Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m11_4_показательные_логарифмические

.pdf

Скачиваний:

519

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

739.63 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

2013-2014 уч. год, №4, 11 кл. Математика.

Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства.


			f x 0,
	log a f x log a
	log a f x log a		g x g x 0,	(УР Л6*)
			a 1 f x g x 0 0 .

Отсюда следует, что

		знак разности loga f x loga g x совпадает со
		знаком произведения a 1 f x g x в ОДЗ		(УР Л7)

При решении простейших логарифмических неравенств, конечно, можно не использовать (УР Л4) и (УР Л6). Однако, (УР Л4) и (УР Л6) дают возможность просто справиться с неравенствами, решение которых обычным способом потребует гораздо больше вычислений.

Пример 19. Решите неравенство

									lg 3x2 3x 7 lg 6 x x2																0.

												10x 7 10x							3
												10x 7 10x							3
			2			3x	7 0 x								R,
	3x					3x	7 0 x								R,			x 2;3 .
ОДЗ:																		x 2;3 .
				2		x	6 0 x 2;3 .
	x					x	6 0 x 2;3 .
	lg 3x2 3x 7 lg x2 x 6																	0 В ОДЗ, в силу (УР Л7),
			10x 7 10x 3															0 В ОДЗ, в силу (УР Л7),
			10x 7 10x 3
		3x 2 3x 7 x 2 x 6																		2x 1 2								0
																											7	0
								7					3								3						7
					x					x							x					x
					x					x							x					x
							10						10						10							10
						3			1			7											3					1		7
x ;														;		x					2;										;3
x ;														;		x					2;										;3
					10				2			10											10					2		10


							+								1							+							x
							+															+
						2					3								7					3
											3								7
							10								2				10
							10								2				10

2013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична

2013-2014 уч. год, №4, 11 кл. Математика.

Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства.

		3	1		7
Ответ:	2;						;3	.

		10		2		10

В этом примере разность логарифмов не меняет знак при переходе через точку x 12 , а следующие нули находятся близко. «Пробные»

точки подставлять затруднительно. Пример 20. (МГУ, 1998, мех – мат.) Решите неравенство

																									2x x2 log																			x												2x x2 .
								11					x																																				3
								11					x																																				3
log	2			x												1				log				3																												log			2


								2				2																											3				3						2
								2				2																															3						2
				x 5,5 0 x 5,5;
																	x 2
																																																	x 2;0 .
							x 5,5														0,
ОДЗ:
ОДЗ:																		2
																		2
																0 x x											2 0 x 2;0 .
				2x x										2		0 x x											2 0 x 2;0 .
														2
																							2x x2																		x													2x x2
									11			x																													x						3
log				x					11			x				1 log																	log														3		log
log				x												1 log																	log																log
	2							2				2										3															3				2						2						2
								2				2																													2						2
																									2x x2 log																	x												2x x2
										11						x																										x						3
log						x				11						x	1 log																																log


			2								2				2									2														2			2						2						2
											2				2																										2						2
																																																			x
																														11				x																	x
log								2x x									2 log											x		11				x		1				log														3		0
																																																						3

						2																2							2				2														2			2				2
																													2				2																	2				2
В ОДЗ, в силу (УР Л5) и (УР Л7),
																																								x
																		2											11				x							x						3


																										x									1															0
									2x x 1																	x									1															0
																													2				2							2						2
																													2				2							2						2

																							11								1
					x 1 2															x			11				x				1		0 (					x			x в ОДЗ)
					x 1 2															x							x						0 (					x			x в ОДЗ)
																							2						2


																							1																							1
											2							11					1																							1
		x 1													x												x					0 Т. к.																	x				0 в ОДЗ
		x 1													x												x					0 Т. к.																	x				0 в ОДЗ
																			2				2																						2
																			2				2																						2

2013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична

2013-2014 уч. год, №4, 11 кл. Математика.

Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства.

					2				11	1		2
			x 1			x					x			0
			x 1			x					x			0
									2	2
									2	2
		2
	2	2					21						2		7		3
x 1		x 2x					21			0	x 1			x	7	x	3	0


							4								2		2
x				3			7			1 ОДЗ. Учитываем ОДЗ:
		;						;
		;						;
				2			2

											2							3								1				0								7								x
											2							2								1				0							2
																		2																			2
Получаем
								2;							3		1 .
		Ответ:
		Ответ:

															2
		Пример 21. (МФТИ, 1992)																						1				9		2 7 x							1.
																										log7
																										log7
																									x			2
ОДЗ:				9	2 7 x									0						9	7x		2 0 x log												4		.
ОДЗ:					2 7 x									0							7x		2 0 x log										7				.
				2														2															7		9
				2														2																	9
									1								9													1							9											x
Тогда в ОДЗ												log						2 7					x 1									log								2		7 x
Тогда в ОДЗ												log						2 7					x 1									log								2		7 x
										x						7	2														x			7			2											x
						9								x													9
			log 7				2					7		x			x					log 7						2	7 x				log 7 7 x
			log 7			2	2					7					x					log 7					2	2	7 x				log 7 7 x
						2																					2																0
										x																					x												0
										x																					x
В ОДЗ, в силу (УР Л7),
9				x							x										2 x			9			x												x						x		1
																																				7					4			7
																																				7					4			7
	2 2 7						7						0						7			2 7 2								0																	2		0
													0																	0																			0
			x																						x																		x

2013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична

2013-2014 уч. год, №4, 11 кл. Математика.

Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства.

				7										log7		1
					x			log	4			x		log7
						7					7		7
						7		7			7		7		2
								7							2

																			0 В силу (УР П2),
										x									0 В силу (УР П2),
										x
										1
	x log	7	4 x log						7													1
	x log		4 x log
										2
												0 x								; log 7			0; log	7	4
				x								0 x								; log 7		2	0; log	7	4
				x																		2
	С учѐтом ОДЗ,																	4			1		0;log7 4 .
													x log				7			;log7
													x log				7	9		;log7	2
																		9			2
						4				1		0;log7					4 .
Ответ: log7							;log		7
Ответ: log7						9	;log		7	2
						9				2

§10. Неравенства для логарифмов с переменным основанием

	Рассмотрим неравенство		loga x f x 0 , где	a x , f x непре-
рывны на промежутке X .
ОДЗ: a x 0, a x 1,		f x 0. Оказывается, что и в этом случае

	знак функции loga x	f x	совпадает со знаком
	произведения a x 1		f x 1 в ОДЗ	(УР Л8)

и имеет место условие равносильности

loga x f x 0 0 a x 1 f x 1 0 0 в ОДЗ. (УР Л10)

Можно записать полное условие равносильности, включающее ОДЗ.


	a x 0,

	log a x f x 0 0 f x 0,	(УР Л10*)
	a x 1 f x 1 0 0 .


2013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична

2013-2014 уч. год, №4, 11 кл. Математика.

Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства.

Для нестрогого неравенства это условие выглядит по-другому.

	a x 0,

	a x 1,
loga x	f x 0 0		(УР Л11)
	f x 0,
	a x 1 f x 1 0	0 .

Действительно, по определению, log		f x	lg f x	,
Действительно, по определению, log	a x	f x	lg a x	,
	a x

a x 0, a x 1, f x 0.

В силу предыдущего условия равносильности (УР

Л5), знаки

lg f x , lg a x

совпадают со знаками разностей

f x 1 и

a x 1

соответственно.

Поэтому знак

lg f x

совпадает со знаком частного

lg a x

f x 1

, или со знаком произведения a x 1 f x 1 .

a x 1

Рассмотрим

неравенство

loga x

f x loga x

g x ,

где

a x ,

f x , g x непрерывные функции и a x 0, a x 1.

По определению, log

f x log

g x

lg f x lg g x

, и, в

a x

lg a x

силу (УР Л5) и (УР Л7),

знак разности

loga x

f x loga x

g x совпадает

со знаком произведения a x 1 f x g x в ОДЗ.

(УР Л12)

Из полученного условия равносильности следует, что

2013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична

2013-2014 уч. год, №4, 11 кл. Математика.

Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства.


log a x f x log a x g x	в ОДЗ.	(УР Л13)
a x 1 f x g x 0 0	в ОДЗ.	(УР Л13)
a x 1 f x g x 0 0

Заметим, что из (УР Л12) автоматически следует, что a x 1, поэтому при решении строгих неравенств условие a x 1 в ОДЗ можно опу-

стить и так записать полное условие равносильности, включающее ОДЗ.


	a x 0,

	f x 0,
log a x	f x log a x g x g x 0,	(УРЛ 13*)

	a x 1 f x g x 0.

Преимущество и красота приведенных условий равносильности состоит в том, что мы за один шаг освободились от логарифмов и переменных оснований. Теперь, если основание логарифма и подлогарифмическое выражение являются рациональными функциями, можно воспользоваться классическим методом интервалов.

Заметим, что все условия равносильности формально точно такие же, как и для логарифмов с постоянным основанием, а потому легко запоминаются.

Пример 22. (МФТИ, 1980) Решите неравенство logx2 3 4x 7 0.
В силу (УР Л10), log x2 3 4x 7 0
			7 0 x	7
4x					,
4x				4	,
				4

	2		3 0 x ; 3 3; ,
x			3 0 x ; 3 3; ,
										3
x		2	3 1 4x 7 1							3
						0 x 2 x			2 x		0
						0 x 2 x			2 x		0
										2
										2
					7
					7
			x				; 3	2; .
			x		4		; 3	2; .
					4

2013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична

2013-2014 уч. год, №4, 11 кл. Математика.

Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства.

2		7	3	3	3	2	x
2		4	3	2	3	2
		4		2
Ответ:	7	;	3 2; .
	4

Но, как показывает практика, не всегда удобно пользоваться полными условиями равносильности. Это происходит, если входящие в условия равносильности неравенства громоздки. Тогда удобно отделить нахождение ОДЗ от решения основного неравенства, как мы часто и будем делать.

Пример 23. (МФТИ, 1994). Решите неравенство

																			1	x
	1							1

																			3
log8		x log				2 x	1			x		log				2									.
log8		x log					1			x		log				2									.
	3						3	3													1		2
																							2

																	3 2x
																	3 2x
																					3
	1		x 0 x								;				1
																,
	3															,
	3														3

				1									1
	2x				0 x									.
	2x			3	0 x								6	.
ОДЗ:				3									6
ОДЗ:				1									3 1									1					2
				1									3 1									1					2
	2x				1 x													x						,				.
	2x			3	1 x									6				x				3		,			3	.
				3										6								3					3
									2						2			1						1			1
	x				;					;						;										;		.
	x				;					;						;										;		.
									3						3			6						6 3

								1
	1				1				x
									x
								3
log8		x log	2 x	1		x	log2


	3				3					1	2
				3						1
							3	2x
							3	2x
										3

2013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична

2013-2014 уч. год, №4, 11 кл. Математика.

Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства.

	1				1										1				1					2					1
	1				1										1				1					2					1
		log	2			x log						1				x log 2				x					log 2		2x
		log	2			x log						1				x log 2				x					log 2		2x
	3				3				2 x						3				3					3					3
	3				3				2 x			3			3				3					3					3
							1			2		3		1								1


log				2x				log									x	3log					x			2		0
log				2x				log									x	3log					x			2		0
			2				3				2 x		1	3					2 x		1	3
							3				2 x			3					2 x			3
													3								3

				(т.к. t 2 3t 2 t 1 t 2 )
			1				1					1


log		2x		log				x	1 log				x	2	0
log		2x		log				x	1 log				x	2	0
	2		3		2 x	1	3			2 x	1	3
			3		2 x		3			2 x		3
						3					3

		1				1
		1				1
log2	2x		log		1		x	log


		3		2 x	3	3
					3

			1				1
			1				1
	1	2x		log		1		x


2 x	3		3		2 x	3	3
	3					3

				log					2x				1	2		0
							1
							1						3
					2 x		3						3
В ОДЗ, в силу (УР Л12), log											2x				1	2	0
								1
								1							3
							2 x		3						3
		1	3 1							1			1					2	4		1
		1	3 1							1			1						4		1

	2x		1	x		2x									x 4x					x		0
	2x		1	x		2x									x 4x					x		0
		3								3									3		9
		3	3							3		3							3		9

(т.к. в ОДЗ 13 x 0 )

			1			1					1
			1			1					1
	2x			1			x			2x		36x2			21x 2 0
	2x			1			x			2x		36x2			21x 2 0
			3			3					3
			3			3					3
	1				1			1					1	1			1		1
2x		1		2x		1			x 2x						x	2x		x
2x		1		2x		1			x 2x						x	2x		x
	3				3			3					3	3			3		12

	2			1		2 3		1
x		0	x x		x		x		0

	3			3		3		12

2013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична

2013-2014 уч. год, №4, 11 кл. Математика.

Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства.

		2		1	1
x	;		0;				; .
						3
		3		12

Учтѐм ОДЗ

и получаем

Ответ:

;

Пример 24. (МФТИ, 1996). Решите неравенство

log

25x

9x log

3x 3

5x 3x log

3x 3

5x 1 3x 1 .

log

3x 3

3x 5x 3x

log

3x 3

log

3x 3

5x 1

3x 1

3x 3

0 x 1,

1 0 x 0,

1 5x 3x 5x 1 3x 1 0

3x 3

В силу (УР М5) и (УР П6),

0	2	1	4	x
	3		3

2013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична

2013-2014 уч. год, №4, 11 кл. Математика.

Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства.



x	0,
	1,
x	1,
								5 x 1											5 0									4			2
								5 x 1											5 0			0						4			2
3x 4 3x					2																	0		x						x		x 1 0

								3									3											3			3

				2							4
Ответ: 0;						1;							.
Ответ: 0;						1;							.
				3							3
													Контрольные вопросы
1(2). Верно ли, что а) (1) что lg x2 2 lg x , а
											б) (1) loga2 x												loga		x		?
											б) (1) loga2 x												2				?
																							2
Ответ обосновать.
2(2). Найдите наименьший корень уравнения
													log				3		x 1 2 log					3		x 1			6.
													log						x 1 2 log							x 1			6.

																Решите уравнения 2 – 10
			1			sin2 x
			1							4 5cos 2x 250,5sin 2x.
3(2).		5
3(2).		5
			25

			x 2		sin x									x				sin x			.

4(2). 2												2
4(2). 2												2
5(3). lg x2 6x lg 5x 6 .
							log3						x		.
6(3).			log3		3x								x
6(3).			log3		3x
											3
7(3). log16 x2 2x 3 2 2log16 x2 x 2 0,5.
8(2). 2log2					x 7				log2							x 1				1.
8(2). 2log2									log2											1.
					x 1											x 1
9(2). log3 3x 8 2 x.

2013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке МАТЕМАТИКА

#
03.06.20151.15 Mб577m10_5_стереометрия.pdf
#
03.06.2015406.24 Кб511m10_6_комплексные_числа.pdf
#
03.06.2015836.96 Кб499m11_1_алгебраические_уравнения_неравенства_системы.pdf
#
03.06.2015633.52 Кб625m11_2_планиметрия.pdf
#
03.06.2015527.77 Кб505m11_3_тригонометрические_уравнения_системы.pdf
#
03.06.2015739.63 Кб519m11_4_показательные_логарифмические.pdf
#
03.06.20151.13 Mб514m11_5_стереометрия.pdf
#
03.06.2015398.3 Кб503m11_6_теория_чисел.pdf
#
03.06.2015582.15 Кб502m8_1_тождественные_преобразования_уравнения.pdf
#
03.06.2015876.28 Кб659m8_2_геометрия.pdf
#
03.06.2015602.62 Кб499m8_3_системы_уравнений.pdf