ЗФТШ_2013-2014_полное / ЗФТШ_2013-2014_полное / МАТЕМАТИКА / m8_4_квадратные_корни

Например,

64 =8; 1, 44 =1, 2; 0 =0.

Равенство

a =b является верным, если выполняются два условия:

числа – число неотрицательное. Поэтому выражения

−49 и

−3,5 не

имеют смысла.

Из определения арифметического корня следует, что если

a имеет

смысл, то (

a )2 = a и

a2 =

a

.

a2 =

Докажем, что,

действительно,

a

. Если a ≥ 0,

то из определе-

ния арифметического корня следует, что

a2 =

a

.

Если же a <0,

то −a >0

и (−a)2 = a2 .

Таким образом, арифметиче-

ский корень

a2

равен

a,

если

a ≥0 и равен (−a),

если a < 0, т. е.

a2 =

a

.

4

Пример 1. Найдите значение выражения:

а) 2

12, 25 −0,1 0, 25;

б) (−9)2 ; в)

−16, 2.

а)

Из

определения

арифметического корня

следует, что

12,25 =3,5,

т. к. 3,5 >0

и 3,52 =12, 25;

0, 25 =0,5,

т. к. 0,5 > 0 и

0,52 = 0,25. Получаем: 2 3,5 −0,1 0,5 =7 −0,05 = 6,95.

б)

(−9)2 =9, т. к. (−9)2 =

−9

=9.

а)

3x

; б)

2x +1

?

x +

x −1

x + 2

а) Выражение

x −1

определено, если x −1 ≥0, т. е. при

x ≥1. Но

так как

x −1

стоит в знаменателе, то он не должен быть равен нулю,

т. е. данное выражение имеет смысл при x >1.

б) Выражение

x

определено при x ≥0, а выражение

x + 2 опре-

делено при x + 2 ≥ 0, x ≥ −2.

Таким образом, при x ≥ 0 определены оба

корня. При таких

x имеем:

x ≥ 0

и x + 2 > 0,

поэтому знаменатель

при x ≥0 не обращается в нуль,

значит, при

x ≥0 данное выражение

имеет смысл.

Пример 3. Решите уравнение:

а)

x + 2 = 0, б)

x −3 = 0, в)

5x +6 = 6, г)

3x −7 = −5.

а)

Арифметический

корень

x

определён при

x ≥0,

при этом

x ≥ 0,

значит, при любом

x ≥ 0

выражение

x + 2 ≥ 2,

поэтому дан-

ное уравнение не имеет решений.

(

б)

x = 3.

Из

определения арифметического

корня

следует, что

x )2

= x =9,

т. е. x =9

является корнем уравнения.

(

в)

Предположим,

что данное

уравнение

имеет решение, тогда

5x +6 )2

=5x +6 = 62. Отсюда уже видно, что 5x +6 > 0,

т. е. выраже-

ние

5x +6

определено.

Решаем

уравнение:

5x +6 =36,

5x =30,

5

§2. Уравнение x2

= a

Если a <0, то уравнение

x2

= a

не имеет решений. Если a = 0, то

уравнение имеет

единственное

решение

x = 0.

Рассмотрим

теперь

уравнение x2 = a при a >0.

y = x

2

и

y

Рассмотрим графики функций

y=x 2

y = a. Если a =1,

то уравнение

x2

=1 имеет

два корня: 1 и −1.

Если a = 4,

то уравнение

4

x

2

= 4 имеет два корня: 2

и

−2.

Один из

y=a

a

корней совпадает с арифметическим корнем

из числа 4, а второй корень – число, проти-

воположное первому корню.

1

x2

Рассмотрим теперь уравнение x2

= 2.

2

x1

x

В первом задании мы уже говорили о

1 0

1

2

том, что не существует рационального числа, квадрат которого равен

двум. Арифметический корень

2 является числом иррациональным.

Пример 1. Докажите, что число

7

является числом иррациональ-

ным.

Предположим, что

7

является

числом

рациональным, т. е.

7 = m , где n – натуральное

число, m – целое

число и

m

– несо-

n

n

кратимая дробь. Из определения арифметического корня следует, что

m > 0, т. е. m должно также быть натуральным числом.

Тогда

2

( 7 )2 = 7 = m2 , 7n2 = m2 .

n

7, поэтому и m2

Левая часть полученного выражения делится на

делится на 7, т. е.

m делится на 7. Предположим, что число m не де-

лится на 7, тогда m = 7k + p, где p может быть равным 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Рассмотрим уравнение: 7n2 =(7k + p)2 ,

ния

7n2 = 49k2 , n2 = 7k2 . Тогда легко установить, что n делится на 7,

т. е.

n = 7q, но тогда дробь

m

сократимая, что противоречит нашему

n

6

предположению. Следовательно, число

7 является иррациональным

числом. ▲

a >b ≥0, то

a > b. Поэтому,

на-

Из рисунка следует, что если

пример, 119 >

80;

2,37 >

1,5.

В школьных учебниках доказываются три теоремы.

Теорема 1. Если a >b > 0,

то

a >

b.

Пример 2. Сравните числа a = 2 3 и b =

1

47.

2

Из определения арифметического корня следует, что

a2 = 4 3 =12;

b2 =

1

47 =11

3

.

Так как 12 >11

3

, то число

a >b.

▲

4

4

4

ложено число

a =

1

209 ?

3

a

2

1

2

1

2

2

=

209

=

209

= 23

.

Заметим, что 16 < 23

< 25,

по-

9

3

3

3

этому

16 < a <

25, т. е.

4 < a <5. ▲

§3. Свойства арифметического квадратного корня

В школьном учебнике у вас доказываются теоремы.

Теорема 2. Если a ≥0

и b ≥ 0,

то

ab =

a b.

Теорема 3. Если a ≥0

и b > 0,

то

a

=

a

.

b

b

Пример 1. Найдите значение выражения (без калькулятора):

а)

5 35 175;

б)

5

11

;

в)

75

;

49

192

г)

1492 −762

; д)

163

44 .

4572 −3842

7

а)

5 35 175 =

175 175 =175.

б)

5

11

=

256

=

16

.

49

49

7

в)

75

=

75

=

25

=

5

.

192

192

64

8

149 +76

2

2

149 −76

г)

149

−76

=

(

)(

)

=

73 225

=

4572 −3842

(457 −384)(457 +384)

73 841

=

225

=

225

=

15

.

841

841

29

д) 163 44 = (42 )3 44 = 46 44 = 410 =

(45 )2 = 45.

Можно решать и другим способом.

163 44 = 162 16 44 = 162 16

(42 )2 =16 4 42 =

= 42 4 42 = 45. ▲

Рассмотрим

48. Преобразуем это выражение:

48 =

16 3 =

16

3 = 4

3.

корня.

Теперь рассмотрим выражение 5

7, преобразуем его:

5 7 =

25 7 =

25 7 = 175.

В этом случае говорим, что множитель 5 внесли под знак корня.

Пример 2. Вынесите множитель из-под знака корня:

а)

(5 13 −4 19 )2 ;

б)

( 7 − 11)3 ( 3 − 5 )5 ;

в) −

−a4b11 ;

г)

21(xy)2 , если xy ≤0.

а) Так как a2 =

a

(5

19 )2

,

то

13 −4

=

5

13 −4

19

.

Определим знак числа 5

13 −4 19. Числа 5

13

и 4 19

– положи-

тельные. Рассмотрим

их

квадраты:

(5

13 )2 = 25 13 =325 и

8

(4

19 )2

=16 19 =304.

Так как

304 <325,

то

304 <

325,

т.

е.

13 −4

=5 13 −4 19.

5

13 > 4

19, поэтому

5

19

б) ( 7 − 11)3 ( 3 − 5 )5 =

= ( 7 − 11)2 ( 7 − 11)( 3 − 5 )4 ( 3 − 5 )=

=

7 − 11

( 3 − 5 )2

( 7 − 11)( 3 − 5 ).

Число

7 <

11, т. к. (

7 )2 = 7, (

11)2 =11 и 7 <11. Поэтому

7 − 11

= 11 − 7.

7 − 11 <0, т. е.

Окончательно получаем:

( 11 − 7 )( 3 − 5 )2

( 7 − 11)( 3 − 5 ).

в) Так

как

a4 ≥ 0,

то корень

определён,

если

−b11 ≥0,

т.

е.

b11 ≤ 0, b ≤0.

− a4 (−b5 )2 (−b) = −a2 (−b5 )

−b = a2b5 −b.

г) 21(xy)2

=

xy

21 = −xy 21. ▲

Пример 3. Внесите множитель под знак корня:

а) (5 − 37 )

2 +3; б) (2a −1)

1 −2a; в) −3xy −

1

.

(xy)

3

При решении этих примеров используем формулу

a2 =

a

.

а) Число 5 −

37 < 0, т. к. 52 = 25,

( 37 )2

=37 и 25 <37. Поэтому

(5 − 37 )

2 +3 =−( 37 −5)

2 +3 =− ( 37 −5)2 ( 2 +3).

б) Корень 1 −2a определён, если 1 −2a ≥ 0, 2a ≤1, a

≤

1

. При таких

a выражение 2a −1 ≤ 0. Поэтому

2

9

в) Корень

−

1

определён, если xy <0.

Поэтому

(xy)3

1

=3(−xy) −

1

= 9(

−xy)

2

1

−9

−3xy −

−

=

.

(xy)3

(xy)3

(xy)3

xy

Пример 4. Сравните числа a и b :

а) a = 3 + 11 и b = 6 + 8;

б) a = 2 − 3 и b = 7 −4 3 ;

в)

a =

2

−

2

и b = 110.

5 +3

3

5

−3

3

а) Числа a и b положительные. Рассмотрим квадраты этих

чи-

сел.

Имеем:

a2 =3 +2 3 11 +11 =14 +2

33,

b2

=6 + 2 6

8 +8 =

=14 + 2

48. Так как 48 >33, то

48 >

33, 2

48 > 2

33, поэтому

b2

> a2 и b > a.

22 >( 3 )2

б)

Число a >0,

т.

к.

=3.

Число

7 −4

3 >0,

т. к.

72

>(4 3 )2

= 48. Отсюда следует, что число b определено и оно боль-

ше нуля.

и b положительные. Рассмотрим их квад-

Таким образом, числа a

раты: a2

=(2 −

3 )2

= 4 −4

3 +3 = 7 −4 3,

b2 =7 −4

3.

Следователь-

но, a =b.

2

2

в)

a =

−

.

5 +3

3

5

−3

3

Приводим дроби к общему знаменателю, получаем:

a =

10 −6 3 −10 −6 3

=

−12 3

= 6

3 =

108.

(5 +3

3 )(5 −3

3 )

−2

Так как 110 >108, то

110 >

108

и b > a.

Пример

5.

а) Укажите два рациональных числа, лежащих между

числами

3 и

5.

б)

Укажите два иррациональных числа, лежащих между числами

3 и

5.

10

а)

Из теоремы сравнения корней следует, что 1 < 3 < 4, т. е.

1 <

3 < 2. Заметим, что 1,82 =3, 24 >3, а 1,92 =3,61 >3, таким обра-

зом

3 <1,8 < 2 < 5, т. е. число 1,8 является числом рациональным

и располагается между числами

3 и

5. Число 1,9 удовлетворяет не-

равенствам 3 <1,9 < 2 < 5,

т. е.

1,9 также располагается между

скими

десятичными

дробями.

Рассмотрим

дробь

a =1,810110111011110…. Это бесконечная непериодическая

деся-

тичная дробь, после цифры 8 идёт цифра 1,

затем ноль, затем 2 цифры

1, снова ноль, и т. д. Данная дробь больше,

чем 1,8, т. к. после цифры

а)

2

; б)

1+ 2

.

3

5 − 7

3

− 2 +

5

а) Умножим числитель и знаменатель дроби на 3

5 +

7. Получим:

2(3 5 + 7 )

=

6 5 +2 7

=

6 5 +2 7

=

3 5 +7

.

(3 5 − 7 )(3 5 + 7 )

(3 5 )2 −( 7 )2

45 −7

19

б) Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение

(3 − 2 )−

5 ≠ 0. Получим:

(1 +

2 )((3

−

2 )− 5 )

=

((3 − 2 )+ 5 )((3 −

2 )− 5 )

=

3 − 2 − 5 +3 2 −2 − 10

=

1 +2

2 − 5 − 10

.

(9 +2 −6 2 )−5

6(1 −

2 )