Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

f9_1_векторы_в_физике

.pdf

Скачиваний:

505

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

1.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

2013-2014 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)

Таблица

Знаки функций sin и cos при различных

Угол

Положение точки

на

Знак sin

Знак cos

единичной окружности

sin 0

cos 0

I квадрант

180

sin 0

cos 0

II квадрант

180

270

sin 0

cos 0

III квадрант

270

360

sin 0

cos 0

IV квадрант

2. Теперь напомним некоторые соотношения между сторонами и углами треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OBA с катетами AB a, OB b и гипотенузой OA c . Выберем прямоугольную систему координат xOy , как показано на рис. 15, и начертим единичную окружность

с центром в начале координат – точке O .

Обозначим через P точку пересечения гипотенузы OA треугольника OBA с единичной окружностью. При этом OP 1. Из соображений подобия прямоугольных треугольников OQP и OBA можно записать


P Q	a		. Но так как	OP 1, а P Q y sin (по определению), то
OP		c	. Но так как	OP 1, а P Q y sin (по определению), то
OP		c
sin		a	, где через	обозначен угол AOB.
sin		c	, где через	обозначен угол AOB.
		c

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

2013-2014 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)
				OQ		b				A
Аналогично	из	соотношения		OP		c ,
учитывая, что	OQ x cos		и	OP 1,			y
									c
заключаем: cos b . В свою очередь:									c
заключаем: cos b . В свою очередь:							1			a
		c						P		a
		c						P
sin	a	cos			b		y
tg cos b , ctg sin a .							y
tg cos b , ctg sin a .						-1			1
Треугольник, как известно, определяет-							O x	Q	b	B	x
Треугольник, как известно, определяет-
ся тремя элементами. В прямоугольном
треугольнике один элемент – прямой угол							-1
– всегда известен.		Поэтому	прямоуголь-				Рис. 15
ный треугольник определяется двумя дру-							Рис. 15
ный треугольник определяется двумя дру-
гими основными элементами, хотя бы один из которых является его
стороной.
Обозначив угол OAB через , выпишем некоторые из формул,
связывающие элементы прямоугольного треугольника:
		90 ;									(2)
		a2 b2 c2 (теорема Пифагора);									(3)
		sin a ;			sin b		;				(4)
			c			c
		cos b		;	cos a		;				(5)
			c			c
		tg a		;	tg b ;						(6)
			b			a
		ctg b ;			ctg a .						(7)
			a			b
Формулы (4) – (7) можно прочитать так:

–синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе,

–косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе,

–тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему,

–котангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему.

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

2013-2014 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)

● Замечание 5. С помощью формул (3) – (5) легко получить основ-

ное тригонометрическое тождество:

sin2 cos2 1.

(8)

Действительно, для этого нужно лишь выразить a и b через sin , cos и гипотенузу c из формул (4) и (5) и подставить в теорему Пифа-

гора (3).●

Нахождение одних элементов треугольника по известным другим называют решением треугольника. В общем случае, когда все углы треугольника различны, его решение сводится к применению теоремы косинусов и теоремы синусов.

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Тогда для случая, изображѐнного на рис. 16, имеем:

c2 a2	b2	2abcos ;
a2 c2	b2	2cbcos ;
b2 a2	c2	2accos .

Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов.

Для рис. 16 можно написать:	a	b	c
				.
	sin	sin	sin

Теорема синусов позволяет по двум данным сторонам и углу, лежащему против одной из них (или по стороне и двум углам), вычислять остальные элементы треугольника.

3. В заключение параграфа сформулируем две теоремы, которые часто бывают полезными при решении различных физических задач.

Теорема 1. Если две стороны одного угла соответственно параллельны двум сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180 .

Эта теорема проиллюстрирована на рис. 17(а, б), откуда ясно, что углы с параллельными сторонами оказываются равными, когда их стороны имеют или одинаковое, или противоположное направление от вершины; если же это условие не выполнено, то углы составляют в сумме 180 .

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

2013-2014 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)

Теорема 2. (об углах со взаимно перпендикулярными сторона-

ми). Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме

составляют 180 .

Так на рис. 18 а углы и равны, а на рис. 18 б эти углы в сумме составляют 180 .

)

= =

=180

)

+ =180

Рис. 16

Рис. 17

Рис. 18

§4. Проекция вектора на заданное направление. Скалярное произведение векторов

1. Проекция вектора на заданное направле-

ние. Пусть заданы два вектора a и b . Приведѐм эти векторы к одному началу O (рис. 19). Угол, образованный лучами, исходящими из точки O и направленными вдоль векторов a

и b , называют углом между векторами a и b . Обозначим этот угол через .

Число	ab acos называется проекцией
вектора a	на направление вектора b. Проек-

ция вектора a получается, если из его конца опустить перпендикуляр на направление век-

O ab

Рис. 19

тора b (рис. 19), тогда расстояние от общего начала векторов – точки О

– до точки пересечения указанного перпендикуляра с прямой, на которой лежит вектор b , будет равно модулю проекции вектора a на

направление вектора b.

Угол может принимать различные значения, поэтому в зависимости от знака cos (см. таблицу выше) проекция может принимать положительные, отрицательные значения или нуль. Проекция равна

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

2013-2014 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)

нулю, если направления векторов a и b взаимно перпендикулярны. Проекции равных векторов равны. Проекции противоположных векторов отличаются знаком. Легко показать, что проекция суммы векторов равна алгебраической сумме их проекций и что при умножении вектора на число его проекция умножается на то же число.

2. Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением

двух векторов a и b называется число, равное произведению модулей

этих векторов на косинус угла между ними, и обозначается a b . Таким образом,

a b a b cos .	(9)
Из определения скалярного произведения следует, что	a b b a.

Это произведение можно записать через проекции одного вектора на другой: a b abb ba a, то есть скалярное произведение векторов a и b есть число, равное произведению модуля вектора b и проекции вектора a на направление вектора b, или произведению модуля вектора

a и проекции вектора b на направление вектора a.

Если векторы a и b ортогональны a b , то cos 0 и поэтому

a b 0. Скалярное произведение двух векторов также равно нулю, если хотя бы один из векторов является нулевым.

Если векторы коллинеарны и одинаково направлены, то cos 1, поэтому скалярное произведение векторов a и b равно произведению модулей векторов a и b . В частности, скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля: a a a2 .

§5. Примеры физических векторных величин. Разложение векторов на составляющие

Выше отмечалось, что такие физические величины, как скорость и сила, являются векторами, что позволяет применять к ним все действия, о которых было рассказано в предыдущих параграфах. Теперь мы познакомимся с разложением вектора по различным направлениям.

1. Всякое движение можно представить как ре-						P
зультат сложения нескольких движений, его со-						P
зультат сложения нескольких движений, его со-				D
ставляющих. Найти эти движения – значит разло-				D
жить данное движение на составляющие.	A	v2					B
Пусть надо заменить равномерное движение	A				v		B
Пусть надо заменить равномерное движение
точки A со скоростью v по прямой AB (рис. 20)
точки A со скоростью v по прямой AB (рис. 20)			v1
двумя равномерными движениями по некоторым			v1
двумя равномерными движениями по некоторым					C
произвольным направлениям AN и AP . Чтобы					C		N
произвольным направлениям AN и AP . Чтобы							N
найти скорости этих движений, достаточно по-
найти скорости этих движений, достаточно по-				Рис. 20
строить параллелограмм, у которого диагональю				Рис. 20
строить параллелограмм, у которого диагональю
был бы отрезок AB, соответствующий скорости v,	а две стороны были

направлены по прямым AN и AP . Такой параллелограмм получим,

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

2013-2014 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)

когда проведѐм из точки B отрезки BC AP и BD AN , тогда стороны

AC и AD будут выражать величину и направление скоростей v1 и v2

движений по направлениям AN и AP соответственно. Наоборот, если известны скорости составляющих движений по некоторым направлениям, то путѐм их сложения можно найти вектор скорости результирующего движения. Иначе говоря, скорость результирующего движения изображается по величине и направлению диагональю параллелограмма, построенного на отрезках, изображающих составляющие скорости, как на сторонах. Рассмотрим конкретный пример.

● Пример 1. Пусть рыбак переправляется на лодке A через реку, которая течѐт в сторону, указанную стрелкой

(рис. 21). Пусть скорость течения воды v1		A	B
изображается по величине	и направлению	v2	v1
			v
отрезком AB , а скорость v2	движения лодки

		C	D
относительно воды под влиянием усилий

гребца изображается отрезком AC (в стоя-			M
чей воде лодка двигалась бы по направлению

AC со скоростью v2 ). Рис. 21

Лодка будет двигаться относительно берега по направлению AM со скоростью v, изображаемой диагональю AD параллелограмма, по-

строенного на векторах v1 и v2 (в данном случае параллелограмм

ABCD является прямоугольником).

2. Сила – как векторная величина – всегда имеет определѐнное направление, модуль, а также точку приложения.

Часто встречаются случаи, когда на тело действуют несколько сил. Тогда бывает удобно заменить их одной, которая производит на тело такое же действие, как и несколько одновременно действующих сил. Такую силу (если она существует) называют равнодействующей. Нахождение равнодействующей нескольких сил осуществляется с помощью правил векторного сложения, при этом слагаемые силы называют со-

ставляющими.

Так, несколько сил, действующих на одну и ту же точку, тела, всегда можно заменить одной равнодействующей, как бы ни были направлены силы и каковы бы ни были их величины. Пусть, например, на тело дей-

ствуют четыре силы F1 , F2 , F3 и F4 , приложенные к одной точке O и

лежащие в одной плоскости (рис. 22). Тогда их равнодействующая F будет равна векторной сумме этих сил, найденной по правилу многоугольника (рис. 23). Для решения многих задач бывает необходимо рассмотреть обратную ситуацию – найти несколько сил, которые своим совместным действием могли бы заменить одну данную силу. Такая операция называется разложением сил. Ясно, что силы, на которые раскладывается данная сила, можно снова сложить. Тогда, если разложение было выполнено верно, мы снова получим первоначальную силу в качестве равнодействующей. Для простоты мы ограничимся рассмотрением случая, когда сила раскладывается на две составляющие. В

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

2013-2014 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)

этом случае сила и еѐ составляющие лежат в одной плоскости. Приведѐм пример задачи на разложение сил.

F1
O	F2
O
	F3
F4
Рис. 22	Рис. 23
	Рис. 23

● Пример 2. На проволоке ABC в точке B подвешен груз. Требуется изобразить силы, с которыми он действует на части AB и BC про-

волоки (рис. 24).Груз действует на проволоку с некоторой силой F , приложенной в точке подвеса B и направленной вниз. Начертим от-

дельно угол, равный углу ABC, и изобразим силу F (рис. 25). Неизвестная сила, действующая на часть AB проволоки, направлена по BD. Сила, действующая на часть BC, направлена по BE . Строим паралле-

лограмм, диагональю которого является сила F , а стороны направлены

по BD и BE . Сила F являются равнодействующей сил F1

и F2 , изоб-

ражаемых сторонами этого параллелограмма. Таким образом, F1 и F2 и

есть искомые силы.●

Рис. 24	Рис. 25

В рассмотренном примере нам были указаны направления ( BD и

BE ) неизвестных сил, способных заменить F . Если эти направления не указаны, то, выбирая их произвольно, мы можем разложить данную силу на составляющие различными способами. Действительно,

рисунок 26 показывает, что силы F1 и F2 , или F3 и F4 , или F5 и F6

равносильны по своему действию одной силе F.

Итак, задача о разложении данной силы на две составляющие есть задача неопределѐнная (то есть допускает множество различных решений). Та же задача становится определѐнной (допускает только одно

решение), если кроме величины и направления силы F , которую надо разложить на составляющие, мы имеем одно из следующих до-

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

2013-2014 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)

полнительных условий:

–известны направления обеих составляющих сил (как в рассмотренном выше примере 2);

–известны величина одной из составляющих сил и еѐ направление (рис. 27 а).

На рис. 27 б пунктиром показаны линии, которые надо провести в

этом случае для построения параллелограмма сил и нахождения второй

составляющей – силы F2 . (Числа около пунктирных линий обозначают последовательность их построения.)

o )

Рис. 26

Рис. 27

Если известны величины обеих составляющих, то задача о нахождении их направлений в общем случае допускает два решения. Для это-

го по трѐм сторонам (т. е. по отрезкам, изображающим силы F1 , F2 и F )

строится треугольник OAB и дополняется до параллелограмма. Как показано на рисунках 28 а и 28 б, OB и OC искомые направления составляющих сил. И вновь цифры около линий указывают последовательность их построения. Более подробно с разложением сил на составляющие и с нахождением по данным силам их равнодействующей на конкретных физических примерах Вы познакомитесь в Задании №4 при изучении вопросов статики.

F2								1	B	B	1
F2

							F2	4			4 F2
					O		F2	4	2 2		4 F2		O
					O				2 2				O
	F	F		6		F		3			3	F		F
	F							3			3

		1												6	1
														6


			5		A								A	5
		C	5											5	C
		C

				а)										б)
									Рис. 28

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

2013-2014 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)

§6. Проектирование векторов на оси координат

1. Особенно важен частный случай разложения векторов, когда пря-

мые, по которым раскладывают вектор, взаимно перпендикулярны.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат xOy и

некоторый вектор a . Отложим от начала координат вдоль положительного

направления осей Ox и Oy

векторы i

и j соответственно такие, что

i 1 и j 1. Векторы i и

назовѐм единичными векторами.

Перенесѐм вектор a так, чтобы его начало совпало с началом коор-

динат. Пусть в этом положении он изображается направленным отрез-

ком

OA (рис. 29). Опустим из точки

перпендикуляры на оси Ox

и Oy . Тогда

векторы ax и ay

будут составляющими век-

тора a

по координатным осям, причѐм век-

тор ax

будет коллинеарен вектору i

, а век-

тор

коллинеарен вектору

j .

Следова-

тельно, существуют такие числа

ay ,

Рис.

что

axi

ay ay j . Таким

образом,

вектор a может быть представлен в виде:

a ax

ay axi ay j.

(10)

Числа ax

и ay

суть проекции вектора a на направления векторов i

и j

соответственно, то есть на оси Ox и Oy.

Пусть угол между положительным направлением оси Ox и векто-

ром a равен (рис. 29). Тогда ax

acos , ay asin .

В зависимости от значения угла проекции вектора a

на оси пря-

моугольной системы координат могут быть положительными, отрица-

тельными или равными нулю.

Зная проекции вектора a

на оси координат, можно найти его вели-

чину и направление согласно формулам (3) и (6):

a a2

и tg ay

причѐм знаки ax

и ay будут указывать на то,

какому квадранту при-

надлежит значение

2. Пусть теперь нам задано векторное равенство a b c (рис. 30).

Проектируя все векторы на оси координат, получим очевидные равен-

ства

cx ax bx ,

cy ay by

или cx acos bcos , cy asin bsin ,

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

2013-2014 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)
т. е. по проекциям векторов a и b						легко		y
находятся проекции суммарного вектора
c и, следовательно,								by		b
			c cx2 cy2 и tg cy .				cy		a	c
					cx			ay	a
Таким образом, всякому векторному ра-								ay
венству вида
				a b c		(11)		O	ax	bx	x
можно сопоставить на плоскости систему								O	ax	bx	x
можно сопоставить на плоскости систему									cx
двух скалярных равенств для проекций									cx
двух скалярных равенств для проекций
векторов:									Рис.	30
a		b	c	,					Рис.	30
a	x	b	c	,
	x	x	x			(12)
		by	cy .			(12)
ay		by	cy .
При этом полученная система уравнений (12) совершенно эквива-
лентна исходному равенству (11) в том смысле, что позволяет одно-
значно определить вектор c					(по его координатам).
Аналогичные рассуждения справедливы и для разности векторов a
и b,		а так же для суммы трѐх и более векторов. Более того, в ряде слу-
чаев удобнее находить сумму векторов именно путѐм вычисления про-
екций. Рассмотрим пример.
Пример 3. На рис. 31 а изображены три силы F1 , F2										и F3 , прило-
женные в одной точке O . Найдите сумму этих сил.
Решение.				Проведѐм две взаимно перпендикулярные оси Ox и Oy
так, чтобы направление оси					Ox совпадало с направлением одной из
сил, например F1 . Спроектируем силы на эти оси (рис. 31 б). Обратите
внимание, что проекции F3x					и F2 y будут отрицательны. Найдѐм сумму
проекций всех сил на ось Ox : Fx F1x F2 x F3x F1 F2cos F3cos ,											и
сумму проекций всех сил на ось Oy :
				Fy F1y F2 y F3 y F2 sin F3 sin .
					y
				F3		F3y				y
						F	F	1	Fx	0
						2x		1
				F3x	0			x		x
					F2y	F2			F	Fy
					F2y	F2			F
		Рис. 31а			Рис. 31б				Рис. 31в
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
											20

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ФИЗИКА

#
03.06.2015464.27 Кб512f8_1_гидростатика_аэростатика.pdf
#
03.06.2015527.54 Кб514f8_2_тепловые_явления.pdf
#
03.06.2015664.49 Кб565f8_3_электрические_явления.pdf
#
03.06.2015391.1 Кб527f8_4_законы_отражения_преломления.pdf
#
03.06.2015373.27 Кб518f8_5_тонкие_линзы.pdf
#
03.06.20151.13 Mб505f9_1_векторы_в_физике.pdf
#
03.06.20151.01 Mб594f9_2_кинематика.pdf
#
03.06.2015882.8 Кб554f9_3_динамика.pdf
#
03.06.2015721.41 Кб559f9_4_статика.pdf
#
03.06.2015467.34 Кб539f9_5_работа_энергия.pdf
#
03.06.2015454.4 Кб639f9_6_движение_по_окружности.pdf