Лекция 8
Реологические модели
“Реология” -изменение механических характеристик материала при длительном воздействии нагрузки.
а – упругий элемент б – вязкий элемент
k |
|
|
|
Тело Максвелла
Напряжения в обоих элементах одинаковые, а деформации разные – ε1 и ε2
ddt1 ; E 2 ; 1 2
исключая ε1 и ε2, получаем:
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ = η/E – постоянная времени [τ] = сек |
|
|
|
|
||||||||||
при σ=const, получаем: |
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
||||
|
|
, откуда 0 |
|
|
|
(1 |
) , т.к. 0 |
|
|
- деформация упругого элемента в |
||||
|
E |
E |
|
E |
||||||||||
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
начальный момент.
При снятии нагрузки модель получает обратную деформацию, равную начальной упругой, вязкая часть деформации необратима.
Таким образом, если время действия силы мало по сравнению с τ, то материал ведет себя как упругое тело. Если же это время велико, то материал ведет себя как вязкая жидкость с коэффициентом вязкости E τ.
При постоянной деформации из (1) получаем:
0 exp( t ) , где σ0 – напряжение в начальный момент времени Это уравнение релаксации напряжений.
Тело Кельвина-Фойгта
у E упругие напряжения
в вязкие напряжения
у в
исключая в и |
у |
E |
(2) |
В этой модели приложенная нагрузка уже не может вызвать мгновенную упругую деформацию.
Решая (2), получаем: E (1 exp( E t) E (1 exp( t ) , где τ=η/E
Деформация по экспоненциальному закону асимптотически приближается к величине σ/E. При t<< τ деформация определяется только вязкостью, а при t>> τ – только упругостью. Величину E можно считать модулем упругости при бесконечно длительном действии нагрузки.
При снятии нагрузки деформация возвращается к нулю по тому же экспоненциальному закону.
Если в уравнении (2) положить ε=const, то напряжение тоже постоянно, т.е. в модели Фойгта релаксации нет.
Механическая модель твердого тела со структурой.
1.В среде равномерно по объему рассеяны разномасштабные неоднородности.
2.Расстояния между неоднородностями каждого размера много больше их собственного размера. Эти неоднородности ответственны за необратимые деформации: на них концентрируются и релаксируют со временем напряжения.
3.Распределение неоднородностей по размеру подчиняется закону:
l3dn const (*) d ln l
где l – размер неоднородности, а n –число неоднородностей в единице объема.
Распределение (*) означает, что объем неоднородностей каждого размера в интервале, пропорциональном размеру неоднородности, одинаков, т.е. тело остается подобным самому себе при изменении масштаба длины.
Напряжения внутри твердого тела складываются из двух компонентов: упругих напряжений и локальных напряжений на неоднородностях, которые ответственны за необратимые деформации в твердом теле.
y l
Избыточные напряжения на неоднородностях возникают при конечной скорости деформирования твердого тела и со временем самопроизвольно релаксируют.
Уравнение избыточных напряжений на неоднородностях может быть представлено в следующем виде:
d l c2 v |
l |
(**) |
|
|
|||
dl |
|
l |
|
|
|
||
l – избыточное напряжение на неоднородности размером l; с –
скорость поперечных волн; - плотность твердого тела; - скорость деформации; v=2 10-8м/с – константа, отражающая скорость релаксации напряжений
Интегрируя (**) при постоянной скорости деформации :
2 |
|
l |
|
vt |
|
l c |
|
1 exp( |
|
) |
|
|
|
l |
|||
|
|
v |
|
||
При t<<l напряжения на неоднородностях нарастают со временем по линейному закону
2 |
|
l |
|
vt |
2 |
|
l c |
|
1 1 |
|
c |
||
|
|
t |
||||
|
|
v |
l |
|
|
|
При больших временах на неоднородности каждого размера устанавливается свое напряжение:
|
l |
c2 |
l |
(***) |
|
||||
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
При заданной скорости деформации l ~ l .
Если тело бесконечно велико, то в нем при любой скорости деформации всегда найдутся неоднородности достаточно большого размера, на которых избыточное напряжение приведет к разрушению материала.
* - предельное избыточное напряжение, при котором разрушается материал.
Из (***) минимальный размер неоднородности (l0) на которой
концентрируется напряжение, равное предельному: |
l0 |
|
|
* |
|
v |
|
|
|
c |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, при постоянной скорости деформации среди характеристик твердого тела появляется параметр с размерностью длины
– при деформировании возникает масштабный эффект.
Для тел, размеры которых соизмеримы с l0 или меньше, деформация с постоянной скоростью будет происходить без разрушения.
Нарушения сплошности массива
Блоки любого порядка отделены друг от друга межблоковыми промежутками. Эти промежутки - тектонические разломы и трещины разного масштаба, зоны дробления, литологические контакты и т.п.- имеют обычно значительно более низкие эффективные прочностные и деформационные характеристики по сравнению с материалом блоков. Именно нарушения сплошности массива горных пород несут ответственность за многие механические, геологические и геофизические процессы и являются важнейшим элементом геомеханических моделей
Мелкая трещиноватость, характерная для коллекторов углеводородов
Естественная трещина — это любой разрыв или нарушение породы с признаками зеркал скольжения и минерализации. Индуктированные трещины — это те нарушения, которые возникли в процессе отбора керна.
а) несомненные естественные трещины — это трещины, частично или целиком заполненные жильным материалом, а также раскрытые трещины, расположенные параллельно частично или целиком заполненным трещинам; б) очень возможные естественные трещины — трещины с зеркалами
скольжения, а также параллельные им; в) возможные естественные трещины — трещины с чистыми
свежими поверхностями, сопровождающиеся мелкими трещинами, параллельными несомненным трещинам; г) индуктированные трещины обычно отличаются свежим, четким
изломом, а также простиранием, параллельным оси керна или перпендикулярным к ней; образуются они в результате изгибающих и крутящих усилий, возникающих в керне в процессе его выбуривания.
Раскрытость трещин
Раскрытость трещины, или ее ширина, определяется расстоянием между стенками трещины. Величина ее в пластовых условиях зависит от глубины залегания пласта, порового давления и типа породы.
Раскрытость трещин изменяется в пределах 10—200 мкм. В коллекторах наиболее распространены трещины с раскрытостью 10—40 мкм (рис.).
С точки зрения механики – крайне неопределенный параметр.