ЗФТШ_2013-2014_полное / ЗФТШ_2013-2014_полное / МАТЕМАТИКА / m11_3_тригонометрические_уравнения_системы

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа

Московского физико-технического института (государственного университета)»

МАТЕМАТИКА

Тригонометрические уравнения, системы, неравенства

Задание №3 для 11-х классов

(2013 – 2014 учебный год)

г. Долгопрудный, 2013

2013-2014 уч. год, №3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства.

Составитель: Ф.О. Сергеев, преподаватель ФЗФТШ при МФТИ.

Математика: задание №3 для 11-х классов (2013 – 2014 учебный год), 2013, 26 с.

Дата отправления заданий по физике и математике – 04 декабря 2013 г.

Составитель:

Сергеев Фѐдор Олегович

Подписано в печать 30.09.13. Формат 60×90 1/16. Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,62. Уч.-изд. л. 1,44. Тираж 700. Заказ №16-з.

Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института (государственного университета)

ООО «Печатный салон ШАНС»

Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Москов. обл., 141700, ЗФТШ, тел./факс (495) 408-51-45 – заочное отделение,

тел./факс (498) 744-63-51 – очно-заочное отделение, тел. (499) 755-5580 – очное отделение.

e-mail: zftsh@mail.mipt.ru

Наш сайт: www.school.mipt.ru

© ЗФТШ, 2013

2013, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

2

2013-2014 уч. год, №3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства.

1.Решение тригонометрических уравнений

1.1.Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими называются тригонометрические уравнения, в которых тригонометрическая функция в первой степени с единичным коэффициентом приравнивается действительному числу. Такие уравнения непосредственно приводят к решению (если оно есть). Напомним формулы для решения простейших тригонометрических уравнений:

Здесь n Ζ , а область значений числа a определяется свойствами тригонометрических функций (в дальнейшем, если не сказано обратного, будем считать, что k, l, m, n Ζ ). Целочисленные параметры в раз-

личных множествах решений одного уравнения можно обозначать как разными, так и одной буквой. В тех же случаях, когда элементы множеств сравниваются между собой, а также при решении тригонометрических систем для обозначения целочисленных параметров следует использовать различные буквы.

Примечание 1. Для корней уравнения sin x a a 1 также может

arcsin a 2 n; n Z ,

использоваться формула x

arcsin a 2 n. n Z.

Примечание 2. Для случаев a 0, 1 решения уравнений sinx a , cosx a имеют более простой вид, который полезно запомнить (или, что полезнее, понять их смысл – например, из тригонометрического круга).

2013, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

3

2013-2014 уч. год, №3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства.

Примечание 3. Не может быть зачтено решение задачи, если при решении простейшего уравнения, например, sin x 13 , в качестве ре-

шения указывается значение x 1 n arcsin 13 m, т. к. n и m обо-

значают различные целые числа, а приведѐнная формула включает в себя также решения уравнения sin x 13 .

Примечание 4. Также не может быть зачтено решение уравнения, если в ответе присутствует такая запись, как, например:

Все тригонометрические уравнения и системы с помощью преобразований сводятся, как правило, к решению одного или нескольких простейших уравнений.

Пример 1. Решить уравнения

1а) 2cos(x3 1) 1;

Решение.

Ответ: x 3 1 2 n.

3

1b) cos 2x sin x 1;

Решение. Используем формулу косинуса двойного угла: cos 2x 1 2sin 2 x.

2013, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

4

2013-2014 уч. год, №3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства.

cos 2x sin x 1;

1 2 sin 2 x sin x 1; sin x 1 2 sin x 0;

6

Ответ. x n, x 1 n n. n Z. 6

1с) sin 2x sin x 0.

Решение.

sin 2x sin x 0; sin x 2 cos x 1 0;

Ответ. x n; x 2 2 n. n Z. 3

Примечание 5. Для решения тригонометрических уравнений необходимо хорошо знать основные тригонометрические формулы. Напри-

мер, формула cos 2x cos2 x sin 2 x должна держаться в памяти и в виде cos 2x 2cos2 x 1, и в виде cos 2x 1 2sin2 x . Также полезно помнить, что cos 2x (cos x sin x)(cos x sin x) , а

1 sin 2x (cos x sin x)2 , 1 sin 2x (cos x sin x)2.

1.2. Однородные тригонометрические уравнения первого порядка

Однородными относительно sin x и cos x называются уравнения ви-

да

a0 sinn x a1 sinn 1 x cos x a2 sinn 2 x cos2 x ...an 1 sin x cosn 1 x an cosn x 0.

2013, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

5

2013-2014 уч. год, №3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства.

где a0 , a1 , ..., an – действительные числа. Сумма степеней синуса и коси-

нуса в каждом слагаемом левой части уравнения одинакова и равна числу n, называемому показателем однородности.

Если a0 = 0, то, очевидно, корни уравнения cos x 0 являются одними

из корней исходного уравнения. Далее, полагая cos x 0 и разделив обе части уравнения на cosx , получим снова однородное уравнение (с показателем однородности n 1).

Если же a0 0 , то, очевидно, cos x 0 и обе части однородного

уравнения можно разделить на cosn x , в результате чего получим уравнение:

tgx : tgx ba .

Пример 2. Решить уравнение 3 cos x sin x 0.

Решение.

3 cos x sin x 0; sin x 3 cos x; tgx 3;

x n. 3

Ответ: x n. n Z. 3

1.3. Однородные уравнения второго и высших порядков

Если показатель однородности n 2, решение не меняется, но имеет свои особенности, разберем их на примерах.

2013, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

6

2013-2014 уч. год, №3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства.

Пример 3. Решить уравнение 3cos2 x 2sin xcos x sin2 x 0.

Решение. Равносильное исходному уравнение tg 2 x 2tgx 3 0 дает два действительных решения: tgx 1,tgx 3.

Ответ. n, arctg3 m. m Z .

4

Уравнения, не являющиеся на первый взгляд однородными и содержащие свободные члены (числа), могут быть сведены к однородным с по-

мощью использования тригонометрической единицы sin2 x cos2 x 1: a sin2 x b sin x cos x c cos2 x d

a sin2 x b sin x cos x c cos2 x d (sin2 x cos2 x).

Пример 4. Решить уравнение 4sin2 x 2sin xcos x 3.

Решение.

4sin 2 x 2sin x cos x 3;

4sin 2 x 2sin x cos x 3 sin 2 x cos 2 x ; sin 2 x 2sin x cos x 3cos 2 x 0;

tg 2 x 2tgx 3 0; tgx 1;tgx 3.

Ответ. x n,x arctg3 m. n Z .

4

Уравнения, левая часть которых есть однородное выражение относительно sin x и cos x с порядком однородности n 3 , а правая часть есть d sin x (или d cos x ) сводятся к однородным третьего порядка таким же способом.

Пример 5. Решить уравнение

2sin3 x 3cos3 x sin xcos2 x 3cos x.

Решение.

2sin3 x 3cos3 x sinxcos2 x 3cosx sin2 x cos2 x ; 2sin3 x 3sin2 xcosx sinxcos2 x 6cos3 x 0;

2tg3 x 3tg2 x tgx 6 0.

Произведем замену t tgx . Тогда уравнение примет вид:

2t 3 3t 2 t 6 0.

2013, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

7

2013-2014 уч. год, №3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства.

Как известно из курса алгебры, если уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень, то его следует искать среди дро-

бей вида qp , где p – делитель свободного члена, а q – делитель стар-

шего коэффициента. Находим один такой корень t 2 . Делением многочлена, стоящего в левой части уравнения на t 2 («уголком») приходим к следующему равносильному уравнению:

t 2 2t 2 t 3 0.

Поскольку дискриминант второго множителя отрицателен, то t 2 – единственный корень исходного уравнения. Возвращаясь, к tgx ,

получаем ответ.

Ответ. arctg2 n. n Z.

Примечание 6. Способ нахождения рациональных корней уравнений высших степеней, описанный в последней задаче, является стандартным для курса алгебры, следует иметь его ввиду в том числе и при решении задач этого задания. Также обращаем внимание на способ деления многочленов друг на друга «уголком» – в случае, если этот способ малознаком читателю, следует изучить его отдельно.

1.4. Решение уравнений вида sin kx cos mx 0.

Уравнения вида sin kx cos mx 0 ( k m , иначе уравнение становится однородным первого порядка) решаются сведением с по-

мощью формул приведения к одной тригонометрической функции,

принимает вид:

2013, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

8

2013-2014 уч. год, №3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства.

1.5. Решение уравнений вида F sin x cos x;sin x cos x 0.

Уравнения вида F sin x cos x;sin x cos x 0 сводятся к алгебра-

таковы, что t 2 .

Пример 7. Решить уравнение sin 2x 3sin x 3cos x 3 0.

2013, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

9

2013-2014 уч. год, №3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства.

Ответ: 2 n; x 2 m. n Z. 2

Примечание 7. Часто, используя замену, учащиеся забывают, что требовалось найти x , а не t , и не указывают правильного ответа. Такая небольшая, казалось бы, ошибка на вступительных экзаменах может свести на нет всѐ решение.

1.6. Метод разложения на множители

Метод разложения на множители широко известен из других областей математики и фактически состоит в том, что громоздкое уравнение с помощью тождественных преобразований сводится к совокупности нескольких более простых уравнений.

Пример 8. Решить уравнение sin3 2x cos3 2x cos 4x.

Решение. Применим формулу для суммы кубов, известную из курса алгебры:

sin 3 2x cos3 2x cos 4x;

sin 2x cos 2x sin 2 2x sin 2x cos 2x cos 2 2x cos 2 2x sin 2 2x,sin 2x cos 2x 1 sin 2x cos 2x cos 2x sin 2x 0.

В итоге исходное уравнение распадается на два:

sin 2x cos 2x 0;

1 sin 2x cos 2x cos 2x sin 2x 0.

2013, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

10