ЗФТШ_2013-2014_полное / ЗФТШ_2013-2014_полное / МАТЕМАТИКА / m9_3_многочлены_модули_уравнения_неравенства

2013-2014 уч. год, №3, 9 кл. Математика.

Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем

Составитель: С.Е. Городецкий, ассистент кафедры высшей математики МФТИ.

Математика: задание №3 для 9-х классов (2013 – 2014 учебный год), 2013, 28 с.

Дата отправления заданий по физике и математике – 29 ноября 2013 г.

Составитель:

Городецкий Сергей Евгеньевич

Подписано 07.10.13. Формат 60х90 1/16.

Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,33. Тираж 1100. Заказ №17-з.

Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института (государственного университета)

ООО «Печатный салон ШАНС»

Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Московская обл., 141700.

ЗФТШ, тел./факс (495) 408-51-45 – заочное отделение,

тел./факс (498) 744-6 3-51 – очно-заочное отделение,

тел. (499) 755-55-80 – очное отделение.

e-mail: zftsh@mail.mipt.ru

Наш сайт: www.school.mipt.ru

© ЗФТШ, 2013

© 2013, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич

2

2013-2014 уч. год, №3, 9 кл. Математика.

Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем

§1. Многочлены

Многочленом с одной переменной называется выражение вида

P(x)= an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 +... + a2 x2 + a1 x + a0 (an ≠ 0). (1)

Числа a0 , a1 ,..., an −это коэффициенты многочлена; an называют

старшим коэффициентом, a0 − свободным членом.

Степенью многочлена называют наибольшую степень переменной, входящую в многочлен.

Например, степень многочлена P = x4 − x3 − x2 + 2x +1 равна 4; сте-

пень многочлена 25 + x5 −3x равна 5; степень многочлена 17 равна 0 , т. к. переменная в это выражение не входит; наконец, выражение

3x2 + x +5 + 2x многочленом не является, поэтому о его степени гово-

рить бессмысленно. Степень нулевого многочлена не определена.

Два многочлена называются равными, если равны все их коэффициенты. Многочлен равен нулю, если все его коэффициенты равны нулю. Степень нулевого многочлена не определена.

Число α называется корнем многочлена F (x), если F (α)= 0.

Приведём основные сведения о многочленах.

Теорема 1. (Деление многочленов с остатком) (без доказательства).

Для любых двух многочленов F (x)иG (x) существует единственная

пени делителя G (x), или Q(x)есть нулевой многочлен. Покажем, как

на практике находят частное и остаток от деления многочленов. Пример 1. Разделите с остатком многочлен

F(x) =18x5 + 27x4 −37x3 −14x + 20

на многочлен G(x) = 2x2 +3x −5.

Решение. Процедура деления многочленов очень похожа на деление целых чисел. Если степень делимого не меньше степени делителя, то

делаем следующее: делим старший член многочлена F (x) на старший член многочлена G(x) , получившийся результат записываем в частное. Умножаем результат на весь делитель G(x) и вычитаем полученное из исходного многочлена F(x) . Если в результате вычитания у оставше-

гося многочлена степень не меньше, чем степень делителя, то можно сделать ещё один шаг деления и т. д.

© 2013, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич

3

2013-2014 уч. год, №3, 9 кл. Математика.

Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем

Деление закончится тогда, когда степень делимого будет меньше степени делителя. В случае, когда в делимом отсутствуют некоторые степени переменных, для удобства записи лучше оставить пустые места для соответствующих членов.

Вернёмся к нашему примеру. Первый член частного равен

18x5 + 27x4 −45x3 . После вычитания из исходного многочлена от него

остаётся 8x3 −14x + 20 . Степень многочлена, оставшегося после вычитания, равна 3. Это больше степени делителя, поэтому можно сделать следующий шаг деления. Делим 8x3 на 2x2 и получаем 4x , умножаем 4x на 2x2 +3x −5 , получаем 8x3 +12x2 −20 ; вычитаем этот многочлен из 8x3 −14x + 20 и т. д.

18x5 + 27x4 −37x3 +0 x2 −14x + 20 2x2 +3x −5

=(2x2 +3x −5)(9x3 + 4x −6)+(24x −10).

Теорема 2. (Теорема Безу и следствия из неё).

1)Остаток от деления многочлена F (x) на многочлен (x −α) равен

F (α).

2)Число α является корнем многочлена F (x) тогда и только тогда,

когда многочлен F (x) делится на многочлен (x −α).

3) Если α и β − различные корни многочлена F (x), то он делится на многочлен (x −α)(x −β).

© 2013, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич

4

2013-2014 уч. год, №3, 9 кл. Математика.

Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем

4) Многочлен степени n не может иметь более n корней. Доказательство. 1) Разделим с остатком многочлен F (x) на мно-

гочлен (x −α). Тогда остаток либо равен нулю, либо является много-

членом нулевой степени (т. к. степень остатка меньше степени делителя, а степень делителя равна 1). Поэтому можно записать, что

Через G (x) здесь обозначено частное от деления, вид которого нас не интересует.

Равенство (2) верно при всех значениях x . Подставим в него x =α . Тогда F (α)=(α −α)G (α)+C . или F (α)=C.

=(x −α)G (x). Подставим в последнее равенство (которое верно для

(x −α)(x − β).

4)Теперь становится понятным, что многочлен степени n не может иметь больше, чем n корней.

Пример 2. Остатки от деления многочлена F (x) на многочлены (x −3) и (x +5) равны 2 и (−9) соответственно. Найдите остаток от деления многочлена F (x) на многочлен x2 + 2x −15 .

© 2013, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич

5

2013-2014 уч. год, №3, 9 кл. Математика.

Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем

Решение. Заметим, что x2 + 2x −15 =(x −3)(x +5). По теореме Безу F (3)= 2; F (−5)= −9.

Поделим F (x) с остатком на x2 + 2x −15 :

F (x)=(x2 + 2x −15)G (x)+ r (x).

Степень остатка не превосходит степени делителя, поэтому остаток

– это либо многочлен первой степени, либо нулевой степени, либо равен нулю. В любом случае, остаток представим в виде r (x)= ax +b (если a ≠ 0, то получим многочлен первой степени; если a = 0, b ≠ 0,

Решение. Пусть 3 26 −15 3 + 3 26 +15 3 = x . Возведём обе части в куб:

26 −15 3 +33 (26 −15 3 )2 3 26 +15 3 +33 26 −15 3 3 (26 +15 3 )2 + +26 +15 3 = x3 ;

52 +33 26 −15 3 3 26 +15 3 (3 26 −15 3 + 3 26 +15 3 )= x3 ; 52 +33 262 −(15 3 )2 (3 26 −15 3 + 3 26 +15 3 )= x3 ; 52 +3(3 26 −15 3 + 3 26 +15 3 )= x3 ; 52 +3x = x3 ;

© 2013, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич

6

2013-2014 уч. год, №3, 9 кл. Математика.

Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем

Число x = 4 является корнем этого уравнения. Докажем, что других корней нет (и тем самым будет доказана справедливость равенства (5)).

Поскольку x = 4 является корнем, x3 −3x −52 делится на x −4 без остатка. Выполняя деление, получаем:

У квадратного трёхчлена x2 + 4x +13 отрицательный дискриминант, поэтому уравнение (6) имеет ровно один корень x = 4 .

Пример 4. При каких a и b многочлен F (x) = x4 + ax3−2x2 +19x +b

делится на многочлен x2 −3x + 2?

Решение. 1-й способ. Выполним деление с остатком

(3a +5)x2 +(13 −2a)x +b

(3a +5)x2 −(9a +15)x +(6a +10) (7a + 28)x +(b −6a −10)

Приравниваем коэффициенты остатка к нулю

2-й способ. x2 −3x + 2 =(x −1)(x −2). Многочлен делится на (x −1)(x −2)тогда и только тогда, когда x =1 и x = 2 являются корня-

© 2013, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич

7

2013-2014 уч. год, №3, 9 кл. Математика.

Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем

§2. Некоторые приёмы решения алгебраических уравнений

Все Вы прекрасно знаете, как решать квадратные уравнения. В реальности часто приходится сталкиваться с уравнениями третьей, четвёртой и более высоких степеней.

Существуют общие формулы для решения кубических уравнений и уравнений четвёртой степени, однако, они очень сложные и на практике не используются. Также известно, что для уравнений степени выше четвёртой формулы для корней получить невозможно.

Мы не можем решить произвольное уравнение степени больше второй. Однако обычно мы сталкиваемся с такими задачами, в которых с помощью того или иного метода можно найти решения. Рассмотрением этих методов мы сейчас и займёмся.

Пример 5. Решите уравнение: x3 + 4x2 −2x −3 = 0.

Решение: Заметим, что x =1 является корнем уравнения (значение многочлена при x =1 равно сумме коэффициентов многочлена). Тогда

по теореме Безу многочлен x3 + 4x2 −2x −3 делится на многочлен x −1 . Выполнив деление, получаем: x3 + 4x2 −2x −3 = 0

Обычно кубические уравнения решают именно так: подбирают один корень, выполняют деление уголком, после чего остаётся решить только квадратное уравнение. А что делать, если у нас уравнение четвёртой степени? Тогда придётся подбирать корень два раза. После подбора первого корня и деления останется кубическое уравнение, у которого надо будет подобрать ещё один корень. Возникает вопрос. Что делать, если такие «простые» числа как ±1, ± 2 не являются корнями уравне-

ния? Неужели тогда надо перебирать всевозможные числа? Ответ на

ное) является корнем многочлена С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ, то свободный член делится на p, а старший коэффициент делится на q .

© 2013, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич

8

2013-2014 уч. год, №3, 9 кл. Математика.

Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем

Домножим обе части на qn :

an pn + an−1 pn−1q + an−2 pn−2 q2 +... + a2 p2 qn−2 + a1 pqn−1 + a0 qn = 0.

Перенесём a0 qn в правую часть, а из оставшихся слагаемых вынесем p за скобки:

p (an pn−1 + an−1 pn−2 q + an−2 pn−3q2 +... + a2 pqn−2 + a1qn−1 )= −a0 qn . (7)

Справа и слева в (7) записаны целые числа. Левая часть делится на p правая часть также делится на p . Числа p и q взаимно просты

(т. к. дробь p / q несократимая), откуда следует, что a0 p . Аналогично доказывается, что an q . Теорема доказана.

Замечание. Как правило, предлагаемые вам уравнения имеют целые корни, поэтому наиболее важно запомнить следующее: ЕСЛИ У МНОГОЧЛЕНА С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ЕСТЬ ЦЕЛЫЕ КОРНИ, ТО ОНИ ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ СВОБОДНОГО ЧЛЕНА.

p −корень. Тогда 539 p; чтобы найти возможные значения p , разло-

жим число 539 на простые множители: 539 = 72 11 . Поэтому p может принимать значения:

±1, ±7, ±11, ±49, ±77, ±539.

Подстановкой убеждаемся, что x = −1 является корнем уравнения. Разделим многочлен (8) уголком на x +1 и получим:

(x +1)(x3 +3x2 −105x −539)= 0.

Далее подбираем корни у получившегося многочлена третьей степени. Получаем x = −7 , а значит, (x +1)(x +7)(x2 −4x −77)= 0.Решая

квадратное уравнение, находим, что (x +1)(x +7)(x +7)(x −11)= 0.

Ответ: −7; −1;11.

© 2013, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич

9

2013-2014 уч. год, №3, 9 кл. Математика.

Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем

Замечания. 1.Обратите внимание, что после того, как найден первый корень, лучше сначала выполнить деление уголком, а уже потом приступать к поиску последующих корней.

2. В последнем уравнении корень (–7) встретился дважды. Тогда говорят, что (–7) является корнем кратности два. Аналогично говорят о корнях кратности три, четыре и т.д.

б) Если уравнение имеет рациональный корень x0 = p / q , то 10 p ,

перебирать числа из этого списка. Первым подходит число x =5/ 2 . Делим (9) на (2x −5) и получаем (2x −5)(3x3−10x2 −11x −2)= 0 .

Заметим, что для получившегося кубического уравнения выбор рациональных корней заметно сузился, а именно, следующие числа могут

быть корнями: x0 = ±1, ± 2, ± 13 , ± 23 , причём мы уже знаем, что числа

±1 и ±2 корнями не являются (так как мы их подставляли раньше, и

К сожалению, уравнения не всегда имеют рациональные корни, поэтому иногда приходится прибегать к другим методам.

Пример 7. Разложите на множители: а) x4 +4 ;

б)* x3 −3x2 −3x −1;

в) x4 − x3 +2x2 −2x +4;

г)* x4 −4x3 −20x2 +13x −2.

Решение.

а) x4+4 = x4+4x2+4 −4x2= (x2 +2)2−4x2= (x2+2 −2x)(x2+2 +2x).

© 2013, ЗФТШ МФТИ, Городецкий Сергей Евгеньевич

10