Opt_book_1
.pdf3.5. ЗАДАЧИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ |
171 |
Определение 3.5.4. Элемент y¤ 2 Y называется недоминируемым или минимальным в Y относительно RSP, если y¤RSPy не имеет места ни при каком к y 2 Y .
В многокритериальной задаче минимизации (3.5.1) множество Y = f(X) принадлежит Rr. На этом пространстве в качестве отношения строгого предпочтения RSP берутся строгие частичные порядки: либо >, либо >. Множество Y¤S µ Y оптимальных по Слейтеру оценок является множеством недоминируемых оценок относительно строгого порядка >. Аналогично, множество Y¤P µ Y оптимальных по Парето оценок является множеством недоминируемых оценок относительно строгого порядка >. Строгие порядки > и > в Rr порождают соответствующие строгие порядки и на
X, что дает возможность определить множества XS и XP . |
|
|
||||||
Если на R |
r |
|
|
|
¤ |
¤ |
относительно этого порядка элементом |
|
|
взять частичный порядок ¸i, то наилучшимi |
|||||||
будет такой элемент y¤ 2 Y , для которого y |
¸ y¤ для любого i 2 [1 : r] и всех y 2 Y . Обозначим |
|||||||
|
|
f |
= [f1; : : : ; fr]; |
fi |
= min fi(x ): |
|||
|
|
¤ |
¤ |
¤ |
¤ |
x X |
¤ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Точка f¤ 2 Rr называется идеальной для задачи (3.5.1). Наличие наилучшего элемента y¤ 2 Y означает, что f¤ 2 Y и y¤ = f¤. Понятно, что такой случай реализуется крайне редко и при решении задач многокритериальной минимизации (3.5.1) приходится довольствоваться лишь недоминируемыми решениями, множество которых, как правило, оказывается весьма обширным. Это требует дополнительных подходов и приемов для выбора одного решения из этого множества.
Существует еще один достаточно универсальный способ задания порядков на Rr, который приводит к более общим порядкам, чем рассмотренные ранее порядки ¸ и >. Делается это с помощью так называемых обобщенных неравенств, которые по сути являются частичными порядками на Rr.
Пусть на Rr задан выпуклый замкнутый заостренный конус K. Пусть, кроме того, этот конус является телесным, т.е. имеет непустую внутренность. Такой конус принято называть собственным. Используя телесный конус K, определим на Rr частичный порядок ¸K, полагая y1 ¸K y2, если y1 ¡ y2 2 K. Аналогичным образом определяется строгий частичный порядок >K, а именно, y1 >K y2, если y1 ¡ y2 2 intK. В случае, когда K = Rr+, порядки ¸K и >K совпадают с введенными ранее на Rr обычными порядками ¸ и >.
Применяя обобщенные неравенства, можно аналогично вышесказанному определить минимальные или недоминируемые элементы множества Y ½ Rr. Говорят, что y¤ 2 Y является минимальным элементом множества Y по отношению к обобщенному неравенству ¸K, если из y 2 Y , y¤ ¸K y следует, что y = y¤.
Ссылки на литературу и комментарии
Оптимизационным задачам и методам их решения посвящена обширная литература, в том числе, и на русском языке.
172
Упражнения
Упражнение 1. Убедитесь, что пересечение любого числа, а также линейная комбинация конечного числа аффинных множеств есть снова аффинное множество.
Упражнение 2. Убедитесь, что пересечение любого числа, а также линейная комбинация конечного числа выпуклых конусов есть снова выпуклый конус.
Упражнение 3. Пусть x0 2 Rn и s произвольный ненулевой вектор из Rn. Рассмотрим
множество
X = x n : x = x0 + ®s; 1 ® 1 ;
являющееся двумерным отрезком©в |
R |
· · ª |
2nR. Покажите, что |
||
riX = ©x 2 Rn : x = x0 + ®s; |
1 < ® < 1ª: |
|
Упражнение 4. Покажите, что если выпуклый конус K имеет непустую внутренность, то сопряженный конус K¤ обязательно должен быть заостренным. И наоборот, сопряженный конус K¤ обладает непустой внутренностью, если K заостренный конус.
Упражнение 5. Найдите рецессивную функцию и рецессивный конус следующей выпуклой
функции
f(x) = ln (ex1 + : : : + exn ) ; x 2 Rn:
Упражнение 6. Пусть g(x) - выпуклая функция, определенная на Rm и пусть A m £ n матрица, b 2 Rm. Покажите, что функция
f(x) = g(Ax + b)
выпукла на Rn.
Упражнение 7. С помощью условий второго порядка покажите, что геометрическое среднее
ÃYn !1=n
f(x) =
i=1
является вогнутой функцией на X = Rn++.
Упражнение 8. Покажите, что следующая дробная квадратично-линейная функция f(x) = n o
x21=x2 является выпуклой на множестве X = x 2 R2 : x2 > 0 .
173
174 ГЛАВА 3. ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ И УПРАЖНЕНИЯ
Упражнение 9. Используя выпуклость функции ¡ ln x на R++ и более общий вариант нера-
венства (2.2.6) между геометрическим и арифметическим средним |
|
||||||||
|
a¸b1¡¸ · ¸a + (1 ¡ ¸)b; 0 · ¸ · 1; |
|
|||||||
докажите неравенство Гельдера |
|
jxijp! |
|
à |
|
jyij¤p! |
; x 2 Rn |
; y 2 Rn; |
|
xiyi · |
à |
|
|
|
|||||
n |
|
n |
|
1=p |
|
n |
|
1=p¤ |
|
X |
|
Xi |
|
|
|
X |
|
|
|
i=1 |
|
=1 |
|
|
|
i=1 |
|
|
|
где 1 < p < 1, p¡1 + p¡¤ 1 = 1.
Упражнение 10. Под мощностью или размером вектора x 2 Rn понимают число его ненулевых компонент и обозначают card x. Убедитесь, что функция f(x) = card x является квазивогнутой на Rn+. Будет ли она квазивогнутой на всем пространстве Rn?
Упражнение 11. Покажите, что дробная функция расстояний
f(x) = |
kx |
¡ ak2 |
; a; b 2 Rn; |
|
|
|
|
|
x |
b |
|
|
|
|
|
||
|
k |
¡ k2 |
|
|
|
|
|
|
является квазивыпуклой на полупространстве X = fx 2 Rn : kx ¡ ak2 · kx ¡ bk2g. |
n |
|
m |
|
||||
Упражнение 12. Пусть функция двух аргументов g(x; y) квазивыпукла на |
R |
£ R |
и пусть |
|||||
Y ½ Rm выпуклое множество. Покажите, что следующая функция |
|
|
|
|||||
f(x) = infy2Y g(x; y)
квазивыпукла. Сравните это утверждение с ??.
Литература
1.Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.: Физматлит, 2004.
2.Белоусов Е.Г. Введение в выпуклый анализ и целочисленное программирование. М.: Изд-во МГУ, 1977.
3.Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.
4.Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.
5.Г.Г.Магарил-Ильяев, В.М.Тихомиров. Выпуклый анализ и его приложения. М.: УРСС, 2003.
6.S.Boyd, L.Vandenberge. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004.
7.Josef Stoer, Christoph Witzgall. Convexity and Optimization in Finite Dimensions I. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg -New-York, 1970.
8.Э.М.Галеев. Оптимизация. Теория, примеры, задачи. М.: URSS, 2006.
9.У.И.Зангвилл. Нелинейное программирование. Единый подход. М.: "Советское радио 1973.
10.М.Аоки. Введение в методы оптимизации. М.: Наука, 1977.
11.R.J. Vanderbei. Linear programming. Foundations and extensions. Kluwer Academic Publishers. Boston/London/Dordrecht. 1997.
12.А.Г.Сухарев, А.В.Тимохов, В.В.Федоров. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986.
13.Бирюков С.И. Оптимизация. Элементы теории и численные методы. М.: МЗ-Пресс, 2003.
14.И.И.Еремин. Противоречивые модели экономики. Свердловск: Средне-Уральское книжное издво, 1986.
15.М.Базара, К.Шетти. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1982.
16.К.-Х. Эльстер, Р. Рейнгардт, М. Шойбле, Г. Донат. Введение в нелинейное программирование. М.: Наука, 1985.
17.В.В.Гороховик. Конечномерные задачи оптимизации. Минск, Издательский центр БГУ, 2007.
18.В.В.Гороховик. Выпуклые и негладкие задачи векторной оптимизации. М.: URRS, 2012.
19.Ф.П.Васильев. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.
20.А.Ф.Измаилов, М.В.Солодов. Численные методы оптимизации. М.: Физматлит, 2003.
21.Б.Т.Поляк. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1985.
175
176
22.Ю.Е.Нестеров. Введение в выпуклую оптимизацию. М.: Изд-во МЦНМО, 2010.
23.В.А.Даугавет. Численные методы квадратичного программирования. Из-во С.-Петербургского университета, 2004.
24.С.А.Ашманов, А.В.Тимохов. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1991.
25.Б.А.Березовский, Ю.М.Барышников, В.И.Борзенко, Л.М.Кемпнер. Многокритериальная оптимизация. Математические аспекты. М.: Наука, 1989.
26.Е.А.Нурминский. Численные методы выпуклой оптимизации. М.: Наука, 1991.
27.Ф.П.Васильев, А.Ю.Иваницкий. Линейное программирование. М.: Факториал Пресс, 2003.
28.А.С.Стрекаловский. Элементы невыпуклой оптимизации. Новосибирск: Наука, 2003.
29.Е.Г.Гольштейн. Выпуклое программирование. Элементы теории. М.: Наука, 1970.
30.Б.Н.Пшеничный. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1982.
31.Б.Н.Пшеничный, Ю.М.Данилин. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975.
32.Ю.Г.Евтушенко. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.
33.В.Ф.Демьянов, Л.В.Васильев. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981.
34.И.В.Романовский. Алгоритмы решения экстремальных задач. м.: Наука, 1977.
35.К.Дж.Эрроу, Л.Гурвиц, Х.Удзава. Исследования по линейному и нелинейному программированию. М.: Изд-во иностранной литературы, 1962.
36.В.И.Зоркальцев, М.А.Киселева. Системы линейных неравенств. Иркутск: Изд-во Иркутского государственного университета, 2007.
37.И.И.Еремин, Н.Н.Астафьев. Введение в теорию линейгого и выпуклого программирования. М.: Наука, 1976.
38.А.Д.Иоффе, В.М.Тихомиров. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.
39.Е.Г.Гольштейн. Теория двойственности в математическом программировании. М.: Наука, 1971.
40.И.И.Еремин, В.Д. Мазуров, Н.Н.Астафьев. Несобственные задачи линейного и выпуклого программирования. М.: Наука, 1983.
41.Н.Н.Моисеев, Ю.П.Иванилов, Е.М.Столярова. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978.
42.А.Г.Бирюков. Методы оптимизации. Условия оптимальности в экстремальных задачах. М.: МФТИ, 2010.
43.К.Гроссман, А.А.Каплан. Нелинейное программирование на основе безусловной минимизации. Новосибирск: Наука, 1981.
44.М.Мину. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. М.: Наука, 1980.
45.Е.А.Андреева, В.М.Цирулева. Вариационное исчисление и методы оптимизации. Тверь, Тверской государственный университет, 2011.
46.Э.М.Галеев, В.М.Тихомиров. Оптимизация. Теория, примеры, задачи. М.: Эдиториал УРСС, 2000.
177
47.В.Д.Ногин, И.О.Протодьяконов, И.И.Евлампиев. Омновы теории оптимизации. М.: Высшая школа, 1986.
48.А.С.Немировский, Д.Б.Юдин. Сложность задач и эффективность методов оптимизации. М.: Наука, 1979.
49.О.В.Васильев, А.В.Аргучинцев. Методы оптимизации в задачах и упражнениях. М.: Физматлит, 1999.
50.А.Схрейвер. Теория линейного и целочисленного программирования. Т. I, II. М.: Мир, 1991.
51.С.А.Ашманов. Линейное программирование. М.: Наука, 1981.
52.Е.Г.Гольштейн, Н.В.Третьяков. Модифицированные функции Лагранжа. М.: Наука, 1989.
53.И.И.Еремин, В.Д.Мазуров, В.Д.Скарин, М.Ю.Хачай. Математические методы в экономике. Екатеринбург: Уральский государственный университет, 2000.
54.Э.Беккенбах, Р.Беллман. Неравенства. М.: Мир, 1965.
55.А.В.Арутюнов. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.: Факториал, 1997.
56.И.И.Еремин. Теория линейной оптимизации. Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 1999.
57.Ж.-Б.Ириарт-Уррути. Оптимизация и выпуклый анализ. Сборник задач и упражнений. Киев: Издательская компания “Кит”, 2004.
58.В.В.Подиновский, В.Д.Ногин. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982.
59.Г.П.Кюнци, В.Крелле. Нелинейное программирование. М.: Советсткое радио, 1965.
60.Р.Даффин, Э.Питерсон, К.Зенер. Геометрическое программирование. М.: Мир, 1972.
61.А.Ф.Измаилов, А.А.Третьяков. 2-регулярные решения нелинейных задач. М.: Изд-ская фирма "Физико-математическая литература 1999.
178
Оглавление
1 ВВЕДЕНИЕ |
2 |
|
1..1.Основные определения |
3 |
|
1..2.Примеры задач оптимизации |
6 |
|
1.2.1. |
Задачи безусловной оптимизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
1.2.2. Задачи о потоках в сетях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
|
1.2.3. Электрические и гидравлические цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
8 |
|
1.2.4. Задача из теории распознавания образов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
10 |
|
2 НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА |
13 |
|
2..1.ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА |
13 |
|
2.1.1. Выпуклые и аффинные множества, выпуклые конусы . . . . . . . . . . . . . . |
13 |
|
2.1.2. Топологические свойства выпуклых множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
22 |
|
2.1.3. Проекция точки на выпуклое множество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
29 |
|
2.1.4. |
Отделимость выпуклых множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
33 |
2.1.5. Сопряженные множества и конусы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
38 |
|
2.1.6. Многогранные множества и системы линейных неравенств . . . . . . . . . . . . |
43 |
|
2.1.7. |
Линейные матричные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
54 |
2..2.ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ |
57 |
|
2.2.1. Определения и основные свойства выпуклых функций . . . . . . . . . . . . . . |
57 |
|
2.2.2. Дифференциальные критерии выпуклости функций . . . . . . . . . . . . . . . . |
66 |
|
2.2.3. Дифференцируемость по направлениям и субдифференциал . . . . . . . . . . . |
69 |
|
2.2.4. Сопряженные и полярные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
80 |
|
2.2.5. Рецессивные конусы и функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
92 |
|
2.2.6. |
Обобщения выпуклых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
95 |
3 ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ И УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ |
100 |
|
3..1.ОБЩИЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ |
100 |
|
3.1.1. |
Нелокальные критерии оптимальности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
100 |
3.1.2. |
Локальные критерии оптимальности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
106 |
3..2.УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРО-
ГРАММИРОВАНИЯ |
112 |
|
3.2.1. Необходимые условия первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
112 |
|
3.2.2. |
Условия оптимальности для задач выпуклого программирования . . . . . . . . |
122 |
3.2.3. |
Достаточные условия второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
126 |
3..3.ДВОЙСТВЕННОСТЬ ДЛЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 134
3.3.1. Седловые точки функции Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 3.3.2. Двойственные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
|
|
179 |
3.3.3. Несобственные задачи математического программирования . . . . . . . . . . . |
144 |
|
3..4.ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ СПЕЦИАЛЬНО- |
||
ГО ВИДА |
|
148 |
3.4.1. |
Линейное программирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
148 |
3.4.2. |
Квадратичное программирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
154 |
3.4.3. Коническое и полуопределенное программирование . . . . . . . . . . . . . . . . |
158 |
|
3.4.4. |
Геометрическое программирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
163 |
3..5.ЗАДАЧИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ |
166 |
|