ЗФТШ_2013-2014_полное / ЗФТШ_2013-2014_полное / МАТЕМАТИКА / m11_3_тригонометрические_уравнения_системы

2013-2014 уч. год, №3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства.

Решение. Применяем метод, разобранный в примере 9:

Рассмотрим второе уравнение первой системы отдельно:

sin 14x 2 n cos x 0; sin14x cos x 0;

Возвращаемся к первой системе:

Учитывая результаты второй системы, получаем ответ.

2013, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

21

2013-2014 уч. год, №3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства.

Ответ.

4.4 Решение системы тригонометрических уравнений методом подстановки

Пример 21. Решить систему уравнений:

tgx ctgy 8ctgx ,

sin2 y tg2 x 2tgx 4 2tg2 y 0.

Решение. Определим ОДЗ:

cos x sin x 0;sin y cos y 0.

Далее, из первого уравнения выразим tgy и подставим во второе. При этом в силу условий ОДЗ, делим обе части второго уравне-

2013, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

22

2013-2014 уч. год, №3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства.

Используем формулу для суммы кубов и раскладываем второе уравнение на множители.

Замечаем, что дискриминант квадратного трехчлена в первой скобке отрицателен, и получаем равносильную систему:

Решаем второе уравнение аналогично примеру 5.

Убеждаемся, что ОДЗ не накладывает ограничений на решение, получаем ответ.

5. Тригонометрические неравенства

При решении тригонометрических неравенств используются свойства тригонометрических функций, в первую очередь, свойства монотонности и периодичности.

Функции синуса и косинуса имеют период 2 , поэтому неравенства относительно синуса и косинуса достаточно решить на каком-либо отрезке длины 2 (не обязательно начинающемся от начала координат, отрезок выбирается из удобства – так, чтобы решением неравенства являлся 1 промежуток, а не объединение нескольких). Затем следует продлить полученное решение на бесконечность, прибавив числа вида 2 n .

2013, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

23

2013-2014 уч. год, №3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства.

В случае неравенств относительно функций тангенса и котангенса, решение следует продлевать, соответственно, с периодом .

Решение. Определим ОДЗ: cos x 12 .

Правая часть неравенства неотрицательна, поэтому возведѐм обе части в квадрат

cos x 12 14 ; cos x 34 .

С учѐтом ОДЗ получаем систему неравенств

cos x 12 ;

cos x 34 .

Решая неравенства на тригонометрическом круге, получаем, что

2013, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

24

2013-2014 уч. год, №3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства.

Ответ.

При решении более сложных неравенств необходимо с помощью тех же преобразований, что применялись при решении уравнений (разложение на множители, замена переменной и т. д.), свести неравенство к простейшему или совокупности простейших и таким образом решить его.

Контрольные вопросы

Решить уравнения 1–8

1(2). 6cos x 2cos 3x 1. 2(2). sin x 2cos x 0.

3(3). sin 2 x 3sin x cos x 2cos2 x 0. 4(3). sin x cos 3x 0.

5(3). 5 5sin x 2sin 2x 5cos x 0. 6(4). sin 5x sin 2x cos 7x cos 4x. 7(4). 3sin x 4cos x 4.

8(3). 20sin x 21cos x 30.

9(5). Решить уравнение 3a2 sin 2 x a при всех значениях a.

10(4).Решить уравнение

1 4sin x 2 cos x.

11(5). Решить систему

cos 5x cos 2x 3y sin 3y sin 3x;cos 5x 3y 0.

12(4).Решить неравенство

34 cos 2 x 12 .

2013, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

25

2013-2014 уч. год, №3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства.

Задачи

Решить уравнения 1–7

1(3). 5sin 2 x 5sin x cos x 2. 2(4). 4 costgxx 17 sin x 6 cos x.

3(5). 27tgx 4 19sin x cos x 17 sin 2 x.

2013, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

26