zadachnik_po_teorii_grupp
.pdf5.6. • ©â¨ ¬®é-®á⨠¢á¥å ª« áᮢ ᮯà殮--ëå í«¥¬¥-⮢ ¢
S5.
5.7.• ©â¨ ç¨á«® ª« áᮢ ᮯà殮--ëå í«¥¬¥-⮢ ¢ S6.
5.8.„®ª § âì, çâ® £à㯯 ¯®à浪 15 ¡¥«¥¢ .
5.9.„®ª § âì, çâ® ¢ S5 -¥â ¯®¤£à㯯 ¯®à浪 15.
5.10.•ãáâì jGj = pn, £¤¥ p | ¯à®á⮥ ¨ n > 0. „®ª § âì, çâ®
Z(G) 6= 1.
5.11. • ©â¨ ¢á¥ à¥è¥-¨ï ¢ - âãà «ì-ëå ç¨á« å ãà ¢-¥-¨ï ª« áᮢ ¤«ï m = 1; 2; 3:
1 |
+ : : : + |
1 |
= 1: |
|
|
||
x1 |
xm |
5.12.Ž¯¨á âì ¢á¥ ª®-¥ç-ë¥ £à㯯ë, ¨¬¥î騥 -¥ ¡®«¥¥ âà¥å ª« áᮢ ᮯà殮--ëå í«¥¬¥-⮢.
5.13.•ãáâì G | ®¡ê¥¤¨-¥-¨¥ âà¥å ᮡá⢥--ëå ¯®¤£à㯯 H1,
H2 ¨ H3. „®ª § âì:
) H1 \ H2 = H1 \ H3 = H2 \ H3; ¡) jG : Hij = 2; i = 1; 2; 3:
x 6. •®à¬ «ì-ë¥ ¯®¤£à㯯ë
6.1.„®ª § âì, çâ® ¯¥à¥á¥ç¥-¨¥ -®à¬ «ì-ëå ¯®¤£à㯯 | -®à- ¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 .
6.2.„®ª § âì, çâ® «î¡®© ª« áá ᮯà殮--ëå í«¥¬¥-⮢ ¯®- ஦¤ ¥â -®à¬ «ì-ãî ¯®¤£à㯯ã.
6.3.•ãáâì H ¨ K | -®à¬ «ì-ë¥ ¢ G ¯®¤£à㯯ë. „®ª § âì, çâ® ¬-®¦¥á⢮
HK = fxy j x 2 H; y 2 Kg
ï¥âáï -®à¬ «ì-®© ¯®¤£à㯯®© ¢ G.
6.4. „®ª § âì, çâ® «î¡ ï ¯®¤£à㯯 |
¨-¤¥ªá 2 ï¥âáï -®à- |
¬ «ì-®©. |
|
6.5. •ãáâì G | ¡¥«¥¢ £à㯯 . „®ª § âì, çâ® G | ¯à®áâ ï |
|
£à㯯 , jGj | ¯à®á⮥ ç¨á«®. |
¨§ Z(G) ï¥âáï -®à- |
6.6. „®ª § âì, çâ® «î¡ ï ¯®¤£à㯯 |
|
¬ «ì-®© ¢ G. |
|
6.7. •ãáâì H C Sn ¨ n > 5. „®ª § âì, çâ® H = 1, H = An ¨«¨
H = Sn.
11
6.8.• ©â¨ ¢á¥ -®à¬ «ì-ë¥ ¯®¤£àã¯¯ë ¢ Sn ¤«ï n 6 4.
6.9.„®ª § âì, çâ® Z(Sn) = 1 ¤«ï n > 3.
x 7. ” ªâ®à£à㯯ë, ¬®à䨧¬ë, ⥮६ë
®¡ ¨§®¬®à䨧¬ å, ¯àï¬ë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï
7.1. „®ª § âì, çâ® ¬ã«ì⨯«¨ª ⨢- ï £à㯯 |
¯®«®¦¨â¥«ì- |
||
-ëå ¤¥©á⢨⥫ì-ëå ç¨á¥« ¨§®¬®àä- ¤¤¨â¨¢-®© £à㯯¥ ¢á¥å |
|||
¤¥©á⢨⥫ì-ëå ç¨á¥«. |
|
|
|
7.2. „®ª § âì, çâ® ¬ã«ì⨯«¨ª ⨢- ï £à㯯 ¢á¥å -¥-ã«¥¢ëå |
|||
¤¥©á⢨⥫ì-ëå ç¨á¥« ¨§®¬®àä- |
¯àאַ¬ã ¯à®¨§¢¥¤¥-¨î 横- |
||
«¨ç¥áª®© £àã¯¯ë ¯®à浪 2 ¨ ¬ã«ì⨯«¨ª ⨢-®© £à㯯¥ ¯®«®- |
|||
¦¨â¥«ì-ëå ¤¥©á⢨⥫ì-ëå ç¨á¥«. ‚뢥á⨠®âáî¤ , çâ® ¬ã«ì- |
|||
⨯«¨ª ⨢- ï £à㯯 ¢á¥å -¥-ã«¥¢ëå ¤¥©á⢨⥫ì-ëå ç¨á¥« |
|||
-¥¨§®¬®àä- |
¬ã«ì⨯«¨ª ⨢-®© £à㯯¥ ¢á¥å ¯®«®¦¨â¥«ì-ëå |
||
¤¥©á⢨⥫ì-ëå ç¨á¥«. |
|
|
|
7.3. „®ª § âì, çâ® ¬ã«ì⨯«¨ª ⨢- ï £à㯯 |
¢á¥å ¯®«®¦¨- |
||
⥫ì-ëå à 樮- «ì-ëå ç¨á¥« ¨§®¬®àä- ¤¤¨â¨¢-®© £à㯯¥ |
|||
¢á¥å 楫®ç¨á«¥--ëå ä¨-¨â à-ëå áâப, â. ¥. áâப á ª®-¥ç- |
|||
-ë¬ ç¨á«®¬ -¥-ã«¥¢ëå ª®®à¤¨- â, |
|
||
|
f(x1; x2; : : :) j xi 2 Zg ; |
|
|
á ¯®ª®®à¤¨- â-®© ®¯¥à 樥© á«®¦¥-¨ï. |
|
||
7.4. „®ª § âì, çâ® ¬ã«ì⨯«¨ª ⨢- ï £à㯯 |
ª®¬¯«¥ªá-ëå |
||
ç¨á¥« á ¬®¤ã«¥¬, à ¢-ë¬ 1, |
|
|
|
|
T = fz 2 C j jzj = 1g ; |
|
|
¨§®¬®àä- |
ä ªâ®à£à㯯¥ R=Z, |
¤¤¨â¨¢-®© |
£à㯯ë R ¯® |
£à㯯¥ 楫ëå ç¨á¥« Z. |
|
|
7.5.„®ª § âì, çâ® £à㯯 ¢à é¥-¨© ªã¡ ¨§®¬®àä- S4, £à㯯 ¢á¥å ᨬ¬¥â਩ ªã¡ ¨§®¬®àä- Z2 £ S4.
7.6.„®ª § âì, çâ® £à㯯 ¢à é¥-¨© ¯à ¢¨«ì-®£® â¥âà í¤à ¨§®¬®àä- A4, £à㯯 ¢á¥å ᨬ¬¥â਩ â¥âà í¤à ¨§®¬®àä-
S4.
7.7. „®ª § âì, çâ® £à㯯 ᨬ¬¥â਩ ªã¡ ¨§®¬®àä- £à㯯¥ ᨬ¬¥â਩ ¯à ¢¨«ì-®£® ®ªâ í¤à .
12
7.8. „®ª § âì, ç⮠横«¨ç¥áª ï £à㯯 |
¯®à浪 n ¨§®¬®àä- |
|
Zn, |
¡¥áª®-¥ç- ï 横«¨ç¥áª ï £à㯯 |
¨§®¬®àä- Z. |
7.9. |
„®ª § âì, çâ® ¯àאַ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ª®-¥ç-®£® - ¡®à |
|
£à㯯 ï¥âáï 横«¨ç¥áª®© £à㯯®© |
, ¢á¥ ¯àï¬ë¥ ᮬ-®- |
¦¨в¥«¨ п¢«повбп ж¨ª«¨з¥бª¨¬¨ £аг¯¯ ¬¨ ¢§ ¨¬-® ¯а®бвле |
|
¯®à浪®¢. |
|
7.10. |
„®ª § âì, çâ® ¯àאַ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ £à㯯 ¥áâì ¡¥«¥¢ |
£à㯯 |
, ¢á¥ ¯àï¬ë¥ ᮬ-®¦¨â¥«¨ | ¡¥«¥¢ë £à㯯ë. |
7.11.„®ª § âì, çâ® æ¥-âà ¯àאַ£® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï £à㯯 ᮢ¯ - ¤ ¥â á ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥¬ æ¥-â஢ ª®®à¤¨- â-ëå ¯®¤£à㯯.
7.12.•ãáâì p | ¯à®á⮥ ç¨á«®. ƒà㯯 G - §ë¢ ¥âáï í«¥¬¥-- â à-®© ¡¥«¥¢®© p-£à㯯®©, ¥á«¨ ®- , ¢®-¯¥à¢ëå, ¡¥«¥¢ , ¨,
¢®-¢â®àëå, ¤«ï «î¡®£® x 2 G xp = 1.
„®ª § âì, çâ® G ¥áâì ª®-¥ç- ï í«¥¬¥-â à- ï ¡¥«¥¢ p-
£à㯯 |
, G ¥áâì ¯àאַ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ª®-¥ç-®£® ç¨á« 横- |
||
«¨ç¥áª¨å £à㯯 ¯®à浪 p. |
x2 2 H. „®ª § âì, |
||
7.13. •ãáâì H 6 G ¨ ¤«ï «î¡®£® x 2 G |
|||
çâ® H C G, ¨ G=H | í«¥¬¥-â à- ï ¡¥«¥¢ |
2-£à㯯 . |
||
7.14. |
Š« áá¨ä¨æ¨à®¢ âì, á â®ç-®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ , ¢á¥ |
||
£àã¯¯ë ¯®à浪®¢ 6 5. |
|
||
7.15. •ãáâì V = h(1 2)(3 4); (1 3)(2 4)i. „®ª § âì, çâ® |
|||
1) |
V »= Z2 £ Z2; |
|
|
2) |
V C S4; |
|
|
3) |
S4=V »= S3; |
|
|
4) |
A4=V »= Z3: |
|
7.16. •ãáâì f : G ! H | £®¬®¬®à䨧¬. „®ª § âì:
1)®¡à § «î¡®© ¯®¤£àã¯¯ë ¨§ G ¥áâì ¯®¤£à㯯 ¢ H;
2)®¡à § «î¡®© -®à¬ «ì-®© ¯®¤£àã¯¯ë ¨§ G ¥áâì -®à¬ «ì- - ï ¯®¤£à㯯 ¢ f(G);
3)¯®«-ë© ¯à®®¡à § «î¡®© ¯®¤£àã¯¯ë ¨§ f(G) ¥áâì ¯®¤- £à㯯 ¢ G;
4)¯®«-ë© ¯à®®¡à § «î¡®© -®à¬ «ì-®© ¯®¤£àã¯¯ë ¨§ f(G) ¥áâì -®à¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 ¢ G;
5)®¡à § «î¡®© 横«¨ç¥áª®© ¯®¤£àã¯¯ë ¨§ G ¥áâì 横«¨ç¥á- ª ï £à㯯 ;
6)®¡à § ¡¥«¥¢®© ¯®¤£àã¯¯ë ¨§ G ¥áâì ¡¥«¥¢ £à㯯 .
13
7.17. •®¯ëâ âìáï á ¬®áâ®ï⥫ì-® ¤®ª § âì ¢â®àãî ¨ âà¥âìî â¥®à¥¬ë ®¡ ¨§®¬®à䨧¬ å.
7.18. •ãáâì G | ¡¥«¥¢ £à㯯 ¨ n 2 Z. „®ª § âì, çâ® ®â®- ¡à ¦¥-¨¥ f : G ! G, ®¯à¥¤¥«¥--®¥ ¯® ¯à ¢¨«ã
f(x) = xn;
¥áâì í-¤®¬®à䨧¬ £à㯯ë G.
7.19. •ãáâì G | ¯à®¨§¢®«ì- ï £à㯯 ¨ g 2 G. „®ª § âì, çâ® ®â®¡à ¦¥-¨¥ f : G ! G, ®¯à¥¤¥«¥--®¥ ¯® ¯à ¢¨«ã
f(x) = g¡1xg;
¥áâì ¢â®¬®à䨧¬ £à㯯ë G.
‡ ¬¥ç -¨¥. •â®â ¢â®¬®à䨧¬ - §ë¢ ¥âáï ¢-ãâà¥--¨¬. 7.20. •ãáâì G | ¯à®¨§¢®«ì- ï £à㯯 ¨ g 2 G. „®¯ãá⨬, çâ®
gZ(G) 2 Z(G=Z(G)). „®ª § âì, çâ® ®â®¡à ¦¥-¨¥ f : G ! G, ®¯à¥¤¥«¥--®¥ ¯® ¯à ¢¨«ã
f(x) = x¡1g¡1xg;
¥áâì í-¤®¬®à䨧¬ £à㯯ë G. • ©â¨ Ker f.
x 8. „¥©á⢨¥ £à㯯ë. Žà¡¨âë ¨ áâ ¡¨«¨§ â®àë
8.1. Ž¡êïá-¨âì, ¯®ç¥¬ã ¬ë -¥ ¬®¦¥¬ ®¯à¥¤x¥«¨âì ¤¥©á⢨¥ £à㯯ë G - ᥡ¥ «¥¢ë¬ ᤢ¨£®¬, ¯®« £ ï a = xa. •®ª -
§ âì, ª ª ¬®¦-® ®¯à¥¤¥«¨âì ¤¥©á⢨¥ G ᤢ¨£®¬ - ¬-®¦¥á⢥ «¥¢ëå ᬥ¦-ëå ª« áᮢ faH j a 2 Gg ¯®¤£à㯯ë G.
8.2. •ãáâì £à㯯 G ¤¥©áâ¢ã¥â - -, x; y 2 G ¨ ®; ¯ 2 -. |
|
„®ª § âì: |
|
1) |
®à¡¨âë ®G ¨ ¯G «¨¡® ᮢ¯ ¤ îâ, «¨¡® -¥ ¨¬¥îâ ®¡é¨å |
|
â®ç¥ª; |
2) |
¥á«¨ ¯ = ®x, â® G¯ = x¡1G®x; |
3) |
®x = ®y , G®x = G®y. |
8.3. •ãáâì £à㯯 G ¤¥©áâ¢ã¥â âà -§¨â¨¢-® - -. „®ª § âì,
çâ® áâ ¡¨«¨§ â®àë G® â®ç¥ª ® 2 - ®¡à §ãîâ ª« áá ᮯà殮-- -ëå ¢ G ¯®¤£à㯯 ¨ jG : G®j = j-j ¤«ï «î¡®£® ® 2 -.
14
8.4. •®à¬ «¨§ â®à®¬ ¯®¤¬-®¦¥á⢠|
H ¢ £à㯯¥ G - §ë¢ ¥âáï |
|||
¬-®¦¥á⢮ |
¢ G, |
ª |
H |
|
„®ª § âì, çâ® NG(H) |©¯®¤£à㯯 |
|
|||
NG(H) = x 2 G j x¡1Hx = H : |
|
|
||
|
|
¯à¨ç¥¬, ¥á«¨ |
|
| |
¯®¤£à㯯 , â® H 6 NG(H).
8.5. •ãáâì H 6 G. „®ª § âì, çâ® ç¨á«® ᮯà殮--ëå á H
¯®¤£à㯯 à ¢-® jG : NG(H)j. |
T |
|
. „®ª § âì: |
1) K |
¯®¤£à㯯 , ᮤ¥à¦ - |
||
8.6. •ãáâì H 6 G, jG : Hj = n ¨ K = |
|
Hx |
|
x2G
é ïáï ¢ H;
2)¨-¤¥ªá jG : Kj ï¥âáï ¤¥«¨â¥«¥¬ n!;
3)K ᮢ¯ ¤ ¥â á ï¤à®¬ ¤¥©áâ¢¨ï £à㯯ë G ᤢ¨£®¬ - ¯à - ¢ëå ᬥ¦-ëå ª« áá å ¯®¤£à㯯ë H.
8.7.•ãáâì p | ¬¨-¨¬ «ì-®¥ ¯à®á⮥ ç¨á«®, ¤¥«ï饥 ¯®à冷ª
G. „®ª § âì, çâ® «î¡ ï ¯®¤£à㯯 ¨-¤¥ªá p ¨§ G ï¥âáï -®à¬ «ì-®©. ‚ ç áâ-®áâ¨, ¥á«¨ jGj = pn, â® «î¡ ï ¯®¤£à㯯
¨-¤¥ªá p -®à¬ «ì- .
8.8. •ãáâì H < G ¨ jGj = pn, p | ¯à®á⮥. „®ª § âì, çâ®
H < NG(H). ‚ ç áâ-®áâ¨, ª ¦¤ ï ¬ ªá¨¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 ¨§ G ï¥âáï -®à¬ «ì-®© ¨ ¥ñ ¨-¤¥ªá à ¢¥- p.
8.9. •ãáâì jGj = pn, p | ¯à®á⮥. „®ª § âì, çâ® ¤«ï «î¡®£® ¤¥«¨â¥«ï m ¯®à浪 G - ©¤¥âáï ¯®¤£à㯯 ¯®à浪 m.
8.10. –¥-âà «¨§ â®à®¬ ¯®¤¬-®¦¥á⢠M ¨§ £à㯯ë G - §ë- ¢ ¥âáï ¬-®¦¥á⢮
CG(M) = fx 2 G j xm = mx ¤«ï «î¡®£® m 2 Mg :
„®ª § âì, çâ® CG(M) | ¯®¤£à㯯 ¢ G ¨ CG(M) 6 NG(M). 8.11. •ãáâì a 2 G. „®ª § âì:
CG(aG) = \ x¡1CG(a)x:
x2G
8.12. „®ª § âì, çâ® ï¤à® ¤¥©á⢨ï ᮯà殮-¨¥¬ £à㯯ë G - ª« áᥠaG ᮯà殮--ëå á a í«¥¬¥-⮢ ᮢ¯ ¤ ¥â á æ¥-âà «¨- § â®à®¬ CG(aG).
8.13. •ãáâì - | G-¯à®áâà -á⢮ ¨ g; h 2 G. „®ª § âì:
15
1) Supp(gh) = (Supp(g))h; 2) Fix(gh) = (Fix(g))h.
8.14. „®ª § âì, çâ® £à㯯 ¯®à浪 4n + 2 ¨¬¥¥â ¯®¤£à㯯ã
¨-¤¥ªá 2.
8.15. „®ª § âì, çâ® S6 -¥ ¨¬¥¥â ¯®¤£à㯯 ¯®à浪®¢ 30 ¨ 40.
8.16. „®ª § âì, çâ® ¤¥©á⢨¥ £à㯯ë ᨬ¬¥â਩ ªã¡ - ¬-®- ¦¥á⢥ ¥£® è¥á⨠£à -¥© âà -§¨â¨¢-®. ‚뢥á⨠®âáî¤ , çâ® £à㯯 ᨬ¬¥â਩ ªã¡ ¨¬¥¥â ¯®¤£à㯯㠨-¤¥ªá 6.
8.17. •ãáâì GA | áâ ¡¨«¨§ â®à ¢¥àè¨-ë A ¢ £à㯯¥ ᨬ¬¥â- ਩ ªã¡ . • ©â¨ ¢á¥ ®à¡¨âë £à㯯ë GA - ¬-®¦¥á⢥ ॡ¥à
ªã¡ . |
|
8.18. • ©â¨ ¯®à冷ª £à㯯ë ᨬ¬¥â਩ ¯à ¢¨«ì-®£® ¤®¤¥ª - |
|
í¤à . |
|
8.19. „®ª § âì, çâ® ç¨á«® à §«¨ç-ëå ¬-®£®ç«¥-®¢, ª®â®àë¥ |
|
¬®¦-® ¯®«ãç¨âì ¨§ ¬-®£®ç«¥- |
f ¯¥à¥áâ -®¢ª ¬¨ ¯¥à¥¬¥--ëå, |
à ¢-® ¨-¤¥ªáã áâ ¡¨«¨§ â®à |
f ¢ ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®© £à㯯¥ ¢á¥å |
¯¥à¥áâ -®¢®ª ¯¥à¥¬¥--ëå. ‚뢥á⨠®âáî¤ , çâ® íâ® ç¨á«® -¥ ¬®¦¥â ¡ëâì à ¢-® 8, 4 ¨«¨ 3, ¥á«¨ f | ¬-®£®ç«¥- á 5 ¯¥à¥¬¥--
-묨.
x 9. • áªà 訢 -¨¥ £à㯯®¢ëå ¯à®áâà -áâ¢
ƒà㯯®¢ ï ä®à¬ã«¨à®¢ª § ¤ ç¨. „«ï ¤ --®£® G-
¯à®áâà -á⢠- - ©â¨ ç¨á«® ®à¡¨â ¤¥©áâ¢¨ï £à㯯ë G - |
¯à®- |
áâà -á⢥ äã-ªæ¨© © = Fun(-; C). |
|
‹î¡®© í«¥¬¥-â ¬-®¦¥á⢠C - §ë¢ ¥âáï 梥⮬, |
í«¥- |
¬¥-âë ¨§ ©, â. ¥. ®â®¡à ¦¥-¨ï ¬-®¦¥á⢠- ¢ ¬-®¦¥á⢮ 梥- ⮢ C, - §ë¢ ¥âáï à áªà ᪮© -. „¢¥ à áªà ᪨ - §ë¢ îâáï ®¤¨- ª®¢ë¬¨, ¥á«¨ ®-¨ «¥¦ â ¢ ®¤-®© ®à¡¨â¥ ¤¥©á⢨ï G - ©.
—¨á«® à §«¨ç-ëå à áªà ᮪ G-¯à®áâà -á⢠- ¬®¦-® ¢ë-
ç¨á«¨âì ¯® ä®à¬ã«¥: |
|
Žá-®¢- ï ä®à¬ã« |
P qcyc(x) |
|
n = x2G
jGj
£¤¥ n | ç¨á«® à §«¨ç-ëå à áªà ᮪, q | ç¨á«® 梥⮢, â. ¥. ¬®é-®áâì
;
¬-®¦¥á⢠C,
16
cyc(x) | ç¨á«® 横«®¢ ¯®¤áâ -®¢ª¨, ¨-¤ãæ¨à㥬®© ¤¥©áâ- ¢¨¥¬ x - -.
• àï¤ã á ®á-®¢-®© ä®à¬ã«®© ¨á¯®«ì§ã¥âáï ã¯à®é¥-- ï ä®à¬ã« , ¢ë⥪ îé ï ¨§ ®á-®¢-®©:
“¯à®é¥-- ï ä®à¬ã«
Xm qcyc(xi)
n = i=1 jCG(xi)j ;
£¤¥ x1; : : : ; xm | ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«¨ ¢á¥å ª« áᮢ ᮯà殮--ëå í«¥- ¬¥-⮢ ¢ £à㯯¥ G.
Šà®¬¥ ®á-®¢-®© ¨ ã¯à®é¥--®© ä®à¬ã« áãé¥áâ¢ã¥â ¥éñ -¥- ᪮«ìª® ä®à¬ã«, 㬥-ìè îé¨å ®¡ê¥¬ ¢ëç¨á«¥-¨©. ‚ᥠí⨠ä®à¬ã«ë ¯®«ãç îâáï ¨§ ®á-®¢-®© ä®à¬ã«ë á ¯®¬®éìî á«¥- ¤ãîé¨å á®®¡à ¦¥-¨©: ¥á«¨ ¯®¤áâ -®¢ª¨ a ¨ b ¬-®¦¥á⢠-
ᮯà殮-ë ¢ Sym(-), â® cyc(a) = cyc(b). ‚ ç áâ-®áâ¨, ¥á«¨ í«¥¬¥-âë x ¨ y ¨§ G ᮯà殮-ë ¢ G, â® cyc(x) = cyc(y), çâ® ¨
¯®§¢®«ï¥â ᮪à â¨âì ¢ëç¨á«¥-¨ï ¢ ã¯à®é¥--®© ä®à¬ã«¥. |
||
‡ ¬¥ç -¨¥. ‚ à¥è¥-¨¨ § ¤ ç, ¯à¨¢¥¤¥--ëå -¨¦¥, à §à¥è - |
||
¥âáï ¨á¯®«ì§®¢ âì ⮫쪮 ®á-®¢-ãî ¨ ã¯à®é¥--ãî ä®à¬ã«ë. |
||
…᫨ áâ㤥-⠯ਬ¥-ï¥â ¤àã£ãî ä®à¬ã«ã, â® ®- ¤®«¦¥- ¯®ïá- |
||
-¨âì ¥ñ. |
|
m à ¢-ëå ᥪâ®à®¢ ¤«ï m 2 |
9.1. „ --ë© ªàã£ à §¡¨â - |
||
2 f6; 7; 8; 9; 10; 11; 12g (á¬. |
à¨á. 1). • ©â¨ ç¨á«® à §«¨ç-ëå |
|
à áªà ᮪ ᥪâ®à®¢ ªà㣠|
¢ ¤¢ |
梥â , áç¨â ï à áªà ᪨ ®¤¨- |
- ª®¢ë¬¨, ¥á«¨ ®¤-ã ¨§ -¨å ¬®¦-® ¯®«ãç¨âì ¨§ ¤à㣮© á ¯®- |
||
¬®éìî ¢à é¥-¨© ªà㣠. |
|
|
9.2. • ©â¨ ç¨á«® à §«¨ç-ëå ®¦¥à¥«¨©, ᤥ« --ëå ¨§ m ¡ãá¨- -®ª ¤¢ãå 梥⮢, ¤«ï m 2 f6; 7; 8; 9g (á¬. à¨á. 2).
•¨á. 1 |
•¨á. 2 |
•¨á. 3 |
17
‡ ¬¥ç -¨¥. „¢ ®¦¥à¥«ìï áç¨â îâáï ®¤¨- ª®¢ë¬¨, ¥á«¨ ¨§ -¨å ®¤-® ¬®¦-® ¯®«ãç¨âì ¨§ ¤à㣮£® á ¯®¬®éìî ¢à é¥-¨ï ¨ ¯¥à¥¢®à 稢 -¨ï.
9.3. •®¤áç¨â âì ç¨á«® à §«¨ç-ëå 01-á«®¢ ¤«¨-ë p2 ¨«¨ pq, £¤¥ p ¨ q | à §«¨ç-ë¥ ¯à®áâë¥ ç¨á« , áç¨â ï ¤¢ á«®¢ ®¤¨- ª®-
¢ë¬¨, ¥á«¨ ®¤-® ¨§ -¨å ¬®¦-® ¯®«ãç¨âì ¨§ ¤à㣮£® á ¯®¬®éìî 横«¨ç¥áª®£® ᤢ¨£ .
9.4. • ©â¨ ç¨á«® à §«¨ç-ëå à áªà ᮪ ª«¥â®ª ª¢ ¤à â 3 £ 3
(á¬. à¨á. 3) ¢ ¤¢ 梥â , áç¨â ï ¤¢¥ à áªà ᪨ ®¤¨- ª®¢ë¬¨, ¥á«¨ ®¤-ã ¨§ -¨å ¬®¦-® ¯®«ãç¨âì ¨§ ¤à㣮© á ¯®¬®éìî
) ¯¥à¥áâ -®¢ª¨ áâப ¨ á⮫¡æ®¢±ª¢, ¤à â , ¡) ¯®¢®à®â®¢ ª¢ ¤à â - 㣮« 90
¢) |
âà -ᯮ-¨à®¢ -¨ï ª¢ ¤à â , |
|
|
£) ¯¥à¥áâ -®¢ª¨ á⮡殢 ¨ áâப ª¢ ¤à â , â ª¦¥ ¯®¢®à®- |
|||
|
⮢ ª¢ ¤à â - 90±, |
|
|
¤) ¯¥à¥áâ -®¢ª¨ áâப ¨ á⮫¡æ®¢ ª¢ ¤à â , |
â ª¦¥ ¥£® |
||
|
âà -ᯮ-¨à®¢ -¨ï, |
|
|
¥) ¯¥à¥áâ -®¢ª¨ áâப ª¢ ¤à â , |
|
|
|
¦) ç¥â-ëå ¯¥à¥áâ -®¢®ª áâப ¨ |
á⮫¡æ®¢ ª¢ ¤à â . |
9.5. • ©â¨ ç¨á«® à §«¨ç-ëå 01-¬ âà¨æ à §¬¥à®¢ 2 £ 3, 2 £
£ 4, 3 £ 4, áç¨â ï ¤¢¥ ¬ âà¨æë ®¤¨- ª®¢ë¬¨, ¥á«¨ ®¤-ã ¨§ -¨å ¬®¦-® ¯®«ãç¨âì ¨§ ¤à㣮© á ¯®¬®éìî ¯¥à¥áâ -®¢ª¨ áâப ¨
á⮫¡æ®¢. |
0 ¶ |
| ¯à¨¬¥à 01-¬ âà¨æë à §¬¥à |
2 £ 4. |
||
µ1 |
0 |
1 |
|||
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
9.6. •®¤áç¨â âì |
ç¨á«® à §«¨ç-ëå à áªà ᮪ £à -¥© ªã¡ |
||||
) ¢ ¤¢ |
梥â , |
|
|
||
¡) â®ç-® ¢ ¤¢ |
梥â , |
|
|||
¢) â®ç-® ¢ âਠ梥â , |
|
||||
áç¨â ï ¤¢¥ à áªà ᪨ ®¤¨- ª®¢ë¬¨, ¥á«¨ ®¤-ã ¨§ -¨å ¬®¦-® |
|||||
¯®«ãç¨âì ¨§ ¤à㣮© á ¯®¬®éìî ¢à é¥-¨© ªã¡ |
(¢ ¯à®áâà -- |
||||
á⢥). |
|
|
|
|
|
9.7. • ©â¨ ç¨á«® à §«¨ç-ëå à áªà ᮪ £à -¥© ¯à ¢¨«ì-®£® |
|||||
®ªâ í¤à |
|
¢ ¤¢ |
梥â , áç¨â ï ¤¢¥ à áªà ᪨ ®¤¨- ª®¢ë¬¨, ¥á«¨ |
||
®¤-ã ¨§ -¨å ¬®¦-® ¯®«ãç¨âì ¨§ ¤à㣮© á ¯®¬®éìî ¢à é¥-¨© |
|||||
®ªâ í¤à |
|
(¢ ¯à®áâà -á⢥). |
|
18
9.8. |
• ©â¨ ç¨á«® à §«¨ç-ëå à áªà ᮪ ¢¥àè¨- £à ä ¢ ¤¢ |
|
梥â , áç¨â ï ¤¢¥ à áªà ᪨ ®¤¨- ª®¢ë¬¨, ¥á«¨ ®¤-ã ¨§ -¨å |
||
¬®¦-® ¯®«ãç¨âì ¨§ ¤à㣮© á ¯®¬®éìî |
¢â®¬®à䨧¬ £à ä : |
|
) |
¡) |
¢) |
9.9. • ©â¨ ç¨á«® à §«¨ç-ëå à áªà ᮪ ॡ¥à £à 䮢 ¨§ § ¤ ç¨ 119 ¢ ¤¢ 梥â .
x 10. ’¥®à¥¬ë ‘¨«®¢
10.1.„®ª § âì, çâ® «î¡ ï ᨫ®¢áª ï p-¯®¤£à㯯 ¯àאַ£® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï ª®-¥ç-ëå £à㯯 A ¨ B ï¥âáï ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥¬ ᨫ®¢áª¨å p-¯®¤£à㯯 ᮬ-®¦¨â¥«¥© A ¨ B.
10.2.•ãáâì G | ª®-¥ç- ï £à㯯 , P | ᨫ®¢áª ï p-¯®¤£à㯯 £à㯯ë G ¨ H C G. „®ª § âì, çâ® H \ P | ᨫ®¢áª ï p- ¯®¤£à㯯 £à㯯ë H ¨ HP=H | ᨫ®¢áª ï p-¯®¤£à㯯 ä ª- â®à£à㯯ë G=H.
10.3.„®ª § âì, çâ® ª®-¥ç- ï £à㯯 G ¯®à®¦¤ ¥âáï ᢮¨¬¨ ᨫ®¢áª¨¬¨ p-¯®¤£à㯯 ¬¨, ¢§ïâ묨 ¯® ®¤-®¬ã íª§¥¬¯«ïàã ¤«ï ª ¦¤®£® ¯à®á⮣® ¤¥«¨â¥«ï p ¯®à浪 £à㯯ë G.
10.4. „®ª § âì, ç⮠ᨫ®¢áª ï p-¯®¤£à㯯 |
¢ ª®-¥ç-®© £à㯯¥ |
|||
G ¥¤¨-á⢥-- ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ |
®- |
-®à¬ «ì- ï ¢ |
||
£à㯯¥ G. |
|
|
|
|
10.5. „®ª § âì, ç⮠ᨫ®¢áª ï p-¯®¤£à㯯 |
¥¤¨-á⢥-- ⮣¤ |
|||
¨ ⮫쪮 ⮣¤ , |
ª®£¤ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ «î¡ëå |
p-í«¥¬¥-⮢ ¢ |
||
£à㯯¥ ¥áâì â ª¦¥ p-í«¥¬¥-â. |
|
|
||
10.6. „®ª § âì, çâ® |
¡¥«¥¢®© £à㯯¥ ᨫ®¢áª ï p-¯®¤£à㯯 |
|||
) ¢ ª®-¥ç-®© |
|
|||
¥¤¨-á⢥-- |
¤«ï «î¡®£® ¯à®á⮣® ¤¥«¨â¥«ï p ¯®à浪 |
£à㯯ë, ¡) ª®-¥ç- ï ¡¥«¥¢ £à㯯 ¥áâì ¯àאַ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¢á¥å
᢮¨å ᨫ®¢áª¨å ¯®¤£à㯯,
19
¢) ¥á«¨ ª®-¥ç- ï £à㯯 G ¨¬¥¥â ¥¤¨-á⢥--ãî ᨫ®¢áªãî p-¯®¤£à㯯㠤«ï ª ¦¤®£® ¯à®á⮣® ¤¥«¨â¥«ï p ¯®à浪 G, â® G ¥áâì ¯àאַ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ᢮¨å ᨫ®¢áª¨å ¯®¤£à㯯.
10.7. „®ª § âì, ç⮠稫® à §«¨ç-ëå ᨫ®¢áª¨å 2-¯®¤£à㯯 ¢ A5 à ¢-® 5.
10.8. • ©â¨ ç¨á«® ᨫ®¢áª¨å p-¯®¤£à㯯 ¢ A5 ¤«ï p = 3 ¨ p =
= 5.
10.9. • ©â¨ ¢á¥ ᨫ®¢áª¨¥ p-¯®¤£à㯯ë (p = 2; 3) ¢ £à㯯 å
S3 ¨ A4.
10.10. ‚ ᪮«ìª¨å ᨫ®¢áª¨å 2-¯®¤£à㯯 å £à㯯ë S4 ᮤ¥à-
¦ âáï ¯®¤áâ -®¢ª¨ |
¡) (1 3), |
¢) (1 2)(3 4)? |
) (1 3 2 4), |
10.11.•ãáâì g = (1 2 3 4 5), P = hgi 6 S5, G = S5 ¨ N = NG(P ).
•®ª § âì, çâ® jNj = 20 ¨ N = hg; ai, £¤¥ a = (2 3 5 4).
10.12.„®ª § âì, çâ® «î¡ ï £à㯯 ¯®à浪 15, 35, 175, 185, 99, 255 ï¥âáï ¡¥«¥¢®©.
10.13.„®ª § âì, çâ® «î¡ ï ᨫ®¢áª ï 2-¯®¤£à㯯 £à㯯ë S4
¨§®¬®àä- £à㯯¥ ¤¨í¤à D8 (â. ¥. ¯®à®¦¤ ¥âáï ¤¢ã¬ï ¨-¢®-
«îæ¨ï¬¨ ¨ ¨¬¥¥â ¯®à冷ª 8).
10.14. „®ª § âì, ç⮠ᨫ®¢áª ï 2-¯®¤£à㯯 S5 ¨§®¬®àä- D8. 10.15. „®ª § âì, ç⮠ᨫ®¢áª ï 2-¯®¤£à㯯 S6 ¨§®¬®àä-
D8 £ Z2.
10.16.„®ª § âì, çâ® ¢ Sn, n 6 7, -¥â ¯®¤£à㯯 ¯®à浪 15. •®ª § âì, çâ® S8 ᮤ¥à¦¨â ¯®¤£à㯯㠯®à浪 15.
10.17.(€à£ã¬¥-â ”à ââ¨-¨). •ãáâì H | -®à¬ «ì- ï ¯®¤-
£à㯯 ª®-¥ç-®© £à㯯ë G ¨ P | ᨫ®¢áª ï ¯®¤£à㯯 ª®-¥ç- -®© £à㯯ë H. „®ª § âì, çâ® G = H ¢ NG(P ).
10.18. •ãáâì P | ᨫ®¢áª ï p-¯®¤£à㯯 ª®-¥ç-®© £à㯯ë G
¨ H | ¯®¤£à㯯 , ᮤ¥à¦ é ï NG(P ). „®ª § âì, çâ® H =
= NG(H).
10.19. …᫨ Q | -®à¬ «ì- ï p-¯®¤£à㯯 ª®-¥ç-®© £à㯯ë G, â® Q ᮤ¥à¦¨âáï ¢ «î¡®© ᨫ®¢áª®© p-¯®¤£à㯯¥ £à㯯ë G.
10.20. •ãáâì ¾
P = j a 2 Zp; p | ¯à®á⮥ :
20