяет количество корней квадратного уравнения.

Из (6) при D 0

получаем x

; x

Эти формулы можно объединить одной записью

x b

D .

(7)

1,2

Обратим внимание, что при D 0

выходит, что x1 x2 . В этом слу-

чае говорят, что квадратное уравнение имеет один корень кратности 2. Если в уравнении (3) коэффициент b имеет вид b 2k (например,

если b чѐтное число), то удобнее использовать формулы, получаемые из (7) сокращением на 2 числителя и знаменателя:


x1,2 b		b2 4ac	2k		4k 2 4ac	k	k 2 ac	( 7 )
	2a			2a			a

Например, корни уравнения 81x2 42x 5 0 проще найти по фор-

2013, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич

2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Математика.

Квадратный трѐхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений

мулам (7'), чем (7). Здесь b 42 2 21 , поэтому


					21			9 72 9 5
	21	212 81 5									21 3		7 2
x	21	212 81 5									21 3	4	7 2	,
x														,
1,2		81					81				81		27
		81					81				81		27
				x		5	, x		1	.
				x			, x			.
			1			27	2		3
						27			3

Отметим также теорему о разложении квадратного трѐхчлена на

множители. Если x и	x корни квадратного трѐхчлена ax2 bx c ,
1	2
то ax2 bx c a x x	x x	; в частности, при	D 0 есть один ко-
1	2

рень x кратности 2, тогда	ax2 bx c a x x	2 . При	D 0 квадрат-
0	0
ный трѐхчлен ax2 bx c	не имеет корней, и его нельзя разложить на
множители.

Из формулы для корней квадратного уравнения сразу же вытекает теорема Виета: Если квадратное уравнение ax2 bx c 0 имеет кор-

ни, то их сумма равна

, а их произведение равно

(для приведѐн-

ного уравнения получим ( p) и q соответственно).

Имеет место и теорема, обратная теореме Виета:

если числа x1 и x2 удовлетворяет условиям x1 x2

x1 x2 q , то

эти числа являются корнями уравнения x2 px q 0.

Пример 2. Решите уравнение:

а) x2

0; б) 2008x2

2009x 1 0;

x2 5 2

5 0;

в)

Решение: а) По теореме, обратной

теореме Виета,

x1 3 и

17 корни данного уравнения.

Ответ: 3; 17.

2013, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич

2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Математика.

Квадратный трѐхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений

	б) Заметим, что x1 1 является корнем данного уравнения. Значит,
уравнение имеет						корни, и,				по теореме Виета, их		произведение
x x		1	2008	, откуда x					1	2008	.
1	2		2008				2			2008
1	2						2
	Ответ: 1;			1	2008		.
					2008

	в) Заметим, что					x 1 является корнем1. Из условия						x x		3 5


						1						1	2	3
														3
получаем, что x					1		5	.
получаем, что x					1			.
				2			3
							3
	Ответ: 1; 1				5	.
						.
					3
					3

Пример 3. Найдите наибольшее значение выражения 4 7x 3x2. Решение. Будем осуществлять методом выделения полного квадрата.

							2				2			7								2			7		49	49
4 7x 3x								3 x								x	4		3 x				2			x					4
4 7x 3x								3 x						3		x	4		3 x				2		6	x	36	36			4
														3											6		36	36
						7 2				49										7	2		49						7	2		97
3					x							4 3 x												4		3 x							.
3					x					36		4 3 x								6			12	4		3 x			6			12	.
						6				36										6			12						6			12

			7	2
3 x				0		при всех						x , поэтому максимальное значение выражения
3 x				0		при всех						x , поэтому максимальное значение выражения
			6
													7		2
достигается, если									3 x							0 .			Значит, это максимальное значение
достигается, если									3 x							0 .			Значит, это максимальное значение
													6
равно		97			(достигается при x												7	).
равно	12				(достигается при x												6	).
	12																6

Ответ: 1297 .

______________________________________________________

1Если сумма всех коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, то

x1 является его корнем.

2013, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич

2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Математика.

Квадратный трѐхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений

	Пример			4.	Пусть						x1	и		x2 корни					квадратного						уравнения
ax2 bx c 0 . Выразите x 2												x	2	через коэффициенты уравнения.
											1	2
	Решение.			По теореме Виета										x x				b	,	x x			c	. Преобразуем
														1		2		a		1	2		a
																		a					a
x 2	x 2 , выделяя полный квадрат:
1	2
		x2		x2	x2			x2			2x x 2x x x x											2 2x x .
		1		2			1		2			1	2			1	2		1	2		1			2
				2		2				b 2			c		b2	2ac
	Отсюда:			x1 x2								2						.
	Отсюда:			x1 x2								2	a			a	2	.
										a			a			a
	Ответ:		b2 2ac			.
	Ответ:			a2		.
				a2

2. График квадратичной функции

График квадратичной функции y ax2 bx c парабола. Абсцисса вершины этой параболы задаѐтся форму-

лой xB 2ba . Если a 0 , то ветви параболы

направлены вверх, если a 0 вниз.

Если дискриминант квадратного трѐхчлена положителен, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках (абсциссы этих точек – корни квадратного уравнения ax2 bx c 0 );

если дискриминант меньше нуля – то не имеет с осью абсцисс ни одной общей точки; если равен нулю – парабола имеет с осью абсцисс ровно одну общую точку (в этом случае говорят, что парабола касается оси абсцисс). В последнем случае квадратный трѐхчлен представляет собой полный квадрат.

Пример 5. Постройте график функции y 2x2 8x 5.

0.		x






	2

-5.

Рис. 1

Решение. Выделим полный квадрат:

2013, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич

2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Математика.

Квадратный трѐхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений

y 2x2 8x 5 2 x2 4x 5

2 x2 4x 4 4 5 2 x 2 2

8 5 2 x 2 2 3.

График функции y 2 x 2 2 3 парабола, полученная из пара-

болы y 2x2 с помощью симметрии относительно оси абсцисс, затем

параллельного переноса на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс и, наконец, параллельного переноса на 3 единицы вверх вдоль оси ординат (см. рис. 1).

3. Квадратные неравенства Квадратными неравенствами называются неравенства

ax2 bx c 0, ax2 bx c 0,

ax2 bx c 0, ax2 bx c 0, где a 0.

Геометрический смысл: указать абсциссы всех точек графика квадратного трѐхчлена y ax2 bx c , ординаты которых положительны

(неотрицательны, отрицательны, неположительны).

Простейшие квадратные неравенства можно решать, используя свойства модуля, например:

x2 9 0 x2 9 x 3 3 x 3.

Пример 6. Решите неравенство: а) x2 x 2 0; б) 4x2 4x 1 0;

в) 3x2 2x 1 0.

Решение. а) График квадратного трѐхчлена y x2 x 2 парабо-

ла, еѐ ветви направлены вверх (коэффициент при	x2 положителен),
абсциссы точек пересечения с осью Ox : x1 1,	x2 2 (корни квад-

ратного уравнения x2 x 2 0 ). Все точки оси абсцисс, для которых парабола находится выше этой оси (т. е. решения данного неравенства), расположены вне промежутка между корнями x1 и x2 . Значит, множество решений данного неравенства – объединение открытых лучей:

; 1 2; .

2013, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке МАТЕМАТИКА

#
03.06.2015876.28 Кб650m8_2_геометрия.pdf
#
03.06.2015602.62 Кб489m8_3_системы_уравнений.pdf
#
03.06.2015324.85 Кб479m8_4_квадратные_корни.pdf
#
03.06.2015321.37 Кб477m8_5_квадратные_уравнения.pdf
#
03.06.2015878.25 Кб579m9_1_планиметрия_I.pdf
#
03.06.2015849.44 Кб490m9_2_квадратный_трёхчлен_иррациональные.pdf
#
03.06.2015454.98 Кб496m9_3_многочлены_модули_уравнения_неравенства.pdf
#
03.06.2015759.83 Кб497m9_4_планиметрия_II.pdf
#
03.06.2015429.37 Кб498m9_5_теория_множеств_логика.pdf
#
03.06.2015342.4 Кб587m9_6_элементы_комбинаторики_вероятность.pdf