Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

f9_1_векторы_в_физике

.pdf

Скачиваний:

482

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

1.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

2013-2014 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)

Полученные величины являются проекциями на оси Ox и Oy век-

тора F суммы сил F1 , F2 и F3 (рис. 31 в). Сила F является равнодействующей этих трѐх сил. Еѐ модуль определяется по теореме Пифагора:

F Fx2 Fy2 .

Направление силы F составляет с направлением оси Ox угол

(рис. 31 в), причѐм tg Fy .

3. Обратимся к записи скалярного произведения векторов в прямоугольной системе координат xOy на плоскости.

Используя свойства проекций векторов, нетрудно показать, что

a c a c a c ,

a b c a c b c,

где a, b и c произвольные векторы на плоскости, некоторое

число.
Пусть в выбранной системе координат векторы a и b		имеют коор-
динаты ax ;ay и bx ;by соответственно, то есть
a ax i ay j и b bx i by j,
тогда скалярное произведение a b	равно сумме произведений соот-
ветствующих проекций:
a b axbx	ayby .	(13)

Действительно, используя перечисленные выше свойства скалярного произведения, имеем:

a b axi ay j bxi by j axi bxi by j ay j bxi by jaxi bxi axi by j ay j bxi ay j by j

axbxi i axby i j aybx j i ayby j j.

Учитывая, что векторы i и j единичные и взаимно перпендикулярные, i i j j 1 и i j j i 0 , получим a b axbx ayby .

Пример 4. Чему равен угол между векторами a 3i 2 j и b 2i j?

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

2013-2014 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)

Решение. По определению скалярного произведения

a b a b cos ,

где искомый угол,

a и b модули векторов a и b

соответствен-

но.

Отсюда cos

a b

В свою

очередь,

a b a b

a b

x x

y y

3 2 2 1 8,

ax2 ay2

32 22

13,

2 2 1 2

5. Тогда cos

0,992.

Отсюда 173 .

§7. Примеры ответов на контрольные вопросы и решения задач

Рассмотрим несколько типичных вопросов и задач, которые могут быть решены с помощью методов, изложенных в данном Задании.

Вопрос 1. Какими видами механического движения одновременно обладает гайка, навинчиваемая на неподвижный болт или винт?

Ответ. Гайка участвует одновременно в двух движениях – поступательном (вдоль оси болта) и вращательном (вокруг оси болта).

Вопрос 2. В чѐм заключается разница между проекциями вектора на два различных направления и составляющими вектора по этим же направлениям?

Ответ. Основная разница заключается в том, что проекции вектора – это числа, а составляющие вектора – это векторы. Модули проекций и составляющих векторов могут быть одинаковыми, как например, в случае, когда направления перпендикулярны.

Вопрос 3. На точку O действуют две равные по модулю силы F1						и
F2 , направленные под углом 120	друг к другу.	Чему равен модуль
равнодействующей этих сил?
Ответ. Модуль равнодействующей равен			O
модулю этих сил. Действительно, равнодей-			O

		F1			F2
ствующую F найдѐм, сложив векторы сил		F1			F2
ствующую F найдѐм, сложив векторы сил				120
F1 и F2 (например, по правилу параллело- A		60		120		C
		60
				F
грамма). Пояснительный чертѐж представлен				F
грамма). Пояснительный чертѐж представлен
на рис. 32. Сумма внутренних углов парал-
на рис. 32. Сумма внутренних углов парал-			B
лелограмма равна 360 . Значит, в параллело-			B
грамме ABCO углы OAB и OCB равны по			Рис. 32
			Рис. 32
60 . Кроме того, параллелограмм	ABCO
является ромбом, т. к. длины его сторон (модули F1		и F2 ) равны.

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

2013-2014 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)

Рассмотрим, например, треугольник AOB . В нѐм		AO AB , а угол
OAB равен 60 , следовательно, углы AOB и ABO одинаковы и по ве-
личине равны 60 180 60	2 60 . Таким образом, треугольник
AOB равносторонний и F F1	F2 .
Задача 1. Эквивалентно замените силу F 0,6H,		приложенную в

точке A, двумя силами, действующими на ту же точку вдоль той же прямой, но в противоположные стороны. Меньшая из этих сил равна 1,1 H . Каким должен быть модуль второй силы?

Решение. Модуль второй силы (большей

из двух)

должен быть равен

1,7 H . Поясняющий чертѐж пред-

ставлен на рис. 33. Действительно, силы F1

и F2

в сумме

дают равнодействующую силу F , то есть F F1 F2 .

Направление и модуль F определяются в соответствии с

Рис. 33

Замечанием 1 на стр. 6 в тексте Задания. Модуль F ра-

вен F F2

F1,

значит F2 F F1 1,7 H.

Задача 2. Разложите вектор силы F на два составляющих вектора,

один из которых направлен под углом 60

к вектору F ,

а другой – под

углом 45

к вектору F . Найдите модули составляющих векторов, счи-

тая известным модуль вектора F .

Решение. Разложение вектора F

на составляющие

F1 и

F2 вдоль

указанных в условии задачи направлений

представлено на рис. 34. Из треугольника

OAB по теореме косинусов

F 2 F

2 F

2 2F F cos60 .

(1)

Из треугольника OBC по теореме косину-

сов

F 2

2F F cos45 .

F 2

(2)

Кроме того,

по теореме синусов,

при-

менѐнной к любому из указанных тре-

угольников, получим:

sin 45

(3)

Рис. 34

sin 60

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

2013-2014 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)

Подставим (3) в уравнения (1) и (2), сгруппируем все члены в правых

частях полученных уравнений и учтѐм, что cos 60 12 , cos 45 22 .

В итоге получим

0 F 2

1 F 2

2 F F2 ;

(4)

0 F 2

1 F

2F F2 .

(5)

Сложив уравнения (4) и (5), получим

0 2F 2

2 F F2 .

Поскольку F 0 , то разделив обе части на F , получим

2 F

С учѐтом уравнения (3) определим

F1 : F1

. Ответ в данной

задаче может быть записан в другом виде, а именно:

23 3 1 F 0,9F,

3 1 F 0,7F.

Оба варианта записи значений F2

и F1

эквивалентны. Убедитесь в этом

самостоятельно.

Задача 3. На двух гвоздях, вбитых в стену в точ-

ках A и B (рис. 35), подвешена лѐгкая нерастяжи-

мая верѐвка. Расстояние между гвоздями по гори-

зонтали b

3 м 1,73м; разность высот, на кото-

рых вбиты

гвозди, a 1м; длина

верѐвки

равна

a b . К верѐвке на расстоянии a

от точки

A под-

вешивают груз, который не касается стены. Найдите

отношение сил натяжения верѐвки слева и справа от

Рис. 35

груза, если их векторная сумма направлена верти-

кально вверх. (МГУ).

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

2013-2014 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)

Решение. Поясняющий чертѐж представлен на рис. 36, где через F1 и F2 обозначены силы натяжения верѐвки слева и справа от груза соответственно, а через F обозначена их векторная сумма, направленная по условию задачи вертикально вверх. В AKB сторона AK равна b , а сторона KB a по условию. Пусть угол BAK

Рис. 36

равен , тогда tg

. Следовательно,

o . В треугольнике

ACB сторона

AC равна a по условию. Сле-

довательно, CB b , так как длина верѐвки равна a b .

Видим, что треугольники AKB и

ACB равны по трѐм сторонам

(сторона AB у них общая) и ACB прямоугольный. Тогда угол ABC

также равен 30 , так как

tg ABC

Отсюда следует, что угол BAC равен 60 . Значит, угол KAC , обозначенный на рис. 36 через , равен 30 . Действительно,

BAC 60 30 30 .

Тогда по теореме об углах со взаимно перпендикулярными сторонами угол между векторами F и F2 на рис. 36 тоже равен 30 , и из заштрихованного треугольника находим:

F1	tg		3	0,58.
F2		3

Задача 4. В безветренную погоду капли дождя падают вертикально с постоянной скоростью. При скорости бокового ветра 10м/c капли

дождя падают под углом 30 к вертикали. При какой скорости бокового ветра капли дождя будут падать под углом 45 к вертикали? Ветер дует горизонтально.

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

2013-2014 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)

				север
u1		u2		D 60	C
				B	v
				120	v
				120
				v1
v	v1	v2	запад		восток
Рис. 37			u	A
Рис. 37				60
				60
				юг

Рис. 38

Решение. Пусть v скорость капель дождя в безветренную погоду

(скорость относительно ветра), u1 скорость ветра в первом случае (по
условию u1 10 м/c ), v1 скорость капель дождя относительно земли в
первом случае, направленная под углом 30	к вертикали (при ско-
рости бокового ветра u1 ), u2 скорость ветра	во втором случае, v2

скорость капель дождя относительно земли во втором случае, направленная под углом 45 к вертикали (при скорости бокового ветра u2 ). Поясняющий чертѐж представлен на рис. 37, с помощью которого

легко определяем, что с одной стороны v

u 1

, а с другой –

tgβ

Отсюда следует, что

. Тогда находим

3 17 м/c.

1 tg

Задача 5. С какой скоростью и в каком направлении должен лететь спортивный самолѐт, чтобы за 2 часа пролететь точно на север 200 км ,

если во время полѐта дует северо-восточный ветер под углом 60 к меридиану со скоростью 30км/час.

Решение. Пусть u скорость ветра, v искомая скорость самолѐта (относительно воздуха), v1 суммарная скорость

v1 200км / 2ч 100км / ч.

Поясняющий чертѐж представлен на рис. 38. Из треугольника ABC по теореме косинусов находим:

v v12 u2 2uv1 cos120o 13900 118 кмч .

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

2013-2014 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)

Направление скорости v определим, например, через угол по от-

ношению к меридиану. Для этого рассмотрим прямоугольные тре-

угольники BDC и ADC . В треугольнике

BDC видим,

что

BC u ,

DC u sin 60 .

Из треугольника

ADC находим

DC v sin . Таким

образом, u sin60 v sin . Откуда sin

3 u

0,22 . При этом

сам угол 12

43 .

236

Контрольные вопросы

Что называют механическим движением?

Какие основные виды механического движения Вам известны?

Приведите примеры скалярных и векторных величин в физике.

Что называют модулем вектора?

Какие векторы называются коллинеарными?

Какие векторы называются равными?

Какие способы сложения двух и более векторов Вам известны?

Что называется разностью векторов b и c ?

Что называют проекцией вектора на выбранное направление?

10. Даны

три вектора: a

3 j,

b 2i 7 j,

4 j.

Найдите вектор их суммы.

11. Даны два вектора d 8i 7 j,

e 2i

4 j . Чему равен вектор

f d e ?

12. Что называют скалярным произведением двух ненулевых векто-

ров?
13. Чему равно скалярное произведение векторов			a	2i	5 j	и
b i 0, 4 j ? Чему равен угол между этими векторами?


14. Чему равен угол между векторами a	6i 6	3 j		и b	5i ?
Задачи
1. Лодочник, переправляясь через реку из пункта		A в пункт				B

вдоль прямой, перпендикулярной берегам, всѐ время направляет лодку под углом к берегу (рис. 39). Найти скорость лодки v относительно

воды и скорость лодки v1 относительно берега, если скорость течения

реки равна u.

2. Капли дождя на вертикальных боковых окнах неподвижного

трамвая оставляют полосы, наклонѐнные под углом 30 к вертикали. При движении трамвая вперед со скоростью u 18 км/ч полосы от

дождя вертикальны. Найти скорость капель дождя v относительно земли в безветренную погоду и скорость горизонтального ветра v1.

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

2013-2014 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)

Рис. 39

Рис. 40

3. Самолет в безветренную погоду взлетает со скоростью v 60 м/с

под углом 20 к горизонту. Найти вертикальную и горизонтальную составляющие скорости самолѐта.

4. В условиях предыдущей задачи внезапно начал дуть горизонталь-

ный встречный ветер, скорость которого u 15м/с. Какой стала скорость самолета относительно земли и какой угол составляет она с горизонтом?

5. Шарик, подвешенный на легкой нити к потолку, лежит на гладкой

наклонной плоскости с углом наклона 30 к горизонту (рис. 40).

При этом сила натяжения нити равна T 39 Н. Чему равна сила F , действующая на шарик со стороны наклонной плоскости перпендику-

лярно наклонной плоскости, если векторная сумма сил

T и F направлена вертикально? Нить составляет угол

30 с наклонной плоскостью.

6. На кронштейне (рис. 41), изготовленном из жѐст-

ких стержней AB и BC, шарнирно скрепленных меж-

ду собой (в точке B ) и с вертикальной стеной (в точках

A и C ), висит груз, который действует на точку B

подвеса с силой F 1000 Н, направленной вертикально

вниз. Определить составляющие силы F по направле-

ниям AB и BC, если 90 ,

β 30 . Стержни AB и

Рис. 41

BC лежат в одной вертикальной плоскости.

7. По направлению стропильной ноги, накло-

ненной к горизонту под углом α 45 , действует

сила F 2500 Н (рис. 42). Какие силы F1 и F2

действуют при этом в направлениях горизон-

тальной затяжки и вертикальной стены соответ-

ственно?

8. Разложите вектор силы F

на два состав-

ляющих вектора, один из которых направлен

под углом 60 к вектору F , а другой – под уг-

лом 45 к вектору F . Найдите модули состав-

Рис. 42

ляющих векторов, считая известным модуль вектора F .

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в папке ФИЗИКА

#
03.06.2015464.27 Кб488f8_1_гидростатика_аэростатика.pdf
#
03.06.2015527.54 Кб489f8_2_тепловые_явления.pdf
#
03.06.2015664.49 Кб543f8_3_электрические_явления.pdf
#
03.06.2015391.1 Кб503f8_4_законы_отражения_преломления.pdf
#
03.06.2015373.27 Кб494f8_5_тонкие_линзы.pdf
#
03.06.20151.13 Mб482f9_1_векторы_в_физике.pdf
#
03.06.20151.01 Mб569f9_2_кинематика.pdf
#
03.06.2015882.8 Кб521f9_3_динамика.pdf
#
03.06.2015721.41 Кб536f9_4_статика.pdf
#
03.06.2015467.34 Кб515f9_5_работа_энергия.pdf
#
03.06.2015454.4 Кб617f9_6_движение_по_окружности.pdf