8.6. Плоские задачи пороупругости

Плоские задачи пороупругости можно записать в комплексном виде, что позволяет использовать аппарат функций комплексных переменных. В стационарном случае существует аналогия с плоской стационарной теорией термоупругости [Norris, 1992], которая позволяет сразу воспроизвести комплексное представление, поскольку для термоупругости оно уже известно [Мусхелишвили, 1966].

8.6.1. Стационарные задачи

В плоском приближении задачи пороупругости упрощаются. В исходных уравнениях (8.4.1) положим равными нулю силу тяжести и массовые источники. Перепишем эту систему с помощью комплексных потенциалов

(8.6.1)

а)

, b)

(8.6.2)

, a)

b)

Здесь ,– комплексный вектор усилий, приложенных к линии, соединяющей точкии, со стороны положительной нормали, т.е. с правой стороны при движении отк; {....}– разность выражения в скобке, взятого в точкахи. Выражения (8.6.1), (8.6.2a) для напряжений и усилий совпадают с соответствующими выражениями для однофазной упругой среды, которые описываются формулами Колосова-Мусхелишвили с помощью потенциалови. В выражение для смещений (8.6.2b) входит еще один дополнительный потенциал, связанный с фильтрационными величинами соотношениями

(8.6.3)

a)

, b) где– комплексные скорость фильтрации и давление, которые связаны между собой законом Дарси в комплексной форме

(8.6.4)

Величина имеет следующий смысл. Разность значений ее в двух точках дает величину потока через линию, соединяющую эти точки.

Согласно работе [Мусхелишвили, 1966] можно ввести некоторую фиктивную однофазную упругую среду, которая описывается формулами Колосова-Мусхелишвили с потенциалами и. Для этих потенциалов формулируется вспомогательная краевая задача. Напряженные состояния истинной (двухфазной) и фиктивной (однофазной) сред, даваемые выражениями (8.6.1), совпадают, а смещение фиктивной средыдается выражением

. (8.6.5) Выражения (8.6.1) и (8.6.5) не содержат никакой информации о флюидном режиме, т.е. о поровом давлении и фильтрационных потоках. Эту информацию содержат граничные условия на внешних и внутренних границах.

Заметим, что потенциалы ,иопределены неоднозначно и допускают преобразования, оставляющие физические величины (например, напряжения согласно (8.5.13)) инвариантными,

, где– произвольные комплексные, а– действительная константа. Смысл данного преобразования исследован в работе [Мусхелишвили, 1966]. Заметим, что произволом можно воспользоваться для того, чтобы выполнялось условие однородности в начале координат (или некоторое аналогичное ему условие)

при(8.6.6)

8.6.2. Комплексное представление плоских нестационарных задач

Как и в предыдущем случае, исключим силу тяжести, и в аналогичных переменных будем описывать плоскую задачу [Rice,Cleary, 1976]. Воспользуемся преобразованием 1 уравнений пороупругости в форме (8.5.1). Составляющая (0) соответствует классической теории упругости и может быть представлена с помощью комплексных потенциалов,, аналогично (8.6.1):

а)

(8.6.7)

. b)

Составляющая не является гармонической функцией и зависит от времени. В силу представления (8.5.3) и соотношений (8.6.7) полный тензор напряжений также может быть представлен в комплексной форме

а)

(8.6.8)

. b)

Эти соотношения можно представить в несколько другой форме, если величину выразить как функцию двух сопряженных переменныхи:, а соотношение баланса сил

,(8.6.9) представить в комплексной форме. Положим

,. (8.6.10)

Тогда уравнение (8.6.9) принимает вид (см. (7.2.6))

. (8.6.11)

Подставим в (8.6.11) выражение для согласно (8.6.8а) и после этого с помощью соответствующей квадратуры произведем расчет величины:

. (8.6.12)

Величина здесь появляется как произвольная функция интегрирования. Ее значение определяется из сопоставления с выражением (8.6.8b). Сопоставляя (8.6.12) и (8.6.8b), получаем соотношение

. (8.6.13)

Приведем также выражение для главного вектора сил , действующего на некоторый контур. Удобно рассмотреть комплексно сопряженный вектор

.

Подставляя сюда выражения для исогласно (8.6.10) и (8.6.12), получаем

. (8.6.14)

Величина может быть получена с помощью решения параболического уравнения (8.4.16).

175