33_all
.pdfВычисление интеграла по вещественной оси с помощью вычетов |
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f (z)= − |
1 |
1 |
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По теореме единственности4 |
имеем: |
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+ o |
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. Откуда получаем, что коэффициент c−1 |
при |
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z |
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z |
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следовательно |
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resz=∞ |
f (z)= −c−1 =1 |
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5. |
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fНаходим особые точки f (z)= |
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z |
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. |
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(g(z)−3)2 |
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Особыми точками являются: |
z = ∞, |
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особые точки числителя: , |
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нули знаменателя: |
z = 2 |
2i , |
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g(z)−3 = 0 ↔ g(z)= 3 → g 2 (z)= 9 ↔ 1 − z 2 = 9 ↔ z 2 = −8 |
2
1z равен c−1 = −1,
↔ z = ±2 2i :
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• z = 2 2i , g(2 2i)= 1 − (2 2i)2 eiπ + |
i |
(α+(2π −α )) |
= 1 + 4 2eiπ + |
i |
2π |
= 9ei2π = 3 |
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2 |
2 |
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• z = −2 2i , g(− 2 2i)= 1 − (− 2 2i)2 eiπ + |
i |
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i |
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(−α+α ) |
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= 1 + 4 2eiπ + |
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0 |
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= 9eiπ = |
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2 |
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2 |
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−3 – не подходит, |
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особые точки знаменателя: . |
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Вне контура γ = z : |
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z |
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= |
1 |
, π |
≤ arg z ≤ 2π находятся: |
z = ∞ - УОТ, |
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2 |
2 |
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z = 2 |
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2i |
- П2 (полюс 2-го порядка)6: |
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g |
2 |
(z)=1 − z |
2 |
→ 2g(z)g′(z)= 2z → g′(z) |
= |
2z |
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z |
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→ g′(2 2i) |
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2 2i |
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2 2i |
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= |
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= g(2 2i)= |
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, |
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2g(z) |
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g(z) |
3 |
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′′ |
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z ′ |
1 |
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z |
′ |
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′′ |
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1 2 2i 2 2i |
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1 |
4 2 |
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1 17 |
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17 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
g |
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= |
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− |
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− |
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1 + |
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||||||||||||||
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(z)= |
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g(z) |
2 (z) |
g |
(z) → g |
(2 2i)= |
3 |
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32 |
3 |
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= |
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9 |
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= |
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= |
27 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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g(z) |
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|
g |
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3 |
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3 9 |
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((g(z)−3)2 )′ |
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= 2(g |
(z)−3)g′(z) |
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z=2 2i = 2(3 −3)2 2i |
= 0, |
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|||||||||||||||||||||||||||
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((g(z)−3) |
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z=2 |
2i |
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3 |
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2((g (z)) |
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(z)) |
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||||||||||||||||||||
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2 |
″ |
= |
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|
′ |
|
|
= |
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2 |
+ (g |
(z)−3)g |
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= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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) |
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(2(g(z)−3)g (z)) |
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′ |
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′ |
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′′ |
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|
z=2 |
2i |
||
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|
2 |
|
z=2 2i |
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2 |
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z=2 2i |
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||||||||
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|
2 2 2i |
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17 |
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16 2 |
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||||||||||
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|
+ (3 |
−3) |
= − 2 |
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||||||||||||||||||||||
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≠ 0 |
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||||||||||||||||||||||||
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|
|
3 |
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9 |
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27 |
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||||||
g Интеграл |
I = |
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7 |
. |
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||||||
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∫ |
|
f (z)dz , можно вычислить по формуле I = −2πi res f (z)+ res f |
(z) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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z |
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z=2 |
2i |
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z=∞ |
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|||||||
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=2 |
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||||
4 |
Теорема (единственности). Пусть функция f : G → C регулярна в области G C . Пусть существует последовательность |
||||||||
различных точек {zn } G , сходящаяся к некоторой точке a G и такая, что f (zn )= 0 n N . Тогда f (z)≡ 0 на |
|||||||||
области G. |
|
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|
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|
5 |
res f = −c−1 , где c−1 - коэффициент разложения функции f |
в ряд Лорана с центром в бесконечности. |
|||||||
|
∞ |
|
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|
o |
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6 |
Определение. Изолированная особая точка a |
|
функции |
f : B ρ (a)→ C называется полюсом, если существует предел |
|||||
C |
|||||||||
lim f (z)= ∞. |
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z→a |
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Теорема (Коши о вычетах). Пусть дана область G |
|
с кусочно-гладкой положительно ориентированной границей Γ. |
||||||
7 |
C |
||||||||
Пусть функция f |
определена и регулярна на |
|
G всюду, за исключением конечного числа изолированных особых точек |
||||||
a1 , a2 , K, an G |
(при этом имеется в виду, |
что, если ∞ G , |
то ∞ = an ) и пусть к тому же функция f непрерывно |
||||||
продолжима на границу области G . Тогда справедлива формула ∫Γ |
n |
||||||||
f (z)dz = 2πi∑res f . |
|||||||||
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k =1 ak |
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Вычисление интеграла по вещественной оси с помощью вычетов |
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3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
h |
|
Точка |
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z = 2 |
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2i |
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- |
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П2 |
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|
(полюс |
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|
2-го |
|
|
|
|
|
порядка), |
|
|
поэтому |
|
|
вычет8 |
|
|
в |
|
этой |
|
|
|
|
точке |
равен |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
res |
|
f (z)= |
|
|
lim |
|
|
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1 |
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|
d |
(z − 2 |
|
|
|
2 |
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/ |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2i) |
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|
f (z) . |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z=2 2i |
|
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z→2 2i |
|
(2 −1)! dz |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Кроме того, |
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res |
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f |
= c−1 |
9, |
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где c−1 - |
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коэффициент разложения функции f |
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в ряд Лорана с центром в конечной точке |
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z=2 2i |
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2 |
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2i |
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при |
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z |
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f (2 |
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2i +iv)= |
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Рассмотрим точку z = 0 +iy = 2 |
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2i +iv . |
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2i +iv |
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(g(2 2i +iv)−3)2 |
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2 2i +iv |
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2 2i +iv |
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(β+(2π −β )) |
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iπ + |
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1 + 4 2 + 4 2v + v |
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e |
i |
2π |
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(2 2 + v) e |
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2i +iv |
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9 + 4 2v + v |
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v + |
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9 |
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v |
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2 2 |
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v2 |
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2 2 |
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9 1 + |
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v + |
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+ |
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− |
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v |
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+ o(v |
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) |
− |
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9 |
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9 |
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v + |
18 |
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− |
8 81 |
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v + o(v ) |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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9 |
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9 |
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2! 2 |
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2 |
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(2 2 + v)i |
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(2 2 + v)i |
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2 2 |
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2 |
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9 v |
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9 2 2 |
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2 |
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4 2 |
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v |
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2 |
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2 |
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9 |
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v2 |
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− |
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v + o(v) |
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+ o(v) |
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9 |
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1 |
+ |
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9 |
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2 2 18 |
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2 2 |
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81 |
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9 |
2 |
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4 2 9 2 |
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(2 2 + v)i |
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9(2 2 + v)i |
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1 |
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= |
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8v2 |
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1 − |
2 |
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v + o(v) = |
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2 |
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4 2 |
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9 |
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8 2 |
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9 |
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8 |
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v |
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||||||
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9 |
|
|
1 + |
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v + o(v) |
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4 2 9 9 2 |
4 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 2 1 |
|
|
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|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
18 2 9 |
|
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
18 2 1 |
|
|
9 |
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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2 |
|
|
+ |
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v + o(v) = |
|
|
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|
2 + |
|
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|
− |
|
|
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v + o(v) i |
|
= |
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2 |
− |
|
|
|
+ |
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|
9 |
8v |
|
|
|
8v |
i 1 − |
|
|
|
|
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|
9 |
|
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|
8v |
8v |
|
1 |
|
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8v |
8v |
8v |
+O(1) i = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
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2 2 |
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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18 2 |
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
|
− |
|
|
18 2 |
i + |
|
|
1 |
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|
− |
9 |
|
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+O(1) |
|
|
|
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8iv |
8iv |
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8(iv)2 |
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По теореме единственности имеем: f (2 |
|
2i + w)= −18 |
|
2 i + |
1 −9 1 |
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+O(1). Откуда получаем, |
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что коэффициент c−1 |
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1 |
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8w2 |
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8 |
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|
w |
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||||||||||||||
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= −1, следовательно |
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. |
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равен c−1 |
res f (z)= c−1 = −1 |
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I = |
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= 0 |
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h Окончательно |
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− |
2πi res |
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f (z)+ res f (z) = − 2πi(1 −1) |
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z=2 |
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2i |
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z=∞ |
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={z : |
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= r}- |
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8 Определение. Пусть изолированная особая точка a |
C |
функции |
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f : B ρ (a)→ C , |
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ρ > 0 . Пусть γr |
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z −a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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положительно ориентированная окружность, причем 0 < r < ρ . Тогда вычетом функции |
f |
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в точке a называется число |
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res f |
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= |
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∫γ |
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f (z)dz . |
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2πi |
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r |
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9 res f |
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= c−1 , где c−1 - коэффициент разложения функции |
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в ряд Лорана с центром в конечной точке a при |
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a |
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