ЗФТШ_2013-2014_полное / ЗФТШ_2013-2014_полное / МАТЕМАТИКА / m10_5_стереометрия

2013-2014 уч. год, №5, 10 кл. Математика. Стереометрия

что прямая XY – линия пересечения секущей плоскости и плоскости основания пирамиды. Дальнейшее построение показано на рис. 12в.

5. Примеры решения задач на сечения многогранников

Здесь мы разберѐм решения некоторых задач, связанных с определением вида сечения, вычислением периметров, площадей сечений, отношений, в которых секущая плоскость делит рѐбра многогранника и т. п. При этом, чтобы не загромождать изложение, мы подробно не будем описывать само построение сечения, тем не менее, когда вы будете решать подобные задачи, не забывайте аккуратно обосновать построение сечения (даже если в условии задачи не сказано «построить сечение»).

Пример 8. В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC. Точки Р, Q и R взяты на медианах SP1, SQ1 и SR1 граней SAB, SBC и SCA соответственно так, что SP : РР1 = 2 : 1, SQ : QQ1 = 2 : 3, a R – середина отрезка SR1. Построить сечение пирамиды плоскостью PQR и определить, в каком отношении эта плоскость делит ребро SB.

□ Сначала построим след секущей плоскости на плоскости основания пирамиды, соединив прямой точки

X и Y пересечения прямых PR, P1R1 и PQ, P1Q1 (рис. 13). Уточним те-

2013, ЗФТШ МФТИ, Кочерова Анна Сергеевна

11

2013-2014 уч. год, №5, 10 кл. Математика. Стереометрия

перь положение точек X и Y, найдя отношения ХР1 : XR1 и YP1 : YQ1. Для их вычисления воспользуемся известной из планиметрии теоремой Менелая. Согласно этой теореме, применѐнной к треугольнику SP1R1

довательно, точки X, Y и А лежат на одной прямой (причѐм Y – середина отрезка AX). Теперь уже легко достроить сечение (рис. 16).

2013, ЗФТШ МФТИ, Кочерова Анна Сергеевна

12

2013-2014 уч. год, №5, 10 кл. Математика. Стереометрия

Чтобы найти SM : MB (М – точка пересечения АР и SB), обратимся к рис. 17. Как известно из планиметрии, точка Р, делящая медиану SP1 в

отношении 2 : 1, считая от вершины S, является точкой пересечения медиан треугольника ASB. Поэтому АМ – медиана этого треугольника и

SM : MB = 1 : 1. ■

Замечание. При решении этой задачи мы использовали теорему Менелая, напомним без доказательства, в чѐм она заключается.

Если на сторонах ВС, АС, АВ треугольника АВС (рис. 18) или их продолжениях взяты три точки А1, В1, С1, то эти три точки лежат на од-

ной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство

AC1 BA1 CB1 1.

C1B A1C B1 A

Отметим, что в данной задаче можно было бы найти отношение

XP : XR1 (см. рис. 14) и без теоремы Менелая. Например, провести пря-

мую RK XR1 (см. рис. 19). Тогда из подобия треугольников SKR и SP1R1 следует, что SK : SP1 = 1 : 2. Следовательно, KP: PP1 = 1 : 2 и KR :

XP1=KR : P1R1=1 : 2. Значит, XP1=P1R1, и XP1 : XR1=1 : 2. Аналогично находится отношение YP1 : YQ1.

2013, ЗФТШ МФТИ, Кочерова Анна Сергеевна

13

2013-2014 уч. год, №5, 10 кл. Математика. Стереометрия

6. Перпендикулярность прямых и плоскостей

Напомним основные определения.

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 . (Угол между плоскостями – это наименьшая из величин двугранных углов, образованных при их пересечении.)

Перечислим основные теоремы, которые используются при решении задач.

Теорема 4. (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Теорема 5. (теорема о трѐх перпендикулярах). Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость.

Теорема 6. (признак перпендикулярности двух плоскостей). Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Пример 9. В тетраэдре ABCD ребро АВ перпендикулярно ребру CD, а ребро AD перпендикулярно ребру BC.

Докажите, что

AB2+CD2=AD2+BC2.

□ Достроим ∆ BAD до параллелограмма BADF (рис. 20). Из перпендикулярности прямых АВ и CD следует, что СDF = 90 , т. е.

CF2 = CD2 + DF2. Аналогично, CF2 = CВ2 + ВF2,

следовательно, CD2 + DF2 = CВ2 + ВF2.

Но DF = AB, а BF = = AD, поэтому AB2 + CD2 = AD2 + BC2. ■

2013, ЗФТШ МФТИ, Кочерова Анна Сергеевна

14

2013-2014 уч. год, №5, 10 кл. Математика. Стереометрия

О– ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника АВС. Следовательно, ВО АС и по теореме о трѐх перпендикулярах, ВD

АС ■

Пример 11. Все рѐбра правильной четырѐхугольной пирамиды SABCD имеют длину 2. Точки М и N – середины рѐбер AS и АВ соответственно. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно прямой CN, и найти площадь этого сечения.

□ Обозначим секущую плоскость через и предположим, что искомое сечение построено. Так как

(CN), то прямая CN перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости, в частности линии пересечения плоскостей и ABC. Кроме того, плоскость должна содержать перпендикуляр, опущенный из точки М на плоскость ABC (этот перпендикуляр параллелен высоте SO пирамиды). Действительно, если точка M1 – основание перпендикуляра, опущен-

ного из точки М на плоскость ABC, а точка L – основание перпендику-

2013, ЗФТШ МФТИ, Кочерова Анна Сергеевна

15

2013-2014 уч. год, №5, 10 кл. Математика. Стереометрия

ляра, опущенного из точки М1 на прямую CN, то по теореме о трѐх перпендикулярах (ML) (CN). А так как (М1L) (CN), то (MМ1L) (CN). Но через точку М проходит единственная плоскость, перпендикулярная прямой CN, поэтому и (MM1L) – одна и та же плоскость.

Отсюда вытекает следующее построение (рис. 22). Сначала строим изображение центра основания пирамиды – точку О пересечения диагоналей АС и BD основания, затем строим отрезок SO – изображение высоты пирамиды. После этого через точку М проводим прямую, параллельную прямой SO, до пересечения с отрезком АС в точке M1. Тем самым мы построим изображение перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость ABC. Остается построить изображение перпендикуляра к прямой CN, проходящего через точку M1. Пусть этот перпендикуляр пересекает прямую CN в точке L. Уточним положение точки L вычислением, обратившись к рис. 23. По теореме Пифагора

CN2 = ВС2 + BN2 = 4 + 1 = 5, т. е. CN = 5.

Пусть K = (CN) (BD). Так как К – точка пересечения медиан тре-

деления отрезка на равные части известна из планиметрии и решается с помощью теоремы Фалеса). Пусть теперь (M1L) (АВ) = Q, (М1L) (AD) = Р. Заметим, что Q [АВ], а Р [AD]. Действительно, из подобия треугольников LNQ и BNC (рис. 23) следует, что

2013, ЗФТШ МФТИ, Кочерова Анна Сергеевна

16

2013-2014 уч. год, №5, 10 кл. Математика. Стереометрия

Поэтому NQ < NB, значит, Q [АВ]. Из подобия треугольников APQ и BNC следует, что

поэтому Р [AD]. Соединив точки Р и Q с точкой М, получаем искомое сечение (рис. 22).

Действительно, по построению (MM1) (ABC), a (CN) (AВС), следовательно (MM1) (CN). Опять-таки по построению (PQ) (CN), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости

(MPQ) (CN).

Вычислим площадь сечения. Имеем

Длину высоты пирамиды находим из прямоугольного треугольника

т. е. РО – высота в равнобедренном треугольнике BPD1, и, значит, РО – его медиана, а О – середина BD1. ■

2013, ЗФТШ МФТИ, Кочерова Анна Сергеевна

17

2013-2014 уч. год, №5, 10 кл. Математика. Стереометрия

Контрольные вопросы

1(2). Даны две прямые, a и b . Выясните, являются ли сформулированные ниже условия необходимыми, достаточными или необходимыми и достаточными для того, чтобы a и b скрещивались:

а) a и b не имеют общих точек;

б) любая плоскость, проведѐнная через прямую a и точку, принадлежащую прямой b , пересекает b .

2(2).Каждая из двух прямых скрещивается с третьей прямой. Верно ли, что эти две прямые являются скрещивающимися?

3(2). Докажите, что если любая плоскость, пересекающая одну из двух данных прямых, пересекает и вторую, то эти две прямые параллельны.

4(2). Докажите, если три прямые в пространстве не проходят через одну точку и попарно пересекаются, то они лежат в одной плоскости.

5(3). Постройте изображение правильной четырѐхугольной усечѐнной пирамиды.

6(2). Постройте изображение равнобедренной трапеции и еѐ высоты.

7*(4). Сечение правильной четырѐхугольной пирамиды является правильным пятиугольником. Докажите, что боковые грани этой пирамиды правильные треугольники.

Указание. Пусть ABCD Данная пирамида, а KLMNO данное сечение K AB , L BC , M SC , N SD ,Q SA . Спроектируй-

те пирамиду на плоскость, проходящую через точку S и середины рѐбер AD и BC .

8(2). а) Через точку на ребре тетраэдра проведите плоскость так, чтобы сечение тетраэдра было параллелограммом.

б) Докажите, что сечение тетраэдра плоскостью также является параллелограммом.

9(3). Скрещивающиеся рѐбра тетраэдра имеют длины a и b . Сечение тетраэдра, параллельное этим рѐбрам, – ромб. В каких отношениях плоскость сечения делит рѐбра тетраэдра, которые она пересекает?

2013, ЗФТШ МФТИ, Кочерова Анна Сергеевна

18

2013-2014 уч. год, №5, 10 кл. Математика. Стереометрия

10* (4). Докажите, что периметр любого четырѐхугольного сечения правильного тетраэдра с ребром длины 1 не меньше 2, но меньше 3.

Указание. Для доказательства неравенства p 2 рассмотрите развѐртку тетраэдра, для доказательства неравенства p 3 покажите, что

если параллельно перемещать плоскость сечения, то его периметр будет линейной функцией.

Задачи

1(3). На рѐбрах DA, AB и BC тетраэдра DABC взяты точки M , P,

Найдите, в каком отношении делит ребро CC1 плоскость A1KM .

4(3). Сторона основания ABCD правильной четырѐхугольной пирамиды PABCD равна 1, а высота пирамиды равна 2 . На рѐбрах PA и PC взяты точки K и M соответственно, причѐм AK : KP 1: 3 , CM PM . Найдите, в каком отношении плоскость DKM делит ребро

PB.

5(4). Точки T и P соответственно середины рѐбер B1C1 и CD параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , точка K принадлежит ребру BC , причѐм CK : KB 1:3 . Найдите, в каких отношениях плоскость, проходящая через середину отрезка BT параллельно прямым PK и DC1 , делит отрезки AC1 , B1D, A1C .

2013, ЗФТШ МФТИ, Кочерова Анна Сергеевна

19

2013-2014 уч. год, №5, 10 кл. Математика. Стереометрия

6(6). В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF на диагонали основания AD взяты три точки, делящие еѐ на четыре равные части. Через эти точки проведены сечения, параллельные плоскости SAB . Найдите отношение площадей этих сечений.

7(7). Задан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром длины 1. а)(3) Найти площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину D1 , середину ребра BC и параллельной прямой A1C1 .

б)*(4) Найти площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину D1 и параллельной прямой A1C1 , у которой площадь проекции

сечения на плоскость A1C1 A максимальна.

8(5). Высота правильной пирамиды SABCD с основанием ABCD

равна 3, угол между соседними боковыми рѐбрами равен arccos 109 .

Точки E, F, K выбраны соответственно на рѐбрах AB, AD и SC так,

что AEAB ADAF CKSC 13 . Найти площадь сечения пирамиды плоскостью

EFK.

9(4). Основание прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 квадрат ABCD, AB 2, AA1 4 . Через середины E и F рѐбер AD и DC проведено сечение, параллельное диагонали DB1 . Построить сечение и

найти его площадь.

10(3). На ребре BD тетраэдра ABCD взята такая точка E , что DE : BE 3: 5 . Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через точки A и E параллельно медиане BM треугольника ABC , делит ребро CD .

11*(7). Через точку, взятую внутри треугольной пирамиды, параллельно еѐ рѐбрам проведены отрезки с концами на гранях пирамиды. Докажите, что сумма шести отношений длин этих отрезков к длинам параллельных им рѐбер не зависит от выбора первоначальной точки. Чему равна эта сумма?

Указание. Проведите через два из данных отрезков, параллельных двум скрещивающимся рѐбрам тетраэдра, плоскость и докажите, что сечение тетраэдра этой плоскостью будет параллелограммом.

2013, ЗФТШ МФТИ, Кочерова Анна Сергеевна

20