7.1.3. Фрактальные свойства верхней коры

Уже давно отмечено, что структуры разрушения обладают свойствами подобия при изменении их масштабов [Садовский и др., 1984; Гейликман, Писаренко, 1989; Mandelbrot, 2002;Turcotte, 1989; Okubo, 1987]. При определенных условиях эти свойства называются фрактальными. В зависимости от методов исследования и точек зрения эти свойства часто обозначаются различными терминами (кусковатость, многомасштабность, самоподобие и т.д.). Свойство фрактальности характерно не только для горных пород, но и для других природных объектов.

Рассмотрим некоторую многомасштабную структуру любой природы. Пусть в ней есть элементы с размером r_i, число которых равноN_i. Эта структура называется фрактальной, если для любогоiэти величины связаны соотношением

,

в котором константы CиDне зависят от размера структуры. Данное свойство называют скейлингом. Приведенное соотношение можно записать в форме некоторого статистического распределения по числу элементов

. (7.1.1) Показатель степениD, который называется фрактальной размерностью Хаусдорфа-Безиковича, отличается от топологической размерности объекта.

Фрактальность является общим свойством горных пород и геологических структур. Типичным примером (который обычно приводится в качестве классической иллюстрации фрактальных объектов) является береговая линия [Mandelbrot, 1982; 1989]. Структура пор в пористых породах в определенных пределах изменения масштабов также самоподобна [Bale, Schmidt, 1984; Katz, Thompson, 1985]. Аналогичными свойствами обладают поверхности разрушения горных пород [Avnir et al., 1984; Li, Xu, 1993].

Наиболее надежным методом определения фрактальных свойств трещиноватой структуры в верхней коре являются сейсмологические исследования, которые обсуждаются ниже.

В работе [Файзулин, Шапиро, 1989] была исследована акустическая модель случайной среды с дискретными включениями малой концентрации. Было показано, что фрактальная размерность в данной среде совпадает с фрактальной размерностью разломов. Были произведены также расчеты частотной зависимости для рассматриваемой модели с включениями и для стохастической модели турбулентности. Оказалось, что при определенных условиях эти спектры идентичны. Общий результат состоит в том, что модель случайной среды с дискретными включениями, распределенными по закону (7.1.1) с показателем, лежащим в интервале 3 < D< 4, представляется достаточно адекватной.

Анализ распределения рудных месторождений, проведенный в параграфе 8, дает основание предположить, что трещиноватость в верхней коре имеет соответствующую стратификацию. Другими словами, трещиноватая структура существенным образом меняется по глубине вплоть до 15 км. В пользу указанного обстоятельства говорят также результаты механических экспериментов на испытательных машинах с образцами горных пород. Другими словами, в пределах региона со сходными геологическими и тектоническими условиями распределение трещин по горизонтали может быть статистически однородным. В то же самое время по вертикали оно неоднородно. Следовательно, фрактальные модели статистически однородной трещиноватой структуры верхней коры целесообразно разрабатывать на основе одномерных и двумерных моделей (с топологическими размерностями соответственно 1 и 2).