Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m10_2_планиметрия

.pdf

Скачиваний:

509

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

1.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

2013-2014 уч. год, №2, 10 кл. Математика. Планиметрия

SAOB SAOD SCOD SAOD ,

откуда

следует

SAOB SCOD ). Так как

ah и

bh, то

S0 S1

ABC

ACD

S0 S2

Далее, треугольники

BOC и DOA подобны, площади подобных тре-

угольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит,

a 2

. Таким образом,

. Отсюда находим S0 S1S2 ,

S0 S2

и поэтому площадь трапеции будет равна

S S

(

S S

. ▲

Задача 18. Основания равнобокой трапеции равны 4 и 6, боковая сторона равна 5 (рис. 33).

Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Трапеция равнобокая, по свойству 11° около этой трапеции мож-

но описать окружность. Пусть			BK AD,		по свой-
ству 6°
AK	AD BC	1, KD	AD BC	5.

2			2
Из прямоугольного		треугольника ABK			находим

		и sin A	BK	2		6

BK	AB2 AK 2 2 6						. Окруж-
			AB		5

ность, описанная около трапеции ABCD , описана и около треугольника ABD , значит (формула (1), § 1),

Рис. 33

R	BD
		.	BD		находим из прямоугольного треугольника KDB :
	2sin A

BD BK 2			KD2		7 (или по формуле d 2 c2 ab ), тогда
			R		7		35	. ▲
				2sin A

						4 6

Задача 19. Около окружности описана равнобокая трапеция с основаниями AD a и BC b (рис. 34). Найти: 1) радиус окружности r; 2) косинус угла при большем основании.

Трапеция описана около окружности, следовательно (свойство 13°),

AB CD BC AD.	Рис. 34

2013, ЗФТШ МФТИ, Пиголкина Татьяна Сергеевна

2sin

2013-2014 уч. год, №2, 10 кл. Математика. Планиметрия

Трапеция равнобокая, AB CD

a b

Пусть BK AD, по свойству 6°

a b

. Из прямоугольного

треугольника ABK следует

a b 2

BK 2r

ab,

	r	1		. Кроме того	cos A	a b	. ▲
откуда			ab
						a b
	2

Решение задач 15 – 18 дают следующие свойства трапеций:

15°. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.

16°. Если S1 и S2 площади треугольников, прилежащих к основаниям, то площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам

равны S1S2 , а площадь всей трапеции равна S1 S2 2 .

17°. Радиус окружности, описанной около трапеции, находится по формуле R , где a какая-то сторона (или диагональ трапе-

ции), смотрящий на неѐ вписанный угол.

18°. В равнобокой описанной около окружности трапеции с основаниями a и b a b косинус угла при большем основании равен

a b . a b

19°. В равнобокой описанной около	окружности трапеции с основа-
		1
ниями a и b радиус окружности равен		1	ab , высота равна ab .
ниями a и b радиус окружности равен	2		ab , высота равна ab .
	2

Домашнее задание

Прежде чем приступать к его выполнению, ознакомтесь с нашими пожеланиями и требованиями.

2013, ЗФТШ МФТИ, Пиголкина Татьяна Сергеевна

2013-2014 уч. год, №2, 10 кл. Математика. Планиметрия

1.За краткий ответ «да», «нет», «не может быть» без пояснений (доказательство, опровергающий пример) ставится 0 очков. Примеры ответов приведены далее.

2.Если в решении длина какого-либо отрезка выразилась иррацио-

нальным числом (например, a 5 ), то ни в дальнейших вычислениях, ни в ответе не следует заменять это точное значение на приближѐнное.

3. Если в решении использовалась тригонометрия и получилось,

например, sin 2 32 , то не следует определять величину угла по

таблице или на калькуляторе приближѐнно и затем тем же способом находить значение cos , sin 2 , sin 45o и т. п. Все значения других тригонометрических функций определяются только по формулам.

		1	, если угол тупой и	sin	2		2
Например, cos	1 sin2							,
		3				3

аsin 45o sin cos 45o cos sin 45o 22 sin cos .

4.Если в Задании контрольный вопрос сопровождается поясняющим рисунком, при ответе перенесите рисунок с теми же обозначениями в свою тетрадь, – это облегчит Вашему педагогу проверку работы.

5.Рисунок к задаче должен быть достаточно большим и ясным, чтобы на нѐм уместились все введѐнные Вами обозначения углов, отрезков и данные задачи (посмотрите на рис. 6, 8 или рис. 27 Задания: как хороший рисунок и обозначения помогают увидеть простое решение).

6.Стремитесь к тому, чтобы Ваше решение было кратким, но обоснованным, и было ясным и понятным для проверяющего (работа проверяется без Вас, Вы не можете комментировать, что же имелось в виду или почему такое равенство имеет место). Для этого полезно решение разбивать на шаги: 1)…, 2)…, 3)… и то, что вычислено или выражено и

важно для дальнейшего, выделить, например, так S0 S1S2 или

SADK 24 .

Кроме того, вычисления разумно (а математика – это здравый смысл) проводить в кратких обозначениях, например

h	m b	CK		MN ME
1		, а не

h2	a m		NP	AD MF

2013, ЗФТШ МФТИ, Пиголкина Татьяна Сергеевна

2013-2014 уч. год, №2, 10 кл. Математика. Планиметрия

или c12 a b 2 c22 2 a b c2 cos ,

(а не CK 2 AD BC 2 2 AD BC CD cos ADC ).

Примеры ответов на контрольные вопросы

Вопрос. Можно ли внутри прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 поместить круг площадью 25/8?

Ответ: Да, можно. Доказажем это.

В прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой с радиус r вписанной окружности выражается

формулой r			a b c		(рисунок 35 напоми-
формулой r					(рисунок 35 напоми-
		2
нает доказательство).


При a 3, b 4				находим c 5, r 1.


Площадь вписанного круга равна r2 ;
	25	25,04				Рис. 35
так как	25	25,04		3,13 3,14 , то ради-
так как				3,13 3,14 , то ради-
8		8

ус r0 круга площадью 25/8 меньше 1. Он помещается внутри вписанно-

го круга (если совместить их центры) и, следовательно, внутри треугольника.

Вопрос. Какое наибольшее число острых углов может иметь выпук-

лый n угольник при n 3?
Ответ: Три. Докажем это.		n 1
Из вершины (например A1 )	выходит	n 1	отрезков, два из них
A1 A2 и A1 An стороны, остальные n 3
диагонали (рис. 36). Выпуклый n угольник
разбивается диагоналями на	n 2	тре-
угольника.
Сумма углов каждого треугольника равна
180 , значит сумма всех углов выпуклого
n угольника равна 180 n 2 .
Сумма углов внутренних и внешних (по			Рис. 36
одному при каждой вершине)	очевидно равна 180 n , тогда сумма
внешних углов равна
180 n 180 n 2 360			! .

2013, ЗФТШ МФТИ, Пиголкина Татьяна Сергеевна

2013-2014 уч. год, №2, 10 кл. Математика. Планиметрия

Наглядно: если приложить вектор к стороне A1 A2 и обойти по периметру n угольник, двигая вектор, то вернувшись на сторону A1 A2 ,

обнаружим, что, сделав полный поворот, вектор принял прежнее положение. Угол поворота вектора равен сумме внешних углов.

Если предположить, что в выпуклом n угольнике n 3 хотя бы 4 острых угла, то сумма их внешних углов (они тупые) будет больше 90 4 360 , что не может быть. Значит острых углов не более трѐх.

Вопрос.					Треугольники														A1B1C1					и			ABC (рис. 37)							таковы, что
a1 a, b1 b,						c1			c . Верно ли, что площадь треугольника																									A1B1C1 мень-
ше площади треугольника ABC ?
Ответ: Нет. Приведѐм пример.
Рассмотрим два равнобедренных треуголь-


ника: ABC , в котором
				AC BC a, ACB 150 ,


																		3															Рис. 37
		AB					2	a		2	2a					2			a 2
					a																				3,

																	2
															S					1	a2 sin150									a2	;
															S		ABC				a2 sin150										;
																	ABC			2								4
																				2								4

			A B C					, в котором A C B C																				3	a a, A C B 90 ,
			A B C					, в котором A C B C																					a a, A C B 90 ,
				1	1		1												1	1	1			1				4			1	1	1
																												4

												3										3
												3
					A1B1									a 2									a			2a 2 3a AB,
					A1B1									a 2									a			2a 2 3a AB,
												4									2
												4									2
									2
				1			3		2			3						1
а SA B C								a					a2						a2 SABC .
а SA B C								a					a2						a2 SABC .
1	1	1		2			4					8						4
				2			4					8						4

Контрольные вопросы

1(3). а) Как выражается медиана треугольника через три его стороны?

б) Чему равна сумма ma2 mb2 mc2 , если a2 b2 c2 76? 2(6). а) Чему равна площадь треугольника ABC на рис. 38? б) Чему равна площадь треугольника на рис. 39?

2013, ЗФТШ МФТИ, Пиголкина Татьяна Сергеевна

2013-2014 уч. год, №2, 10 кл. Математика. Планиметрия

в) Диагонали AC и BD четырѐхугольника пересекаясь делят его на 4 треугольника, площади трѐх из них известны (см. рис. 40). Чему рав-

Рис. 38

Рис. 39

Рис. 40

на площадь четырѐхугольника ABCD ?

3(2). Как доказать, что площадь S

прямоугольного треугольника

может быть найдена по формуле S r2

cr ?

4(3). Существует ли треугольник с высотами ha 4, hb 7, hc

10?

5(3). Почему существует треугольник ABC с медианами

mb 7, mc 10?

Чему равна площадь такого треугольника ABC ? (см. задачи 7 и 8 и замечание к ним).

6(6). а) AD и CK медианы треугольника ABC они пересекаются в

точке O . Верно ли, что SAOC SOKBD ?

б)

AD : DB 1:3, BF : FC 2:3

(рис. 41),

SABC S.

Чему равно от-

ношение S1 : S ?

3x S1

K A

D A

Рис. 41

Рис. 42

Рис. 43

в)* Прямая

FD пересекает прямую

AC в точке

K (рис. 41). Чему

равно отношение S2 : S ?

2013, ЗФТШ МФТИ, Пиголкина Татьяна Сергеевна

2013-2014 уч. год, №2, 10 кл. Математика. Планиметрия

7(7). а) ABCD параллелограмм,		SABK 3 , SAKCD 5 (рис. 42).
Чему равно отношение BK : KC ?
б) ABCD параллелограмм,	BM	1	BD, CN	1	CA (рис. 43). Ка-

		3		5

кую часть площади параллелограмма составляет площадь заштрихованной фигуры?

в)* ABCD параллелограмм, BF DE, BF 52 BC (рис. 44). Какую

часть площади параллелограмма составляет площадь заштрихованной фигуры?

Рис. 44

Рис. 45

8(5). а) Диагонали трапеции

ABCD AD

BC пересекается в точ-

ке O, SAOD 9, SCOD 6 . Чему равна площадь трапеции? (см. задачу 17).

б) Отрезок

MN параллелен основаниям трапеции

ABCD (рис. 45),

BC 2, AD 7, S1 : S2

1:19 . Чему равна длина отрезка MN (см. зад 15)?

9(3). Одна из диагоналей трапеции равна 52 , средняя линия трапеции равна 6,5 ; основания видны из точки пересечения диагоналей под углом 135 . Чему равна площадь трапеции? (см. задачу 17 и свойство 15 трапеции).

Задачи

1(4). Стороны треугольника равны 3, 6, 15 . Найти площадь

треугольника и радиус описанной около него окружности.

2(6). Треугольник ABC со сторонами AB 7 и BC 4 имеет площадь S 65 . Найти третью сторону и радиус вписанной окружности.

2013, ЗФТШ МФТИ, Пиголкина Татьяна Сергеевна

2013-2014 уч. год, №2, 10 кл. Математика. Планиметрия

3(5). Окружность, вписанная в треугольник ABC , делит точкой касания сторону AC на отрезки m и n . Найти площадь треугольника

ABC , если ABC 120 .

4(5). Медианы AM и CN треугольника ABC равны 15 и 12, сторона AC равна 14. Найти площадь треугольника ABC и третью медиану.

5(6). В треугольнике ABC со сторонами AB 3, AC 5 биссектриса

AD 158 . Найти площадь треугольника ABC и радиус вневписанной

окружности, касающейся наибольшей стороны.

6(6). В трапеции ABCD боковые стороны AB и CD соответственно равны 7 и 8, ADC 60 , основание BC 3 . Найти площадь трапеции.

7(5). Точка D лежит на стороне AC, точка K на стороне BC треугольника ABC . Отрезки AK и BD пересекаются в точке O . Площади треугольников AOB, AOD, BOK соответственно равны 6, 4, 3. Найти площадь четырѐхугольника ODCK.

8(5). В треугольнике ABC основание AC 6, боковые стороны AB BC 4 . Найти площадь высотного треугольника – треугольника A1B1C1 с вершинами в основаниях высот AA1, BB1, CC1 .

9(6). Окружность радиуса 3 с центром в точке пересечения диагоналей равнобокой трапеции ABCD касается меньшего основания BC и боковых сторон AB и CD. Высота трапеции равна 16. Найти еѐ пло-

щадь.
10(6). Треугольник	ABC равнобедренный AB BC	с основанием
AC 5. CK биссектриса треугольника. Через точку K		перпендику-
лярно биссектрисе CK проведена прямая, пересекающая прямую AC в
точке D, при этом	CD 8 . Найти боковые стороны	треугольника

ABC и площадь треугольника AKC.

2013, ЗФТШ МФТИ, Пиголкина Татьяна Сергеевна

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в папке МАТЕМАТИКА

#
03.06.2015691.07 Кб498m10_1_алгебраические_уравнения_неравенства.pdf
#
03.06.20151.06 Mб509m10_2_планиметрия.pdf
#
03.06.2015811.68 Кб500m10_3_последовательности_пределы.pdf
#
03.06.2015797.07 Кб494m10_4_тригонометрические_функции_уравнения.pdf
#
03.06.20151.15 Mб566m10_5_стереометрия.pdf
#
03.06.2015406.24 Кб502m10_6_комплексные_числа.pdf
#
03.06.2015836.96 Кб489m11_1_алгебраические_уравнения_неравенства_системы.pdf