zadanie

быть получены мутацией (строгой мутацией) всевозможных пар слов .

i.Замкнуто ли множество регулярных языков относительно мутации?

ii.Замкнуто ли множество регулярных языков относительно строгой мутации?

Д-5 (2х0.03 баллов). Какие из следующих языков в алфавите {0,1} регулярные?

4 (30.09 -6.10). Конечные автоматы и регулярные языки IV.

Теорема Майхилла-Нероуда. Минимальные автоматы.

Проходной балл: 0.15

14 (0.03 балла). Порождает ли выражение (ab)*(ba)* тот же язык, что распознаѐтся ДКА N=({A,B,C,D}, {a,b}, , A,{A,D,E}), где функция переходов задана следующим образом:

(A, a) =B, (A, b) =C, (B, b) =D, (C, a) =E, (D, a) =B, (D, b) =C, (E, b) =C?

15. (2х0.02 баллов). Найдите разбиение на минимальное число классов правоинвариантной (И/ИЛИ левоинвариантной) эквивалентности, которые индуцируют следующие языки.

i. Язык, порождаемый выражением . ii. Язык {an2 } в однобуквенном алфавите.

Заключительное алгоритмическое упражнение.

i.По диаграмме A1 постройте праволинейную грамматику G для L.

ii.Запишите определяющую систему уравнений для G. Найдите еѐ наименьшую неподвижную точку и вычислите регулярное

iv. Выберите какое-нибудь из регулярных выражений 1 или 2 и постройте НКА A2 по регулярному выражению (см. § 3.3.1 книги [3]).

v. Выберите какой-нибудь из НКА A1 или A2 и постройте ДКА D1.

vi. Выберите какое-нибудь из регулярных выражений 1 или 2 и постройте ДКА D2 (см. § 3.3.3 книги [3]).

vii. Выберите какой-нибудь из ДКА D1 или D2, дополните его, если нужно, до полного и постройте минимальный полный ДКА min A для L. Для каждой пары состояний укажите соответствующие различающие цепочки. Сравните полученный КА с автоматом, построенным в задаче 5.

Д-6 (2х0.03 баллов). Используя теорему МайхиллаНероуда, докажите следующий критерий (теорема Jaffe). Это утверждение полезно сравнить с леммой о раз растании для регулярных языком. Если вы будете использовать

этот критерий, то обязаны привести его краткое доказательство.

i.Докажите необходимость теоремы Jaffe.

ii.Докажите достаточность теоремы Jaffe.

5 (7.10 -13.10). Порождающие грамматики. Контекстносво-

бодные грамматики (КСГ). Однозначные КСГ. Проход-

ной балл: 0.18

17 (0.02+0.01+0.04 баллов). i. Покажите индукцией по длине слова, что КСГ G с правилами S SS | aSb | bSa | порождает язык L= всех слов с равным числом литералов a и b.

Другие доказательства, кроме индукции, не принимаются.

ii.Покажите, что G неоднозначная, предъявив два правых выводы некоторого слова языка.

iii.Грамматика называется линейной, если в правые части

правил вывода входит не более одного нетерминала. Покажите, что язык L= не порождается никакой линейной КСГ.

18 (0.02+0.03+0.03 баллов). i. Покажите, что язык палиндромов в произвольном алфавите (т. е. язык всех слов, которые одинаково читаются слева-направо и справа-налево, например, «ротор») является КС-языком.

ii Покажите, что дополнительный язык всех непалиндромов также является КС-языком.

язык U не является КСЯ, то это означает, что в отличии от регулярных языков множество КСЯ не замкнуто относительно дополнения.

19(0.03 балла). КС-грамматика называется левооднозначной, если каждое слово порождаемого ею языка имеет единственный левый вывод. Аналогично определяется правооднозначная грамматика. Можно ли построить пример левооднозначной, но не правооднозначной КС-грамматики?

20(0.04 балла). Постройте однозначную КС-грамматику

Д-7 (0.04 балла). Покажите, что язык всех «неквадратов», т. е. является КС-языком.

6 (14.10 -20.10). КС-языки и магазинные автоматы. Проход-

ной балл: 0.18

21 (3х0.02 баллов). Для языка

i.Постройте недетерминированный МА P, принимающий

L.

ii.Используя NG-теорему, постройте эквивалентную КСграмматику.

iii.Продемонстрируйте работу построенного МА на слове accab (проанализируйте все варианты поведения).

22 (2х0.02 баллов).i. Постройте магазинный автомат (МА), принимающий язык L= из задачи 17.

ii. Докажите, что нельзя построить детерминированный N- автомат, принимающий язык L=.

23 (2х0.01+0.05+0.02 баллов). Диаграмма F-автомата, изображена на рисунке (на стрелке-переходе в новое

состояние записана тройка: [читаемый символ входной ленты, символ в голове стека, слово, которым будет заменена голова стека]; «e» на рисунке обозначает ε).

i.Является ли детерминированным?

ii.Верно ли, что удовлетворяет

определению расширенного МА, но не удовлетворяет определению МА?

iii. Докажите или опровергните, что принимает язык L=.

iv. Используя FN-теорему, постройте по эквивалентный N-автомат. Будет ли он детерминированным

24 (0.04 балла). Пусть А – МА. Постройте МА В, принимающий все префиксы языка L(A), т. е. язык

Д-8. Докажите что язык L принимается детерминированным N-автоматом тогда и только тогда, когда он принимается детерминированным F-автоматом и имеет префиксное свойство (т. е. никакое слово . L не является собственным префиксом никакого другого слова L).

Д-9 (2х0.03 баллов). i. Постройте детерминированный МА, принимающий язык L=, и приведите доказательство его корректности.

ii. Постройте однозначную КСГ, порождающую L=.

7 (21.10 -27.10). Стандартные формы КС-языков. Эквива-

лентные преобразования КСГ. Алгоритм Кока-Янгера-

Касами. Проходной балл: 0.15

25(0.04 балла). С помощью алгоритма Кока-Янгера-Касами (см. §

4.2.1книги [3]) покажите, что слово принадлежит КСЯ, порождаемому грамматикой с правилами:

− терминалы.

28 (0.03 балла). Постройте алгоритм, находящий все нетерминалы КС-грамматики, из которых выводится пустое слово, и оцените трудоемкость вашей процедуры.

Д-9 (0.02 балла). Введите нужные параметры и оцените трудоемкость алгоритма построения КСГ без ε-правил.

8 (28.10 -3.11). Свойства замкнутости КС-языков. Лемма о разрастании для КС-языков. Проходной балл: 0.15

30 (0.03 балла). С помощью леммы о разрастании покажите, что язык

не является КС-языком.

31 (0.04+0.02 баллов). Пусть где

i.Является ли дополнение языка L КС-языком?

ii.Является ли дополнение L регулярным языком?

Д-10 (0.04 балла). Покажите, что в однобуквенном алфавите КС-языки являются регулярными.

Задачи из вариантов промежуточной контрольной работы

прошлых

Задачи 14, 21, 31 текущего задания.

К-1. Заданы грамматика

и МА

,

принимающий слова опустошением магазина.

i.Эквивалентны ли грамматика G и N-автомат M?

ii.Однозначна ли грамматика G? Если нет, то постройте эквивалентную ей однозначную грамматику.

iii.Является ли автомат M детерминированным? Если нет, постройте эквивалентный ему детерминированный МА.

однозначную КС-грамматику и детерминированный МП-автомат. Решение обосновать.