ЗФТШ_2013-2014_полное / ЗФТШ_2013-2014_полное / МАТЕМАТИКА / m10_4_тригонометрические_функции_уравнения
.pdf
2013-2014 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
Но в некоторых задачах такая замена не очень удачна. Рассмотрим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выражение asin x bcos x , |
умножим и разделим его на |
|
|
a2 b2 : |
||||||||||||||||||||||||
y x a sin x b cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
a 2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
cos x . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
b |
2 |
|
|
|
a |
2 |
b |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Заметим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
b |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
2 |
b |
2 |
a |
2 |
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Поэтому точки с координатами
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a |
2 |
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a |
2 |
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 b2 |
|
|||
|
|
|
|
|
, |
|
b |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||
a 2 b2 |
|
|||
|
|
|
|
|
,
,
|
b |
|
|
|
|
|
a |
|
|
||
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a2 b2 |
|
|
|
|
a2 b2 |
|||||
|
b |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a 2 b2 |
|
|
|
|
|
a 2 b2 |
||||
принадлежат единичной окружности (всего восемь точек), и каждая пара координат может быть принята за косинус и синус соответствующего угла.
При этом всегда найдутся две пары положительных чисел, а значит, угол в первой четверти, который может быть записан в виде любого “арка”.
При необходимости или желании можно выбрать любую пару, преобразовав соответственно заданное выражение.
Положим, например,
|
|
a |
|
cos , |
|
|
b |
|
sin . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a2 b2 |
|
|
a2 b2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда заданное выражение y x a sin x b cos x примет вид |
||||||||||
|
y x |
|
|
|
sin x , т. к. |
|||||
|
|
|
a2 b2 |
|||||||
y x 
a2 b2 cos sin x sin cos x 
a2 b2 sin x .
Уравнение a sin x b cos x c примет простейший вид
sin x |
|
|
c |
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
a 2 |
b2 |
|||||
|
|
|
|
2013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична
21
2013-2014 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
Пример 10. При каких значениях параметра a уравнение
3sin 2x 4cos 2x a
имеет решение?
► Разделим обе части уравнения на 
32 42 5 :
|
|
|
|
|
3sin 2x 4 cos 2x a |
3 |
sin 2x |
4 |
cos 2x |
a |
. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||
|
Пусть |
|
|
3 |
cos , |
4 |
sin . |
|
Тогда |
уравнение |
примет вид |
||||||||||||||||||||||
|
5 |
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
sin |
2x |
a |
. Теперь ясно, что решение существует, если |
|
a |
|
5 . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Ответ: 5;5 .◄ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
9. Решение уравнений вида F sin x cos x;sin x cos x 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Уравнения вида |
F sin x cos x; |
sin x cos x 0 сводятся к алгебраиче- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ским заменой t sin x cos x . Из тождества |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x cos x 2 |
1 2sin x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
получаем |
sin x cos x |
|
t |
2 1 |
, тогда уравнение записывается в виде |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
t2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
F t; |
|
|
|
0 |
. Следует иметь в виду, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin x |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
поэтому допустимые значения t таковы, что |
t |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Пример 11. Решите уравнение sin x 2sin 2x cos x 1. sin x 2sin 2x cos x 1
sin x cos x 2 1 sin x cos x 2 1 0
2 sin x cos x 2 sin x cos x 3 0
|
sin x cos x 1, |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
sin x cos x |
|
2 |
||||
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
2013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична
22
2013-2014 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
|
|
|
|
|
|
sin x cos x 1 sin x |
|
||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 n, n |
|
|
|
x |
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
x |
|
|
2 n, n . |
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
|
|
|
|
1 
2
Ответ. |
|
2 n, |
3 |
2 n n ◄ |
|
4 |
4 |
||||
|
|
|
10. Нестандартные уравнения
Пример 12. Решите уравнение sin8 x cos5 x 1.
►sin8 x cos5x 1
sin8 x cos5 x sin2 x cos2 x
cos2 x 1 cos3 x sin2 x 1 sin6 x 0
cos2 x 0 1 sin6 x 0,
1 cos3 x 0 cosx 1 x 2 n, n
x n, n , x 2 n, n
2
sin2 x 0
Ответ. 2n 1 , 2 n, n Z . ◄
Пример 13. Решить уравнение sin 4 2x cos 2 x 0.
►Так как оба слагаемых неотрицательны, то равенство достигается тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю
sin 2x 2sin x cos x 0, |
cos x 0 x |
|
k, |
k . |
|
|
|
|
|||
cos x 0 |
|
|
2 |
|
|
Ответ. k, |
k .◄ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична
23
2013-2014 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
Пример 14. Решить уравнение sin5xsin 4x 1.
►При решении таких уравнений удобнее перейти к сумме(разности)
|
|
|
|
|
|
|
cos x 1, |
|
|
|
sin 5x sin 4x 1 cos x cos 9x 2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos 9x 1 |
|
||
|
x 2 n, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
cos 9x cos18 n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ. .◄ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Контрольные вопросы |
|
|
|
|||||
1(2). |
Определить множество |
значений |
E f |
|
функции |
|||||
f x cos 3x, |
заданной на отрезке |
|
; |
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
12 |
|
12 |
|
|
|
|||
2(2). Найти значение выражения cos 2x 2, если tg2 x |
|
|
||||||||
2 1. |
||||||||||
3(2). Пусть |
f x – периодическая функция с периодом 1, такая, что |
|||||||||
f x x2 |
при |
x 0; 1 . Решите уравнение f 2x 5 2 f x 1. |
||||||||
4(3). Определить, являются ли чѐтными, нечѐтными или функциями общего вида следующие функции:
а) y |
x 4sin x |
, б) |
y |
|
x 1 |
|
|
|
x 1, |
в) y |
|
3x 1 |
, |
|
|
|
|
||||||||||
tg2 x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
9x2 6x 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5(2). Нечѐтная функция |
y f x определена на всей числовой пря- |
||||||||||||
мой. Для всякого неположительного значения переменной значение
этой |
функции |
совпадает |
со |
значением |
функции |
|||
g x x 2x 1 x 2 x 3 . Сколько |
корней |
имеет |
уравнение |
|||||
f x 0 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
6(3). |
Найдите |
произведение |
наименьшего |
|
значения |
функции |
||
y 15 3cos2 x на наибольшее. |
|
|
|
|
|
|||
7(3). Упростите выражение |
sin 2 |
27 sin 2 63 |
. |
|
|
|||
sin18 cos18 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
2013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична
24
2013-2014 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
Решите уравнения 8 – 12 8(4). cos 2x cos x 1 0.
9(4). sin 2 x sin x cos x 2 cos 2 x 0. 10(4). sin 2x 2 cos 2x 0.
11(3). sin 3x cos x 0.
12(3). sin x sin 5x cos 2x 0.
Задачи
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1. а)(2) Решите уравнение 2 cos |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x sin x |
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
б)(2) |
|
Найдите |
корни |
этого |
уравнения, |
принадлежащие |
отрезку |
|||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
; . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. а)(2) Решите уравнение 6sin2 x 7 cos x 7 0. |
|
|||||||||||||||
|
|
б)(2) |
|
Найдите |
корни |
этого |
уравнения, |
принадлежащие |
отрезку |
||||||||||
3 ; . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3. а)(2). Решите уравнение 7sin2 x 2sin 2x 3cos2 x 0. |
|
|||||||||||||||
|
|
б)(2). |
|
Найдите |
корни |
этого |
уравнения, |
принадлежащие |
отрезку |
||||||||||
|
3 |
|
; |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решите уравнения 4 – 12 |
|
|
|||||||
|
|
4(3). |
|
3ctg2 x 4ctgx |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
5cos2 x 4 cos x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5(3). 3sin 2 x sin x cos x 1.
6(4). 
cos x 
2 sin 2x .
7(3). sin 2x 3sin x 3cos x 3 0.
2013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична
25
2013-2014 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
8(4). sin 7x sin 3x cos x cos 3x 0. 9 (2). 5sin x 12cos x 12.
10(3). sin 7xsin 9x 1.
11(3). sin x cos 2x 1.
12(4). cos 3x 1 . cos 2x
Литература. Колесникова С.И. «Методы решений тригонометрических уравнений». Москва, 2013.
2013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична
26