Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m11_6_теория_чисел

.pdf

Скачиваний:

492

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

398.3 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Росс ийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей

« Заочная физико-те хническая школа Московского физико-техническог о института (государственного университ ета)»

МАТЕМАТИКА

Элементы теории чисел

(факультат ивное)

Задан ие №6 для 11-х классов

(201 3 – 2014 учебный год)

г. Долгопрудный, 2014

Составитель: Е.Г. Молчанов, ассистент кафедры высшей математики МФТИ.

Математика: задание №6 для 11-х классов (2013 – 2014) учебный год), 2014, 28 с.

Дата отправления заданий по физике и математике – 12 апреля 2014 г.

Внимание! Данное задание является факультативным, т. е. присылать его в ЗФТШ на проверку не обязательно, но мы настоятельно рекомендуем Вам внимательно проработать его, т. к. задачи по темам «Теория чисел» и «Комбинаторика» были включены в 2012 году в олимпиаду «Физтех-2012».

Составитель:

Молчанов Евгений Геннадьевич

Подписано 18.02.14. Формат 60×90 1/16.

Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,75. Уч.-изд. л. 1,55. Тираж 600. Заказ №49-з.

Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института (государственного университета)

ООО «Печатный салон ШАНС»

Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Москов. обл., 141700.

ЗФТШ, тел./факс (495) 408-51-45 – заочное отделение,

тел./факс (498) 744-63-51 – очно-заочное отделение,

тел. (499) 755-5580 – очное отделение.

e-mail: zftsh@mail.mipt.ru

Наш сайт: www.school.mipt.ru

Введение

Действия с натуральными и целыми числами знакомы вам с младших классов, когда математика сводится по существу к арифметике. Полезно и поучительно подойти к ним, владея аппаратом алгебры. Задачи о делимости и уравнения в целых числах служат излюбленным материалом для математических олимпиад и факультативов. Всё большую популярность такие задачи приобретают на олимпиадах, проводимых МФТИ, МГУ и другими вузами, а также присутствуют в ЕГЭ по математике (задание C6). Рекомендованные пособия помогут вам в их решении и более глубоком изучении темы.

§1. Делимость целых чисел

1.1. Основные понятия и факты

Напомним основные понятия и факты.

Множество натуральных чисел обозначается символом .

Множество целых чисел обозначается символом .

Множество рациональных чисел обозначается символом . Множество действительных чисел обозначается символом

В дальнейшем, если не будет сказано иного, мы будем рассматри-

вать только множества целых и натуральных чисел.

Натуральное число

называется делителем целого числа

, если

для подходящего целого числа

верно равенство:

. В этом слу-

чае говорят, что

делится на

и обозначают как «

». Число

называют кратным числу .

7 91 13·7

на единицу.

117

117 13·9 ; 91

Например,

Число

называют простым, если оно делится только на себя и

Множество простых чисел обозначают символом

. Со-

ставными

числами называют целые числа, имеющие больше двух раз-

153

17·9

личных делителей.

– простое число, а

– составное.

Например,

Натуральное число

называют общим делителем чисел

если

Наибольшее такое число

называют наибольшим общим

делителем m и n и обозначают как НОД

(иногда просто ,

Если наибольший общий делитель двух чисел равен единице, эти числа
называют взаимно простыми.	,	,

Например, 2 – общий делитель чисел 12 и 8, 4 – наибольший общий

делитель чисел 12 и 8, т. е. НОД 12,8

4
Целое число называют общим кратным чисел	и	, если	и
. Наименьшее натуральное число, кратное	и	называют наи-

меньшим общим кратным m и n и обозначают как НОК(m,n).

Например, 120 – общее кратное чисел 12 и 8, 24 – наименьшее об-

щее кратное чисел 12 и 8, т. е. НОК

Напомним основные свойства делимости.

, а число

де-

Свойство 1. Если целое число

делится на число

12,8

лится на число

, то число

делится на число .

Свойство 2. Если – общий делитель целых чисел

и , то:

делятся на

;

делится на

(точнее – на

Следствие свойства 2. Если одно из чисел

или

делится на

второе не делится на

, то

не делятся на .

делится ,на

Действительно, если

делится на и, например,

(от противного), то

также бы делилось на согласно

свойству 2.

Свойство 3. Если целое число

делится на взаимно простые дели-

тели

, то

делится на

Свойство 4. Если

(a, b – целые) делится на простое число , то

или

делится на число .

Свойство 5. Если

делится на число

взаимно просто с чис-

лом

, то

делится на число .

1.2.Разложение на простые множители. Основная теорема арифметики

Сформулируем основную теорему арифметики:

Любое натуральные число n, большее единицы, можно разложить в произведение простых чисел. Это разложение единственно, с точностью до порядка следования сомножителей.

Приведём набросок доказательства первой части этой теоремы. За-


метим, что если число				не простое,	оно должно иметь более двух
различных делителей. С учётом того, что					и	,		, должен сущест-
вовать ещё хотя бы один			делитель числа		– число	,					. Таким
вовать ещё хотя бы один			1			разложение получе-
образом,	или	само является простым числом (и				1
но), или	оно	раскладывается в произведение					1		,		,
1	. Каждое из чисел a и b также или является простым, или рас-
кладываются далее в произведение ещё более меньших									чисел, не рав-
кладываются далее в произведение ещё более меньших										1

ных единице. Данный процесс разложения не может продолжаться бесконечно, и в итоге число n будет представлено в виде произведения простых чисел.

Строгое доказательство того, что такое разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей, первым дал немецкий математик К.Ф. Гаусс (1777 – 1855), внесший крупный вклад в развитие многих областей математики.

Пример 1. Найти все простые числа, не превосходящие 100. Решение. Для нахождения таких чисел удобно воспользоваться ме-

тодом, известным как «решето Эратосфена». Этот метод назван в честь греческого математика Эратосфена, жившего в III в. до н. э., и заключается в следующем. Выпишем все числа от 1 до 100 в таблицу:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

Далее, число 1 вычеркнем (оно не простое), числа 2 и 3 оставим как простые и вычеркнем все числа, кратные 2 и 3.

	2	3	5	7		11	13		17	19
		23	25		29	31		35	37
41		43		47	49		53	55		59
61			65	67		71	73		77	79
		83	85		89	91		95	97

Далее, оставим число 5 как простое и вычеркнем все числа, кратные 5. Затем то же самое сделаем с числом 7.

	2	3	5	7		11	13	17	19
		23			29	31		37
41		43		47			53		59
61				67		71	73		79
		83			89			97

Все оставшиеся числа будут простые. Это связано со следующим

свойством:
Если число			, то хотя бы один из сомножителей не превос-
ходит		√	если предположить противное, т. е. предположить,
Действительно
В	√ и			√	√
что	√ .	,	, то			и возникает противоречие.

примере мы проверили все простые делители, не превосходящие

√100 10. Таким образом, любое составное число, меньшее 100, делится на 2, 3, 5 или 7.

Во времена Эратосфена писали на восковых дощечках, а вместо того, чтобы числа вычёркивать, дощечку прокалывали, так что в итоге она становилась похожей на решето. Отсюда и произошло название метода.

Ответ: простые числа, меньшие 100, представлены в третьей табли-

це.

Итак, для нахождения делителей числа можно воспользоваться следующим способом.

Проверим в порядке возрастания делимость числа на простые чис-

ла, не превосходящие			. Если ни на какое из таких чисел не делит-
ся, то – простое.	Иначе, запишем			и будем далее искать дели-
		√

тели числа по тому же правилу.

Пример 2. Разложите на простые множители число 76557. Решение. Начнём проверять делимость числа 76557 на простые

числа, расположенные в порядке возрастания. На 2 число 76557 не делится, зато делится на 3: 76557 = 3×25519. Теперь, будем искать делители числа 25519. Это число не делится на 2, 3, 5, 7, 11, зато делится на

13: 25519=1963×13. Число 1963 также делится на 13, т. е. 25519=151×132. Посмотрим на число 151. Заметим, что 151<169=132,

значит, если число 151 раскладывается на множители, один из этих множителей будет меньше 13. Но все простые числа, меньшие 13, уже были проверены. Значит, число 151 простое и 76557=3×132×151.

	Ответ: 76557=3×132×151.												2	11					6
	Пример 3. Докажите, что число																			является составным
при всех целых .
	Решение. Разложим этот многочлен на множители, решив для этого
			2		11				6	0.		и,							6
уравнение			6			.	6	2		1		Его корни:									и			.	Отсюда
2		11	6			.	6	2		1			следовательно,								2		11				6
	Таким6		2		1
11		6	образом, мы получили разложение целого числа
11		6	на два целых числа:										6	и		2			1		. Если ни				одно из
			на два целых числа:											и							. Если ни					2
этих чисел по модулю не равно единице, то																	исходное число является
составным. Равенства									6			1;		6			1;		2			1			1	невоз-
можны, равенство					2			6	1	1	возможно при								0	, но при						0	чис-
ло	2	11		6				6	является составным.											2		2			1.
ло									является составным.
																в
	Пример 4. Разложите на два сомножителя число
	Решение. Заметим, что если слагаемое																	исходном числе домно-
жить на 2, получится формула суммы														квадратов:							2	2	2 1
жить на 2, получится формула суммы															2						2	2	2 1

21 . Тогда добавим и вычтем число 2 в исходную формулу,

получив: 2 2 1 2 2 2 1 2 . Последнее выраже-

							7		квадратов: 2 1			2
ние	можно		разложить		как	разность			квадратов: 2 1			2
2	1 2		2	1=	2 .	2	1	2	2	1	.
Ответ:		2	2	1	2	2	1	2	2	1
Ответ:

1.3. Каноническое разложение числа. Нахождение количества делителей

Вернёмся к основной теореме арифметики (см. п. 1.2.)

Если в разложении натурального числа , большего единицы, встречаются одинаковые простые числа, их удобно группировать в степени. В результате получается:

где			различные простые числа. Если потребовать, чтобы
		–	, то такое разложение…		будет,	абсолютно однознач-
	разложение называется каноническим.
ным. Это, ,…,		31752 2 ·3 ·7		.
Зная
Например,
	каноническое разложение, можно найти все делители числа .
Они имеют вид			, где каждый показатель степени				мо-
принимать значение от 0 до .
жетПример 5. Найти все делители…				числа 28.
Решение. Разложим число 28 в канонический вид:							. Та-

сутствовать только двойка в степени не более двух, а							28	2	7
степени не более единицы. Выпишем все делители в таблицу:
2	7	1	2	7	2	2		7	4
2	7	1	2	7	2	2		7	4
2	7	7	2	7	14	2		7	28

ким образом, в разложении каждого из делителей числа 28 может притакже семёрка в

Ответ: делители числа 28 суть 1, 2, 4, 7, 14 , 28.

Заметим, что если сложить все делители числа 28, кроме него самого, мы получим 1 2 4 7 14 28, т. е. исходное число. Числа, равные сумме своих меньших самого числа делителей, называются совершенными. Таким образом, 28 – совершенное число.

Зная каноническое разложение, можно найти количество всех дели-

телей числа. Действительно, пусть						Делители такого
числа имеют вид		…	,	где каждый…показатель.			степени
можно выбрать независимо				способом (от 0 до		. Все эти чис-
ла надо перемножить. Таким			образом,		количество делителей			числа
			1
…	равняется			1	…	1 .
	1

Следствие: число имеет нечётное количество делителей, только если это число является квадратом.

Действительно, нечётное количество делителей, равносильно тому,


что каждый сомножитель в формуле для				нечётен, значит все числа
числа1,в	1,…,	1	– нечётны, и вхождение каждого простого
	чётно. Это означает, что является полным квадратом.				… ,
		1.4. Нахождение НОД и НОК
Запишем каноническое разложение чисел				и :

…. Вообще-то говоря, входящие в состав разложения

и простые числа могут быть разными, например
«	10 2 5	. В таком случае дополним разложение	каждого числа
		. В таком случае дополним разложение	15 3	5 ,

недостающими» простыми числами в нулевой степени. В этом же

Итак,	15 2 3 5 ,					10 2	3	,	5где.	и
примере,				…	,		…

	для всех от 1 до					. В таком случае можно записать явные
формулы НОД(				и НОК(		:
, 0		=,
1. НОД(					…	,, где	– меньший из показателей			, .
2. НОК( ,		=				, где	– больший из показателей
Также стоит,					следующее свойство НОК и НОД:					, .
		отметить…
3. НОД(		× НОК(				= .
Это свойство,			следует		,из того, что сумма меньшего и большего из

двух показателей равна сумме обоих этих показателей, взятых в произ-

вольном порядке.

Пример 6. Найдите НОД (30, 25).

Решение. Запишем канонические разложения чисел 30 и 25 и до-

полним их «недостающими» простыми числами.				2 ·3 ·5	5.
30 2 ·3 ·5	;	25 2 ·3 ·5 .	30,25

По формуле 1 (выше) получим: НОД

Ответ: 5.

§2 Десятичная запись числа

Всякое натуральное число единственным образом представимо в

десятичной записи, которая имеет вид					·10		·10	,
	.	·10	·10	,		,
	0		…		. , ,		– цифры от 0
где – натуральное число или 0, а ,
до 9,		Для краткости это число также записывают в виде

Крышка сверху ставится, чтобы отличить десятичную запись числа

от произведения цифр	·				.
Число называется		значным в том и только в том случае, если
верно неравенство		· …·	.	· ·

Пример 7. Незнайка перемножил все цифры какого-то натурального

числа, и получил 2013. Докажите, что Незнайка ошибся.
10	10
Решение. Разложим 2013 на простые множители.		.

2013 3·11·61

Число 61 является простым, и, согласно свойству 4 делимости, если произведение чисел делится на 61, какое-то число должно также делиться на 61. Однако, цифры 1,…,9 нацело на 61 не делятся, а если среди цифр этого натурального присутствует 0, то и произведение всех цифр также равно 0. Противоречие.

Пример 8. («Физтех-2012») Последнюю цифру шестизначного числа переставили на первое место и полученное число вычли из исходно-

Решение. Пусть шестизначное число618222;618252

могли полу-

го числа. Какие числа из промежутка

читься в результате вычитания?

имеет десятичную запись

Для удобства

обозначим

тогда

поставим последнюю цифру

на первое место,

получим число.. Теперь

Заметим, что

00000

После вычитания полученного.

числа из исходного, получим

таким

10 ·

99999· .

Данная запись показывает, что полученная разность делится на 9,

Осталось объяснить, почему каждое618222;618252

могут подойти

образом, из чисел промежутка

только числа, делящиеся на 9: 618228, 618237, 618246.

из этих чисел подходит.

цифра. Поделив обе части на 9, получим:

99999·

Найдем хотя бы одно решение уравнения

618228

, где – произвольное пятизначное число, а

– ненулевая

11111·

68692.

Взяв

79803

и исходное шестизначное число

, получим

сти 10

798031

Следовательно,

618228

– подходит.

Ответ: 618228, 618237, 618246.

798041,798051

в качестве разно-

Аналогичным образом, при

мы получим два других числа: 618237, 618246, ч.т.д.

*Пример 9 (ЕГЭ-2013, Уральский регион

a) Чему равно количество способов записать число 1292 в виде

·10	?	·10	·10	, где числа	– целые, 0	99,
0,1,2,3

			10
б) Существуют ли 10 различных чисел				, которые можно предста-
вить в виде	·10	·10	·10	, где числа	– целые,

099, 0,1,2,3 ровно 130 способами.

	в) Сколько существует таких чисел					, которые можно представить в
	,	·10	·10	·10	,	где числа	– целые,	0
виде		0,1,2,3			,	где числа	– целые,
99		0,1,2,3	ровно 130 способами.
			ровно 130 способами.

Замечание. Насколько известно автору, в Уральском регионе эту задачу полностью не решил никто (даже призеры финала всероссийской олимпиады школьников). И это даже с учетом того, что автор видел условия ЕГЭ по математике 2013 года, включая прототип этой задачи, в свободном доступе в сети интернет за 3 дня до написания ЕГЭ. В других зонах (Центр, Сибирь, Дальний Восток) был значительно более легкий прототип задачи C6, с которым не возникло особых сложностей, а вот Уралу «повезло». Возможно, прорешивающим ЕГЭ прошло-

го года все же интересно, как все же должна

решаться эта задача, по-

этому удовлетворим их любопытство.

Решение.

мы можем ·10

·10

делится на 10, по-

этому число

Заметим,

что число

выбрать десятью способами – это будет лю-

99, оканчивающееся на 2. Поэтому, число

бое из чисел от 0

до

будет равняться числам, делящимся на 10, от·

1200 до 1290. Написав для числа 1200, например, уравнение

·10

·10.

1200

и, разделив на 10,

получим,

·10

120

Фактически, мы пришли к задаче такого же типа, но на

«уровень меньше» - уравнение теперь зависит от трёх переменных, а не четырёх. Такой способ задает начало перебора, который можно довести до конца и получить ответ 130. Однако пункт в) с помощью такого перебора решить уже проблематично.

Поэтому, приведем более простое решение этой задачи, основанное

на следующем факте Разложение								образом, если бы				·10	за-
давало бы число 1292 единственным								·10			·10	·10	99
	, поэтому			0		9		0,1,2,3			. Здесь же,	0	99	,
ли бы цифрами, то есть						,					. Здесь же,	, ,		,
А0,1,2,3			разложение может быть неоднозначным.
но задает любое		·10			,	0	,		99	, наоборот, уже однознач-
вот число					,					, наоборот, уже однознач-

число от 0 до 9999. Фактически, это равносильно заданию числа не в десятичной системе, а в системе с основанием 100, то-

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке МАТЕМАТИКА

#
03.06.2015836.96 Кб489m11_1_алгебраические_уравнения_неравенства_системы.pdf
#
03.06.2015633.52 Кб616m11_2_планиметрия.pdf
#
03.06.2015527.77 Кб495m11_3_тригонометрические_уравнения_системы.pdf
#
03.06.2015739.63 Кб509m11_4_показательные_логарифмические.pdf
#
03.06.20151.13 Mб499m11_5_стереометрия.pdf
#
03.06.2015398.3 Кб492m11_6_теория_чисел.pdf
#
03.06.2015582.15 Кб492m8_1_тождественные_преобразования_уравнения.pdf
#
03.06.2015876.28 Кб650m8_2_геометрия.pdf
#
03.06.2015602.62 Кб489m8_3_системы_уравнений.pdf
#
03.06.2015324.85 Кб479m8_4_квадратные_корни.pdf
#
03.06.2015321.37 Кб477m8_5_квадратные_уравнения.pdf

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

	2	3	5	7		11	13		17	19
		23	25		29	31		35	37
41		43		47	49		53	55		59
61			65	67		71	73		77	79
		83	85		89	91		95	97

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

	2	3	5	7		11	13		17	19
		23	25		29	31		35	37
41		43		47	49		53	55		59
61			65	67		71	73		77	79
		83	85		89	91		95	97

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

	2	3	5	7		11	13		17	19
		23	25		29	31		35	37
41		43		47	49		53	55		59
61			65	67		71	73		77	79
		83	85		89	91		95	97