Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m11_1_алгебраические_уравнения_неравенства_системы

.pdf

Скачиваний:

489

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

836.96 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа

Московского физико-технического института (государственного университета)»

МАТЕМАТИКА

Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

Задание №1 для 11-х классов

(2013 – 2014 учебный год)

г. Долгопрудный, 2013

2013-2014 уч. год, №1, 11 кл. Математика.

Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

Составитель: С.И. Колесникова, старший преподаватель кафедры высшей математики МФТИ.

Математика: задание №1 для 11-х классов (2012 – 2013 учебный год), 2013, 32 с.

Дата отправления заданий по физике и математике – 28 сентября 2013 г.

Составитель:

Колесникова София Ильинична

Подписано 10.06.13. Формат 60×90 1/16.

Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,00. Уч.-изд. л. 1,77. Тираж 1200. Заказ №2-а.

Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института (государственного университета)

ООО «Печатный салон ШАНС»

Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Москов. обл., 141700. ЗФТШ, тел./факс (495) 408-5145 – заочное отделение,

тел./факс (498) 744-6351 – очно-заочное отделение, тел. (499) 755-5580 – очное отделение.

e-mail: zftsh@mail.mipt.ru

Наш сайт: www.school.mipt.ru

2013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична

2013-2014 уч. год, №1, 11 кл. Математика.

Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

Цель нашего задания – вспомнить основные правила и приемы решения алгебраических неравенств и систем уравнений. Многие из них вам хорошо известны, некоторые покажутся новыми и, с первого взгляда, даже лишними, но не спешите их отбросить сразу – решите известную вам задачу разными способами и выберите сами тот способ, который вам больше нравится.

§1. Равносильность уравнений и неравенств
В нашем задании большую роль		будет играть понятие	равносиль-
ности.
Два неравенства		f2 x g2 x
f1 x g1 x	и	f2 x g2 x	(1)
или два уравнения		f2 x g2 x
f1 x g1 x	и	f2 x g2 x	(2)

называются равносильными на множестве X , если каждое решение первого неравенства (уравнения), принадлежащее множеству X , является решением второго и, наоборот, каждое решение второго, принадлежащее X , является решением первого, или, если, ни одно из неравенств (уравнений) на X не имеет решений. Т. е. два неравенства (уравнения) равносильны, по определению, если множества решений этих неравенств (уравнений) на X совпадают.

Отсюда следует, что вместо того, чтобы решать данное неравенство (уравнение), можно решать любое другое, равносильное данному. Замену одного неравенства (уравнения) другим, равносильным данному на X , называют равносильным переходом на X . Равносильный пере-

ход обозначают двойной стрелкой . Если уравнение f x 0 (или неравенство f x 0 ) равносильно уравнению g x 0 (или неравенству g x 0 ), то это мы будем обозначать так:

f x 0 g x 0 (или f x 0 g x 0 ).

Пример 1. x2 4 1 x2 sin2 x 2 0 , т. к. ни то, ни другое не имеет решения.

Важно понимать, что для доказательства неравносильности двух неравенств (уравнений) нет необходимости решать каждое из неравенств (уравнений), а затем убеждаться в том, что множества их решений не совпадают – достаточно указать одно решение одного из неравенств (уравнений), которое не является решением другого неравенства (уравнения).

2013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична

2013-2014 уч. год, №1, 11 кл. Математика.

Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

Пример 2. При каких значениях параметра a системы

ax 3y 6a 4,

2 y4 6x 8 0,

y2 2a 4 x

2 a2 a 2 0

x y 2a

равносильны?

Решим сначала первую, более простую систему

ax 3y 6a 4,

y 2a x,

x y 2a

ax 3 2a x 6a 4 x a 3 4

a 3,

a 3

2a 6a 4

y 2a

;

a 3

a 3,

x 4 .

Подставим a 3 во вторую систему

2 y4 6x 8 0,

a 3 :

y2 10x

28 0 x 5

y2 3

0 ,

При a 3 системы равносильны, т. к. при этом значении параметра обе системы не имеют решений.

При a 3 первая система имеет единственное решение. Заметим, что во второй системе y входит только в четной степени, значит, если

решением является пара x0 , y0 , то пара x0 , y0 тоже будет решением. При этом если y0 y0 y0 0 , то решений будет два. Следовательно, единственным решением может быть только пара x0 ,0 . По-

смотрим, при каких a такое решение у системы есть. Подставим эту пару в систему

2013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична

2013-2014 уч. год, №1, 11 кл. Математика.

Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

			x		2,
				0		0,
				2		0,
x2	6x 8 0 x 3 1,		a		a 0 a 1;
0	0	0
x2	2a 4 x 2 a2 a 2 0
x2	2a 4 x 2 a2 a 2 0		x 4,
		0		0
0		0		0
						2,
				2	3a 2	2,
			a		3a 2	0 a
						1.
Итак,	таких a	три: 0, 1, 2. Но при этих			a вторая система может

иметь и другие решения, а если у неѐ других решений нет, то еѐ единственное решение может не совпадать с решением первой системы, и тогда такое a не удовлетворяет условию задачи. Проверим эти значения параметра.

1. a 0 : Первая система имеет решение:	x	4	и	y	4	0 . Сле-

	3			3

довательно, системы не равносильны, т. к. решения систем не совпадают (у второй y 0 ).

2. a 1: Вторая система имеет вид

x2	2 y4 6x 8 0,		y 0,

x2	y2 6x 8 0	x 3		1	4; 2.
x2	y2 6x 8 0	x 3		1	4; 2.

Следовательно, системы не равносильны, т. к. вторая имеет два решения.

3. a 2 :	ax 3y 6a 4,	x 4,
3. a 2 :
	x y 2a	y 0

	x2	2 y4 6x 8 0,
и
и		y2 2a 4 x
	x2	y2 2a 4 x	2 a2 a 2 0

x2	2 y4		6x 8 0,	x 4,
				x 4,
		2	x 4,
x 4			y2 0	y 0.
			y 0
Следовательно, системы при этом значении a				равносильны – они име-

ют единственное решение 4;0 .

Ответ: 2; 3.

При решении неравенств и уравнений часто используются следующие равносильные переходы.

2013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична

2013-2014 уч. год, №1, 11 кл. Математика.

Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

1.	Если функции f x , g x , h x определены на множестве X , то
на этом множестве
	а) f x g x f x h x g x h x .	(УР 1)
	б) f x g x f x h x g x h x .	(УР 2)
2.	Если h x 0 на X , то на X
	f x g x f x h x g x h x ,	(УР 3)

т. е. умножение неравенства на положительную функцию приводит к
равносильному неравенству с тем же знаком.
3. Если h x 0 на X , то на X
f x g x f x h x g x h x ,	(УР 4)

т. е. при умножении неравенства на отрицательную функцию знак не-
равенства меняется на противоположный.
4. Если h x 0 на X , то на X
f x g x f x h x g x h x .	(УР 5)

5.Если обе части неравенства неотрицательны на X , то возведение

вквадрат обеих частей приводит к равносильному неравенству, т. е.

x g x f 2 x g2 x . (УР 6)

Если обе части неравенства отрицательны, то умножив обе части на (–1), придѐм к неравенству противоположного знака, но с положительными частями, и к нему применим (УР 6).

Если левая и правая части неравенства имеют разные знаки, то возведение в квадрат может привести как к верному, так и к неверному

неравенству: 4 5; 16 25; 7 5, но 49 25, поэтому в этом случае

нельзя возводить неравенство в квадрат.
6.	Если обе части уравнения неотрицательны, то
	f	x g x f 2	x g2 x .	(УР 7)
7.	Для любых f x	и g x на X и любого натурального n
	f x g x f 2n 1 x g2n 1 x .			(УР 8)
8.	Неравенство вида f x 0 0		называется нестрогим. По опре-
делению,
		f	x 0,
	f x 0 0		x 0 0 .	(УР 9)
		f	x 0 0 .

§2. Иррациональные неравенства

Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чѐтной степени существует

2013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична

2013-2014 уч. год, №1, 11 кл. Математика.
Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содер-
жащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.
Пример 3. (МГУ, 1998) Решите неравенство								x 3 x 1.
	Это	неравенство		можно
решить несколькими способами.
Решим его графически (рис. 1).
Построим		графики	функций			3		1	x
y	x 3 ,	y x 1	и посмот-			3		1	x
y	x 3 ,	y x 1	и посмот-
рим, где первый график распо-
ложен выше второго. Для
нахождения		решения	останется					Рис. 1
решить только уравнение				x 3 x 1 (и не надо рассматривать слу-
чаи					разных				знаков
для x 1!).
		x 3 x 1		x 1 0,			x 1 x		3;1 .

				x 3 x2 2x 1
Ответ: 3;1 .
Сначала приведѐм уже выведенные в 10-ом классе условия равно-
сильности для уравнений (в частности, для того, чтобы была понятна
приведѐнная уже здесь нумерация условий равносильности для корней
(УР К)):			f x a2 f x a4 .						(УР К 1)
						g x 0,
			f x
			f x		g x				(УР К 2)
						f x g 2 x .

			f x		g x	ОДЗ
			f x		g x	f x g x .			(УР К 3)
						f	x g x ,
			f x		g x
			f x		g x	f x 0,			(УР К 4)

						g x 0.


п.1. Неравенства вида					f x g x и		f x g x .
ОДЗ: f x 0 .
Рассмотрим неравенство					f x g x . Докажем, что
2013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична
									7

2013-2014 уч. год, №1, 11 кл. Математика.

Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

g x 0,

f x 0;

(УР К5)

g x 0,

x .

f x g


						g x , то
1. Если		x является решением		неравенства	f x
f x 0
	и	f x	существует. При этом неравенство заведомо выпол-
нено при	g x 0 .		Если же g x 0 , то возведение в квадрат обеих
частей	неравенства приводит к			равносильному неравенству

f 2 x g2 x .

2. Пусть теперь x является решением совокупности неравенств

g x 0,

f x 0;

g x 0,

f x g 2 x .


Тогда: а) если g x 0 и	f x 0, то существует							и заведо-
Тогда: а) если g x 0 и	f x 0, то существует					f x		и заведо-
		g x ;
мо выполнено неравенство	f x	g x ;
б) если g x 0 и f x g2 x 0				g x			g x 0,
б) если g x 0 и f x g2 x 0			f x	g x	f x		g x 0,